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Question 1
फलन f(x)=(x-2) log x पर विचार करते हुए सिद्द करे कि समीकरण xllogx=2-x और 2 के बिच मे x कम-से-कम एक मान के लिए अवश्य सत्य है ।
[Considering the function f(x)=(x-2)log x, show that the equation xlogx=2-x is true for at least one value of x between 1 and 2]
Sol :
f(x)=(x-2)logx
(x-2) एक बहुपद फलन है और logx एक लघुगणकीय फलन है
∴f(x) , बंद अंतराल [1,2] पर संतता और खुला अंतराल (1,2) मे अवकलनीय होगा ।
f(1)=(1-2)log1=(-1)×0=0
f(2)=(2-2)log2=0×log2=0
f(1)=f(2)
Differentiating w.r.t. x
$f^{\prime}(x)=1 \cdot \log x+(x-2) \times \frac{1}{x}$
$f^{\prime}(x)=\frac{x \log x+x-2}{2 x}$
By Rolle's theorem
∴f'(x)=0
$\frac{x \log x+x-2}{x}=0$
xlogx+x-2=0
xlogx=2-x
Question 2
यदि कोई फलन f(x) बन्द अन्तराल [2,4] मे ं संतत हो तथा खुले अन्तराल(2,4) मे अवकलनीय हो तथा f(2)=5 , f(4)=13 , तो दिखाएँ कि , कम-से-कम एक ऐसा c मिलेगा , जहाँ 2<c<4 ताकि f'(c)=4
[If a function f(x) is continuous in the closed interval (2,4) and differentiable in the open interval (2,4) and f(2)=5, f(4)=13, show that there will be at least one point c, where 2<c<4 such that f'(c)=4.]
Sol :
फलन f(x) बंद अंतराल [2,4] मे ं संतता तथा खुले अंतराल (2,4) मे अवकलनीय है ।
f(2)=5 , f(4)=13
By Mean Value Theorem
f'(c)=\frac{f(4)-f(z)}{4-2}
f^{\prime}(c)=\frac{13-5}{2}=\frac{8}{2}
∴ f'(c)=4
Question 3
यदि कोई फलन f(x) बन्द अन्तराल [0,3] मे अवकलनीय हो तथा f(0)10 , f(3)=25 तो साबित करे कि कम-से-कम एक c मिलेगा , जहाँ 0<c<3 ताकि f'(c)=5
[If a function f(x) is differentiable in he closed interval [0,3] and f(0)=10 ,f(3)=25, then show that there exists at least one point c, where 0<c<3 such that f'(c)=5]
Sol :
फलन f(x) बन्द अन्तराल [0,3] मे अवकलनीय है
∴ f(x) बन्द अन्तराल [0,3] मे संतत होगा ।
तथा f(x) खुले अन्तराल [0,3] मे अवकलनीय होगा ।
f(0)=10 , f(3)=25
By Mean Value Theorem
$f^{\prime}(c)=\frac{f(3)-f(0)}{3-0}$
$=\frac{25-10}{3}$
$f^{\prime}(c)=\frac{15}{2}=5$
Question 4
यदि फलन f(x) तथा g(x) बन्द अन्तराल [1,3] मे अवकलनीय हो , तो दिखाएँ कि कम-से-कम एक c मिलेगा , जहाँ 0<c<3 ताकि
$\left|\begin{array}{ll}f(1) & f(3) \\ g(1) & g(3)\end{array}\right|=2\left|\begin{array}{ll}f(1) & f^{\prime}(c) \\ g(1) & g^{\prime}(c)\end{array}\right|$
[If functions f(x) and g(x) be differentiable in the closed interval [1,3] show that there will be at least one point c, where 1<c<3, such that]
Sol :
माना $f(x)=\left|\begin{array}{cc}f(a) & f(x) \\ g(a) & g(x)\end{array}\right|$
f(x)=f(a)g(x)-g(a)f(x)
∵ f(x) तथा g(x) बन्द अंतराल [1,3] मे अवकलनीय है ।
∴ f(x) तथा g(x) बंद अंतराल [1,3] मे संतत होगा ।
और f(x) तथा g(x) खुला अंतराल(1,3) मे अवकलनीय होगा ।
f(a) और g(a) अचर है ।
अत: f(x) भी बंद अंतराल[1,3] मे संतत और खुला अंतराल(1,3) मे अवकलनीय होगा ।
f(x)=f(a).g(x)-g(a).f(a)
