KC Sinha: Exercise 1.4 - Mathematics Solution Class 11 Chapter 1 समुच्चय

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TYPE-I
दो समुच्चयो के वेन आरेख पर आधारित व्यावहारिक प्रश्न :

Question 1

यदि A और B दो ऐसे समुच्चय है कि n(A∪B)=50 , n(A)=28 और n(B)=32 , तो n , n(A∩B) ज्ञात कीजिए ।
Sol :
n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
=28+32-50
=60-50
=10

Question 2

Question 3

एक विद्यालत मे 20 अध्यापक है जो गणित या भौतिकी पढ़ाते है । इनमे से 12 गणित पढ़ाते है और 4 भैतिकी औऱ गणित पढ़ाते है । कितने अध्यापक भौतिकी पढ़ाते है  ?
[In a school there are 20 teachers who teach mathematics or physics . Of these, 12 teach mathematics and 4 teach physics and mathematics . How many teach physics ?]
Sol :
माना गणित पढ़ाने वाले अद्धयापक का समुच्चय=A
माना भौतिकी पढ़ाने वाले अद्धयापक का समुच्चय=B

n(A∪B)=20,n(A)=12

n(A∩B)=4, n(B)=?

n(A∪B)=20

n(A)+n(B)-n(A∩B)=20

12+n(B)-4=20

n(B)+8=20

n(B)=20-8

=12

Question 4

Question 5

50 व्यक्तियो के समूह मे 35 हिन्दी बोलते है च 25 अंग्रेजी औऱ हिन्दी दोनो बोलते है और सभी व्यक्ति दोनो भाषाओ मे से कम-से-कम एक भाषा बोलते है । कितने व्यक्ति केवल अंग्रेजी  बोलते है और हिन्दी नही ? कितने व्यक्ति केवल अंग्रेजी बोलते है और हिन्दी नही ? कितने व्यक्ति अंग्रेजी बोलते है ?
[In a group of 50 people , 35 speak Hindi , 25 speak English and Hindi and all the people speak at least one of the two languages. How many people speak only English and not Hindi ? How many people speak English?]
Sol :
माना हिन्दी बोलने वाले व्यक्ति का समुच्चय=A
अंग्रेजी बोलने वाले व्यक्ति का समुच्चय=B

n(A∩B)=50, n(A)=35
n(A∪B)=25 , n(B-A)=?
n(B)=?

n(A∪B)=50
n(A)+n(B)-n(A∩B)=50
n(A∪B)=50
n(A)+n(B)-n(A∩B)=50
35+n(B)-25=50
n(B)+10=50
n(B)=40

∵n(B)=n(B-A)+n(A∩B)

40=n(B-A)+25

15=n(B-A)

Question 8

एक कमेटी मे , 50 व्यक्ति फ्रेच , 20 व्यक्ति स्पेनिश और 10 व्यक्ति स्पेनिश तथा फ्रेच दोनो ही भाषाओ को बोल सकते है । कितने व्यक्ति  इन दोनो ही भाषाओ मे से कम-से-कम एक भाषा बोल सकते है ?

[In a committee 50 people speak French , 20 speak Spanish and 10 speak both Spanish and French. How many speak at least one of these two languages ?]

Sol :

माना फ्रेच बोलने वाले व्यक्तियो का समुच्चय=A

माना स्पेनिश बोलने वाले व्यक्तियो का समुच्चय=B

n(A)=50,n(B)=20,n(A∩B)=10

n(A∩B)=?

n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
=50+20-10
=60

Question 9

65 व्यक्तियो के समूह मे , 40 क्रिकेट पसंद करते है , 10 क्रिकेट और टेनिस दोनो को पसंद करते है । कितने व्यक्ति केवल टेनिस को पसंद करते है किन्तु क्रिकट को नही ? कितने व्यक्ति टेनिस को पसंद करते है ?
[In a group of 65 people, 40 like cricket ,10 like both cricket and tennis. How many like tennis only and not cricket ? How many like tennis ?]
Sol :
माना क्रिकट पसंद करने वाले व्यक्तियो का समुच्चय=A
टेनिस पसंद करने वाले व्यक्तियो का समुच्चय=B

n(A⋃B)=65 , n(A)=40

n(A∩B)=10

n(B-A)=? , n(B)=?

