KC Sinha: Exercise 1.2 - Mathematics Solution Class 11 Chapter 1 समुच्चय

[mathjax]

Exercise 1.2

TYPE-I

Question 1

Make correct statements by filling the symbols ⊆ or ⊈ in the blank spaces
(i) {a,b,c}..{b,c,d}
Sol :
⊈

(ii) {2,3,4}..{1,2,3,4,5}
Sol :
⊆

(iii) {2,4,6,8,10}..{6,2,8,12,10,4}
Sol :
⊆

(iv) {a,e,i,o,u}..{x:x अंग्रेजी वर्णमाला का कोई अक्षर}
Sol :
⊆

Question 2

If  A={x:x शब्द 'able' का एक अक्षर है}
B={x:x शब्द 'lable' का एक अक्षर है}
C={x:x शब्द 'lab' का एक अक्षर है}
Which of the statements are true ?
(i) A=B
(ii) A⊂B
(iii) C⊆B
Sol :
A={a,b,l,e} , B={l,a,b,e}
C={l,a,b}

(i) सत्य
(ii) असत्य
(iii) सत्य

Question 3

यदि (if) A={x:x∈Q और(and) x²+3x-10=0}

B={x:x∈I और(and)$-5 \leq x<\frac{17}{8}$}तो दिखलाइए कि(then show that) A⊆B
Sol :
A={x:x∈Q और x²+3x-10=0}

x²+3x-10=0
x²+5x-2x-10=0
x(x+5)-2(x+5)=0
(x+5)(x-2)=0
$\begin{array}{l|l}x+5=0&x-2=0\\x=-5&x=2\end{array}$

A={-5,2}

B={x:x∈Q और -5≤x<$2 \frac{1}{8}$}

B={-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2}

A≤B

Question 4

निम्नलिखित समुच्चयों का उचित उपसमुच्चय ज्ञात कीजिए
Find the proper subsets of the following sets :
(i) ɸ
Sol :
कोई नही

(ii) (p,q,r)
Sol :
ɸ,{p},{q},{r},{p,q},{q,r},{p,r}

(iii) {{ɸ}}
Sol :
ɸ

(iv) {{1},1,2}
Sol :
ɸ,{{1}},{1},{2},{{1},1},{1,2},{{1},2}

Question 5

निम्नलिखित समुच्चयों का सभी उपसमुच्चय लिखिए
Write down all the subsets of the following sets:
(i) {a}
Sol :
ɸ,{a}

(ii) {a,b}
Sol :
ɸ,{a},{b},{a,b}

(iii) {1,2,3}
Sol :
ɸ,{1},{2},{3},{1,2,3},{2,3},{1,3}

(iv) ɸ
Sol :
ɸ

Question 6

माना कि (Let)A={1,2,3,4}, B={1,2,3} और(and) C={2,4}
निम्नलिखित युग्य स्थितियो को संतुष्ट करते हुए सभी समुच्चय X ज्ञात कीजिए:
Find all sets X satisfying the following pairs of conditions
(i) X⊆B,X≠BऔरX⊈C
Sol :
X={1},{3},{1,2},{1,3},{2,3}

(ii) X⊆B,X⊄C
Sol :
X={1},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}

Question 7

निम्नलिखित का घात समुच्चय ज्ञात कीजिए
Find the power set of the following sets
(i) {0}
Sol :
A={0}

P(A)={ɸ,{0}}

(ii) {1,{2,3}}
Sol :
B={1,{2,3}}
P(A)={ɸ,{1},{{2,3}}},{1,{2,3}}

(iii) {2,1,7}
Sol :

Question 8

P(A) के कितने अवयव है यदि A=ɸ
How many elements has P(A),if A=ɸ
Sol :
n(P(A))=2⁰

Question 9

(i) {x:x∈R,-5≤x≤5}
Sol :
[-5,5]

(ii) {x:x∈R,-2≤x≤3}
Sol :
(-2,3] या ]-2,3]

(iii) {x:x∈R,4≤x≤11}
Sol :
(4,11) या ]4,11[

(iv) {x:x∈R,0≤x≤9}
Sol :
[0,9] या [0,9[

Question 10

निम्नलिखित अंतरालो को समुच्चय निर्माण रुप में लिखिए
Write the following intervals in set builder form
(i) (-4,7)
Sol :
={x:x∈R,-4<x<7}

(ii) [7,15)
Sol :
={x:x∈R,7<x<15}

(iii) [8,17]
Sol :

={x:x∈R,8≤x≤17}

(iv) (-6,0)
Sol :
={x:x∈R,-6<x≤0}

Question 11

मान लीजिए (Let) A={1,2,{3,4},5} तो निम्नलिखित मे से कौन-सा कथन सही है, या कौन सही नही है और क्यो ?
Which of the following statements are correct or incorrect and why?
(i) {3,4}∈A
Sol :
True(सत्य)

(ii) {3,4}⊆A
Sol :
False(असत्य)

(iii) 1∈A
Sol :
True(सत्य)

(iv) {1,2,5}∈A
Sol :
False(असत्य)

(v) ɸ∈A
Sol :
False(असत्य)

(vi) ɸ⊂A
Sol :
True(सत्य)

(vii) {ɸ}⊂A
Sol :
False(असत्य)

(viii) {1,2,3}⊆A
Sol :
False(असत्य)