Differentiating w.r.t x
f'(x)=f(a)g'(x)-g(a)f'(x)
By Mean Value Theorem
$f^{\prime}(c)=\frac{f(3)-f(1)}{3-1}$
f(1)g'(c)-g(1)f'(c)$=\left.\frac{f(3)-f(1)}{2}\right.$
$2\left|\begin{array}{ll}f(1) & f'(c) \\ g(1) & g^{\prime}(c)\end{array}\right|=f(3)-f(1)$
∵$f(x)=\left|\begin{array}{ll}f(a) & f(x) \\ g(x) & g(x)\end{array}\right|$
$2\left|\begin{array}{ll}f(1) & f^{\prime}(c) \\ g(1) & g^{\prime}(c)\end{array}\left|=\left|\begin{array}{ll}f(1) & f(3) \\ g(1) & g(3)\end{array}\Bigg|-\Bigg| \begin{array}{ll}f(1) & f(1) \\ g(1) & g(1)\end{array}\right|\right.\right.$
$2\left|\begin{array}{ll}f(1) & f^{\prime}(c) \\ g(1) & g^{\prime}(c)\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}f(1) & f(3) \\ g(1) & g(3)\end{array}\right|$
Question 5
निम्नलिखित फलनो के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित करे
[Verify Rolle's theorem for the following functions]:
(i) $f(x)=x^{2}-4 x+3$ अंतराल (in interval) [1,3] मे
Sol :
f(x) एक बहुपद फलन है ,
∴ f(x) बंद अंतराल [1,3]मे संतत और खुला अंतराल (1,3) मे अवकलनीय होगा ।
f(1)=(1)2-4(1)+3
=1-4+3
=0
f(3)=(3)2-4(3)+3
=9-12+3
=0
f(1)=f(3)
f(x)=(x)2-4x+3
Differentiating w.r.t x
f'(x)=2x-4
f'(x)=2x-4
By Rolle's Theorem,
f'(c)=0
2c-4=0
2c=4
$c=\frac{4}{2}$
c=2∊(1,3)
(ii) f(x)=4x2-12x+9 (in) [0,3] मे
Sol :
f(x) एक बहुपद फलन है ।
∴ f(x) बंद अंतराल [0,3] मे ं संतत और खुला अंतराल [0,3] मे अवकलनीय होगा ।
f(0)=4(0)2-12(0)+9
=9
f(3)=4(3)2-12(3)+9
=36-36+9
=9
f(0)=f(3)
f(x)=4x2-12x+9
Differentiating w.r.t x
f'(x)=8x-12
By Rolle's theorem
f'(c)=0
8c-12=0
8c=12
$c=\frac{12}{8}$
$c=\frac{3}{2} \in(0.3)$
(iii) f(x)=x(x-4)2 (in) [0,4] मे
Sol :
f(x) एक बहुपद फलन है ,
∴f(x) बंद अंतराल [0,4] मे संतत और खुला अंतराल (0,4) मे अवकलनीय होगा ।
f(0)=0(0-4)2
=0
f(4)-4(4-x)2
=4×02
=0
f(0)=f(4)
f(x)=x(x-4)2
Differentiating w.r.t x
f'(x)=1(x-4)2+x.2(x-4).1
=(x-4)(x-4+2x)
f'(x)=(x-4)(3x-4)
By Rolle's theorem
f'(c)=0
(c-4)(3c-4)=0
$\begin{array}{l|l} c-4=0&3c-4=0\\c=4&3c=4\\&c=\frac{4}{3}\in(0,4)\end{array}$
(iv) $f(x)=x(x-5)^{2}$ (in) [0,5] में
(v) $f(x)=x(x-3)^{2}$ (in) [0,3] में
(vi) $f(x)=x(x-1)^{2}$ (in) [0,1] में
Sol :
(vii) f(x)=x3-6x2+11x-6 (in) [3,4] मे
Sol :
f(x) एक बहुपद फलन है ।
∴ f(x) बंद अंतराल [1,3] मे संतत और खुला अंतराल (1,3) मे अवकलनीय होगा ।
f(1)=(1)3-6(1)2+11(1)-6
=1-6+11-6
=0
f(3)=(3)3-6(3)2+11(3)-6
=27-54+33-6
=60-60
=0
f(1)=f(3)
f(x)=3x2-12x+11
By Rolle's theorem
$c=\frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^{2}-4 \times 3 \times 11}}{2 \times 3}$
$c=\frac{12 \pm \sqrt{144-132}}{6}$
$c=\frac{12 \pm \sqrt{12}}{6}$
$c=\frac{12 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$
$=\frac{2(6 \pm \sqrt{3})}{6}$
$c=\frac{6 \pm \sqrt{3}}{3} \in(1,3)$
(viii) f(x)=(x-2)(x-3)(x-4) (in) [2,4] मे
Sol :