n(A⋃B)=65

n(A)+n(B)-n(A∩B)=65
40+n(B)-10=65
n(B)+30=65
n(B)=35

n(B)=n(B-A)+n(A∩B)
35=n(B-A)+10\
25=n(B-A)

Question 10

यदि किसी वर्ग के विद्यार्थियो का 45% विद्यार्थियो ने गणित और उनका 85% जीव विज्ञान लिया है तो केवल जीव विज्ञान लेने वाले विद्धार्थियो का प्रतिशत ज्ञात कीजिए ।
[If 45% of the students of a class have offered mathematics and 85% of them Biology , find the percentage of students who offered Biology only]
Sol :
माना गणित लेने वाले विद्यार्द्यियो का समुच्चय=A
माना जीव विज्ञान लेने वाले विद्यार्द्यियो का समुच्चय=B

n(A)=45% , n(B)=85%

n(A∪B)=100%, n(B-A)=?
n(A∪B)=100%

n(A)+n(B)-n(A∩B)=100%

n(A∪B)=100%
n(A)+n(B)-n(A∩B)=100%
45%+85%-n(A∩B)=100%
130%-n(A∩B)=100%
30%=n(A∩B)
n(B)=n(B-A)+n(A∩B)
85%=n(B-A)+30%
55%=n(B-A)

Question 12

200 व्यक्ति किसी चर्म रोग से पीड़ित है , इनमे 120 व्यक्ति रसायन C₁, 50 व्यक्ति रसायन C₂ तथा 30 व्यक्ति रसायन C₁एवं C₂ दोनो ही से प्रभावित हुए हो वैसे व्यक्तियो की संख्या बताएँ जो ः
(i) रसायन C₁ प्रभावित हुए हो किन्तु रसायन C₂ से नही
(ii) रसायन C₂ प्रभावित हुए हो किन्तु रसायन C₁ से नही
(iii) रसायन C₁ अथवा रसायन C₂ से प्रभावित हुए है ।
Sol :
n(S)=200, n(C₁)=120 ,n(C₂)=50 ,n(C₁⋂C₂)=30

(i) n(C₁⋂C₂)⇒
n(C₁)=n(C₁-C₂)+n(C₁∩C₂)
120=n(C₁-C₂)+30
90=n(C₁-C₂)

(ii) n(C₂-C₁)⇒
n(C₂)=n(C₂-C₁)+n(C₁∩C₂)
50=n(C₂-C₁)+30
20=n(C₂-C₁)

(iii) n(C₁⋃C₂)=n(C₁)+n(C₂)-n(C₁∩C₂)
=120+50-30
=140

Question 14

एक समूह मे प्रत्येक सदस्य हिन्दी और उर्दू भाषाओ मे से कम-से-कम एक अवश्य जानता है । 100 सदस्य हिन्दी जानते है , 50 उर्दू और इनमे से 25 हिन्दी तथा उर्दु दोनो जानते है। समूह मे कितने सदस्य है ?
Sol :
माना हिन्दी जानने वाले व्यक्तियो का समुच्चय=A
माना उर्दू जानने वाले व्यक्तियो का समुच्चय=B

n(A)=100 ,n(B)=50
n(A∩B)=25 ,n(A⋃B)=?
n(A⋃B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
=100+50-25
=125

Question 15

एक विद्यालय के 600 विद्यार्थियो के सर्वेक्षण मे पाया गया कि 150 विद्यार्थी चाय , 225 विद्यार्थी काँफी , तथा 100 विद्यार्थी चाय तथा काँफी दोनो पीते है कितने विद्यार्थी न तो चाय और न काँफी पीते है ?
Sol :
माना चाय पीने वाले विद्यार्थियो का समुच्चय=A
काँफी पीने वाले विद्यार्थियो का समुच्चय=B

n(5)=600, n(A)=150, n(B)=225
n(A∩B)=100
n(A'∩B')=?