(ix) {{3,4}}⊆A
Sol :
True(सत्य)

(x) 1⊆A
Sol :
False(असत्य)

(xi) {1,2,5}⊆A
Sol :
True(सत्य)

Question 12

जाँच कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य है अथवा असत्य है
Examine whether the following statements true or false
(i) {1,2,3}⊆{1,3,5}
Sol :
False(असत्य)

(ii) {a,b}⊈{b,ca}
Sol :
False(असत्य)

(iii) {a}∈{a,b,c}
Sol :
False(असत्य)

(iv) {a}⊆{a,b,c}
Sol :
True(सत्य)

(v)  {x:x, 6 से छोटी एक सम प्राकृत संख्या है}⊆{x:x एक प्राकृत संख्या है जो संख्या 36 को विभाजित करती है}
Sol :
{2,4}⊆{1,2,3,4,6,9,18,36}

(vi) {a,e}⊆{x:x अंग्रेजी वर्णमाला का एक स्वर है}

Question 13

निम्नलिखित मे कौन-सा कथन सत्य है
Which of the following statements are correct?
(i) S⊆P(S)
Sol :
False(असत्य)

(ii) {S}∈P(s)
Sol :
False(असत्य)

(iii) S⊂P(S)
Sol :
False(असत्य)

(iv) {S}⊂P(S)
Sol :
True(सत्य)

Question 14

निम्नलिखित मे कौन सत्य है
Which of the following are true?
A={1,2},B={1,2,3}
C={{1,2,3},4,5}
(i) माना कि A और B दो समुच्चय है
यदि x∈A और B⊆A तो x∈B
Sol :
असत्य

(ii) माना कि A,B,C तीन समुच्चय है
यदि A⊂B और B∈C , तो A∈C
Sol :
असत्य

Question 15

मान लीजिए (Let)A={a,e,i,o,u},B={a,b,c,d} क्या A,B का उपसमुच्चय है?उत्तर का औचित्य बताइए
Is A a subset of B ? Justify your answer
Sol :
A⊈B ,e,i,o,u∈A , लेकिन e,i,o,u∉B

Question 16

मान लीजिए कि A,B और C तीन समुच्चय है । यदि A∈B तथा B⊆C , तो क्या यह सत्य है कि A⊆C ? यदि नही तो एक उदाहरण दीजिए
Let A,B,C be three sets. If A∈B and B⊆C, is it true that A⊆C? Justify your answer
Sol :
नही,A={1},B={{1},2,3}

C={{1},2,3,4}

A⊈C

A∈C

Question 17

निम्नलिखित
In each of the following determine whether the statement is true or false. If it is true, prove it and if it is false give an example
(i) यदि A⊆B और B⊆C तो A⊆C
Sol :
सत्य
Let x∈A⇒x∈B (A≤B)
या , x∈Bx∈C (B≤C)
∴A⊆C

(ii) यदि A⊈B और B⊈C तो A⊈C
Sol :
असत्य
i.e.
A={1}
B={2,3}
C={1,2,5}
A⊈B,B⊈C⇒A⊆C

(iii) यदि A⊆B और B∈C तो A∈C
Sol :
असत्य
i.e.
A={1},B={1,2}
C={{1,2},3}
A⊆B,B⊆C⇒AC

Question 18

यदि (If)A={1,3,5},B={2,4,6} और C={0,2,4,6,8} तो तीनो समुच्चयो A,B,C के लिए निम्नलिखित मे से कौन-सा समष्टीय समुच्चय लिया जा सकता है
Which of the following can be taken us the universal set for the three sets A,B, and C
(a) ɸ
(b) {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
(c) {0,1,2,3,4,5,6}
(d) {1,2,3,4,5,6,7,8}
Sol :
(b)

Question 19

निम्नलिखित समुच्चयो मे से आप कौन-सा समष्टीय समुच्चय प्रस्तावित करेगे ?
What universal set would you propose for each of the following
(i) समद्विबाहु त्रिभुजो का समुच्चय
(ii) समकोण त्रिभुजों का समुच्चय
Sol :
S=सभी त्रिभुजो का  समुच्चय

Question 20

Prove that {{a},{a,b}={{c},{c,d}}}यदि और केवल यदि (iff) a=c और (and) b=d
Sol :
{{a},{a,b}}={{c},{c,d}}

$\begin{array}{l|l}\{a\}=\{c\}& \{a, b\}=\{c, d\}\\a=c & {a,b}={c,d}\\&\because a=c\\&\therefore b=d\end{array}$

Question 21

(i) Prove that every subset of a finite set is finite
साबित कीजिए कि परिमित समुच्चय का उपसमुच्चय परिमित होता है।

Sol :
हम जानते है कि, किसी समुच्चय के लिए,
उपसमुच्चयो की=2ⁿ जहाँ n=समुच्चय के अवयवो की संख्या

अत: परिमित समुच्चय के उपसमुच्चयो की संख्या परिमित होगी ।

(ii) Prove that power set of finite set is finite
साबित कीजिए कि परिमित समुच्चय का घात समुच्चय परिमित होता है।

Question 22
Prove that A⊇B,B⊇C⇒A⊇C
Sol :
माना  x∈C⇒x∈B (B⊇C)
या x∈B⇒x∈A (A⊇B)

अतः A⊇C