f(x) एक बहुपद फलन है ।
∴ f(x) बंद अंतराल [2,4] मे संतत और खुला अंतराल (2,4) अवकलनीय होगा ।
f(2)=(2-2)(2-3)(2-4)
=0(-1)(-2)
=0
f(4)=(4-2)(4-3)(4-4)
=2×1×0
=0
f(3)=(x-2)(x-3)(x-4)
Differentiating w.r.t x
f'(x)=1.(x-3)(x-4)+(x-2).1(x-4)+(x-2)(x-3)
=x2-4x-3x+12+x2-4x-2x+8+x2-3x-2+6
f'(x)=3x2-18x+26
By Rolle's theorem
3x2-18c+26=0
$c=\frac{-(-18) \pm \sqrt{(-18)^{2}-4 \times 3 \times 2}}{2 \times 3}$
$c=\frac{18 \pm \sqrt{324-312}}{6}$
$c=\frac{18 \pm \sqrt{12}}{6}$
$c=\frac{18 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$
$c=\frac{2(9 \pm \sqrt{3})}{6}$
$c=\frac{9 \pm \sqrt{3}}{3} \in(2,4)$
(ix) f(x)=x2+2x-8⋲[-4,2] मे
Sol :
f(x) एक बहुपद फलन है ।
∴f(x) बंद अंतराल [-4,2] मे संतत और खुला अंतराल (-4,2) मे अवकलनीय होगा ।
f(-4)=(4)2+2(-4)-8
=16-8-8
=0
f(2)=22+2(2)-8
=4+4-8
=0
f(-4)=f(2)
f(x)=x2+2x-8
Differentiating w.r.t x
f'(x)=2x+2
By Rolle's theorem
2c+2=0
2c=-2
c=-1⋲(-4,2)
(x) $f(x)=x^{2}+2, x \in[-2,2]$ में
Sol :
Question 6
निम्नलिखित फलनो के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित करे ।
[Verify Rolle's theorem for the following functions]
(i) $f(x)=\sin 2 x(\text { in })\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ मे
Sol :
f(x) एक त्रिकोणमितिय फलन है ।
∴f(x) , बंद अंतराल $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ मे संतत और खुला अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ मे अवकलनीय होगा ।
f(0)=sin z(0)
=sin0
=0
$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sin 2\left(\frac{\pi}{2}\right)$
=sinπ
=0
$f(0)=f\left(\frac{\pi}{2}\right)$
f(x) , Rolle's theorem के सभी शर्तो को पूरा करता है
∵ f(x)=sin2x
Differentiating w.r.t x
f'(x)=2cos2x
By Rolle's theorem
f'(c)=0
2cos2c=0
cos2c=0
$\cos 2 c=\cos \frac{\pi}{2}$
$2 c=\frac{\pi}{2}$
$c=\frac{\pi}{4} \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$
(ii) f(x)=cos2x in $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ मे
Sol :
f(x) एक त्रिकोणमितिय फलन है ।
∴f(x) बंद अंतराल $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ मे संतत और खुला अंतराल $\left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$ मे अवकलनीय है ।
$f\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\cos x\left(\frac{-\pi}{4}\right)=\cos \left(-\frac{\pi}{2}\right)$
$=\cos \frac{\pi}{2}=0$
$f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\cos 2\left(\frac{\pi}{4}\right)$
$=\cos \frac{\pi}{2}=0$
$f\left(-\frac{\pi}{4}\right)=f\left(\frac{\pi}{4}\right)$
∴ f(x) , Rolle's theorem के सभी शर्तो को पूरा करते है
f(x)=cos2x
Differentiating w.r.t x
f'(x)=-2sin2x
By Rolle's theorem
f'(c)=0
-2sin2c=0
sin2c=0
sin2c=sin0
2c=0
$c=\frac{0}{2}=0 \in\left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$
sin2c=0
∴2c=nπ , n∈z
$c=\frac{n \pi}{2}$
n=0,1,2.....