n(A⋃B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
=150+225-100
=375-100
=275

n(A'∩B')=n(S)-n(A⋃B)
=600-275
=325

Question 16

एक कक्षा के 35 विद्यार्थियो मे 17 गणित लिया है, 10 गणित लेकिन भौतिकी नही। उन विद्यार्थियो की संख्या ज्ञात कीजिए तो गणित तथा भौतिकी दोनो लिये है और वैसे विद्यार्थियो की संख्या जो भौतिकी लिये है लेकिन गणित नही । यह दिया हुआ है कि प्रत्येक विद्यार्थी या तो गणित या भौतिकी या दोनो लिया है ।
Sol :
माना गणित लेने वाले विद्यार्थियो का समुच्चय=A
माना भौतिकी लेने वाले विद्यार्थियो का समुच्चय=B

n(A⋃B)=35 ,n(A)=17 , n(A-B)=10
n(A∩B)=? , n(B-A)=?

n(A)=n(A-B)+n(A∩B)
17=10+2(A∩B)
7=n(A∩B)
n(A∩B)=35

n(A)+n(B)-n(A∩B)=35
17+n(B)-7=35
10+n(B)=35
n(B)=25

n(B)=n(B-A)+n(A∩B)
25=n(B-A)+7

Question 17

500 कार मालिको से पूछ-ताछ करने पर पाया गया कि 400 लोग A प्रकार की कार के 200 लोग B प्रकार की कार के तथा 500 लोग A और B दोनो प्रकार के कारो के मालिक थे। क्या ये आँकड़े सही है ?
Sol :
नही, यह आँकड़ा गलत है ।
n(A)<n(A∩B) ,

n(B)<n(A∩B) ,

Question 18 

45 विद्यार्थियो के समूह मे ,22 रेवल हिन्दी बोल सकते है, 12 केवल अंग्रेजी बोल सकते है। कितने विद्यार्थी हिन्दी तथा अंग्रेजी दोनो बोल सकते है ?
Sol :
माना हिन्दी बोलने वाले विद्यार्थियो की समुच्चय=A
माना अंग्रेजी  बोलने वाले विद्यार्थियो की समुच्चय=B

n(A⋃B)=45, n(A-B)=22,
n(B-A)=12

n(A∩B)=?

n(A⋃B)=n(A-B)+n(B-A)+n(A∩B)
45=22+12+n(A∩B)
45=34+n(A∩B)
11=n(A∩B)

Question 19

एक शहर की आबादी 5000 है , इसमे 2800 टाइम्स आँफ इंडिया पढ़ते है,2300 इँडियन एक्सप्रेस और 400 दोनो पढ़ते है । कितने कोई भी नही पढ़ते है ?
Sol :
n(S)=5000

माना टाइम्स आँफ इंडिया पढ़ने वाले व्यक्तियो का समुच्चय=A
इँडियन एक्सप्रेस पढ़ने वाले व्यक्तियो का समुच्चय=B

n(A)=2800 , n(B)=2300
n(A∩B)=400
n(A'∩B')=?

n(A⋃B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
=2800+2300-400
=5100-400
=4700

n(A'∩B')=n(5)-n(A⋃B)
=5000-4700
=300

Question 20

=n(5)-(a+b+c+d+e+f+g)

=100-(12+5+8+15+10+20+10)

=100-80

=20

Question 21

∵ g=3 , f=1 , d=6 , e=2 , a=4 , c=2 , b=5

अत: a=4 , b=5 , c=2 , d=6 , e=2 , f=1 , g=3

(i) 5
(ii) 4
(iii) 2
(iv) 1
(v) 6
(vi) a+b+c
=4+5+2
=11

(vii) a+b+c+d+e+f+g
=4+5+2+6+2+1+3
=23

(viii) n(5)-(a+b+c+d+e+f+g)
=25-23
=2