(iii) f(x)=sinx+cosx-1 (in) $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ मे
Sol :
f(x) एक त्रिकोणमितिय फलन है ।
∴ f(x) , बंद अंतराल $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ मे संतत और खुला अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ मे अवकलनीय है ।
f(0)=sin0+cos0-1
=0+1-1
=0
$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sin \frac{\pi}{2}+\cos \frac{\pi}{2}-1$
=1+0-1
=0
f(0)=$f\left(\frac{\pi}{2}\right)$
∵f(x) , By Rolle's theorem के लिए शर्तो को पूरा करता है
f(x)=sinx+cosx-1
Differentiate w.r.t x
f'(x)=cosx-sinx
π
f'(c)=0
cosx-sinx=0
-sinx=-cosx $\Rightarrow \frac{\sin x}{\cos x}=1$
tanx=1
tanx=$\tan \frac{\pi}{4}$
$x =\frac{\pi}{4} \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$
(iv) f(x)=cosx+sinx (in) [0,2π] मे
Sol :
f(x) एक त्रिकोणमितीय फलन है ।
∴f(x) , बंद अंतराल [0,2π] मे संतत और खुला अंतराल (0.2π) मे अवकलनीय होगा ।
f(0)=cos0+sin0
=1+0=1
f(2π)=cos2π+sin2π
=1+0
=1
f(0)=f(2π)
∵f(x) Rolle's theorem के लिए शर्तो को पूरा करता है
f(x)=cosx+sinx
Differentiating w.r.t x
f'(x)=-sinx+cosx
By Rolle's theorem
-sinc+cosc=0
$\frac{\sin c}{\cos c}=1$
tanc=1
$\tan c=\tan \frac{\pi}{2}$
[यदि tanθ=tanα तो θ=nπ+α , A∈Z]
$c=n \pi+\frac{\pi}{4}, n \in z$
$c=\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4} \in(0,2 \pi)$
Question 7
रोले के प्रमेय का c निकाले , जहाँ
[Find c of Rolle's theorem , where]
(i) f(x)=sinx तथा (and) 0<c<π
Sol :
f(x) एक त्रिकोणमितीय फलन है ।
∴f(x) बंद अंतराल [0,π] मे संतत और खुला अंतराल (0,π) मे अवकलनीय होगा ।
f(0)=sin0
=0
f(π)=sinπ=0
f(0)=f(π)
∵ f(x) , Rolles's theorem के सभी शर्तो को पूरा करता है
f(x)=sinx
Differentiating w.r.t x
f'(x)=cosx
By Rolles's theorem
f'(c)=0
cosc=0
$c=\frac{\pi}{2} \in(0, \pi)$
(ii) f(x)=x(x-1) तथा (and) 0<c<1
Sol :
(iii) f(x)=2x3+x2-4x तथा (and) -√2<c<√2
Sol :
∵ f(x) एक बहुपद फलन है ।
∴f(x) , बंद अंतराल [-√2,√2] मे संतत और खुला अंतराल (-√2,√2) मे अवकलनीय होगा ।
f(-√2)=2(-√2)3+(-√2)2-4(-√2)
=2(-2√2)+2+4√2
=-4√2+2+4√2
=2
f(√2)=2(√2)3+(√2)2-4(-√2)
=2(2√2)+2+4√2
=2
f(-√2)=f(√2)
∵f(x) Rolles's theorem के सभी शर्तो को पूरा कर रहा है ।
f(x)=2x3+x2-4x
Differentiating w.r.t x
f'(x)=6x2+2x-4
=2(3x2+x-2)
By Rolles's theorem
f'(c)=0
2(3c2+c-2)=0
3c2+c-2=0
3c2+3c-2c-2=0
3c(c+1)-2(c+1)=0
(c+1)(3c-2)=0
$\begin{array}{r|l}c+1=0 & 3 c-2=0 \\ c=-1 &3c=2\\&c=\frac{2}{3} \end{array}$
$c=-1, \frac{2}{3} \in(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$
Question 8
निम्नलिखित फलनो के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित करे ।
[Verify Rolle's theorem for the following functions]
(i) f(x)=x2,अन्तराल (in interval) [-1,1] मे
Sol :
∵f(x) एक बहुपद फलन है ।
∴f(x) बंद अंतराल [-1,1] मे सतत और खुला अंतराल (-1,1) मे अवकलनीय है ।
f(-1)=(-1)2
=1
f(1)=(1)2
=1
f(-1)=f(1)
∵f(x) , Rolle's theorem के सभी शर्तो को पूरा कर रहा है ।
f(x)=(x)2
Differentiating w.r.t x
f'(x)=2x
By Rolle's theorem
f'(c)=0
2c=0
$c=\frac{0}{2}$
c=0∈(-1),1
(ii) f(x)=(x-1)2(x-2) , अन्तराल (in interval) [1,2] मे
Sol :
∵ f(x) एक बहुपद फलन है ।
∴f(x) बंद अंतराल [1,2] मे संतत और खुला अंतराल (1,2) मे अवकलनीय होगा ।
f(1)=(1-1)2(1-2)
=0
f(2)=(2-1)2(2-2)
=0
f(1)=f(2)
∵ Rolle's theorem के सभी शर्तो को पूरा कर रहा है ।
f'(x)=2(x-1).1.(x-2)+(x-1)2.1
=(x-1)[2(x-2)+(x-1)]
f'(x)=(x-1)(2x-4+x-1)
f'(x)=(x-1)(3x-5)
By Rolle's theorem
f'(c)=0
(c-1)(3c-5)=0
$\begin{array}{l|l}c-1=0&3c-5=0\\c-1=0&3c=5\\&c=\frac{5}{3} \in(1,2)\\\end{array}$
(iii) $f(x)=\frac{\sin x}{e^{x}}$ अन्तराल (in interval) [0,π] मे
Sol :
∵sinx त्रिकोणमितीय फलन है और ex एक घातंक फलन है ।
∴ f(x) , बंद अंतराल [0,π] मे संतत और खुला अंतराल (0,π) मे अवकलनीय होगा ।
$f(0)=\frac{\sin 0}{e^{0}}=\frac{0}{1}=0$
$f(\pi)=\frac{\sin \pi}{e^{\pi}}=\frac{0}{e^{\pi}}=0$
f(0)=f(π)
∵f(x) , Rolle's theorem के सभी शर्तो को पूरा कर रहा है ।
$f(x)=\frac{\sin x}{e^{x}}$
Differentiating w.r.t x
$f(x)=\frac{\cos x \cdot e^{x}-\sin x \cdot e^{x}}{\left(e^{x}\right)^{2}}$
$=\frac{e^{x}(\cos x-\sin x)}{\left(e^{x}\right)^{2}}$
$f^{\prime}(x)=\frac{\cos x-\sin x}{e^{x}}$
By Rolle's theorem
f'(c)=0
$\frac{\operatorname{cos} c-\sin c}{e^{c}}=0$
cosc-sinc=0
-sinc=-cosc
$\frac{\sin c}{\cos c}=1$
tanc=1
$\tan c=\tan \frac{\pi}{4}$
[यदि tanθ=tanα तो θ=nπ+α , n∈z]
$c=n \pi+\frac{\pi}{4}, n \in z$
$c=\frac{\pi}{4} \in(0, \pi)$
(iv) f(x)=ex(sinx-cosx) अंतराल (in internal) $\left[\frac{\pi}{4} , \frac{5 \pi}{4}\right]$ मे
Sol :
∵ex एक घांताक फलन है और (sinx-cosx) एक त्रिकोणमितीय फलन है ।
∴ f(x) , बंद अंतराल $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right]$ मे संतत और खुला अंतराल $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right)$ मे अवकलनीय है ।
$f\left(\frac{\pi}{4}\right)=e^{\frac{\pi}{4}}\left(\sin \frac{\pi}{4}-\cos \frac{\pi}{4}\right)$
$=e^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=0$
$f\left(\frac{5 \pi}{7}\right)=e^{\frac{5 \pi}{4}}\left(\sin \frac{5 \pi}{7}-\cos \frac{5 \pi}{4}\right)$
$=e^{\frac{5 \pi}{4}}\left[\sin \left(\pi+\frac{\pi}{4}\right)-\cos \left(\pi+\frac{\pi}{4}\right)\right]$
$=e^{\frac{5}{4}}\left[-\sin \frac{\pi}{4}+\cos \frac{\pi}{4}\right]$
$=e^{\frac{5 \pi}{4}}\left[-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\right]=0$
$f\left(\frac{\pi}{4}\right)=f\left(\frac{5 \pi}{4}\right)$
∵f(x) , Rolle's theorem के सभी शर्तो को पूरा कर रहा है ।
f(x)=ex(sinx-cosx)
Differentiating w.r.t x
f'(x)=ex[sinx-cosx]+ex[cosx+sinx]
=ex[sinx-cosx+cosx+sinx]
=2exsinx
By Rolle's theorem
f'(c)=0
2ecsinc=0
sinc=0
[यदि sinθ=0 तो θ=nπ , n∈z]
c=nπ , n∈z
n=1 ,
$c=\pi \in\left(\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right)$
(v) f(x)=(x-a)m(x-b)n , जहाँ m,n धन पूर्णाक है (where m,n are positive integers) अन्तराल (in internal) [a,b] मे
Sol :
f(x) एक बहुपद फलन है ।
∴f(x) बंद अंतराल [a,b] मे संतत और खुले अंतराल (a,b) मे अवकलनीय है ।
f(a)=(a-a)m(a-b)n=0
f(b)=(b-a)m(b-b)n=0
f(a)=f(b)
∵f(x) , Rolle,s theorem के सभी शर्तो को पूरा कर रहा है ।
f(x)=(x-a)m.(x-b)n
Differentiate w.r.t x
f'(x)=m(x-a)m-1.1(x-b)n+(x-a)m.n(x-b)n-1.1
=(x-a)m-1.(x-b)n-1[m(x-b)+(x-a)n]
f'(x)=(x-a)m-1.(x-b)n-1(mx-mb+nx-na)
By Rolle's theorem
f'(c)=0
(c-a)m-1.(c-b)n-1.(mc-mb+nc-na)=0
mc-mb+nc-na=0
mc+nc=na+mb
(m+n)c=na+mb
$c=\frac{n a+m b}{m+n} \in(a, b)$
(vi) f(x)=(x-1)(x-2)(x-3) , अंतराल (in interval) [1,3] मे
Sol :
∵f(x) , एक बहुपद फलन है ।
∴ f(x) बंद अंतराल [1,3] मे ं सतत और खुला अंतराल (1,3) मे अवकलनीय है ।
f(1)=(1-1)(1-2)(1-3)=0
f(3)=(3-1)(3-2)(3-3)=0
f(1)=f(3)
∵ f(x) Rolle's theorem के सभी शर्तो को पूरा कर रहा है ।
f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)
Differentiate w.r.t x
f'(x)=1.(x-2)(x-3)+(x-1).1.(x-3)+(x-1)(x-2).1
=x2-3x-2x+6+x2-3x-x+3+x2-2x-x+2
f'(x)=3x2-12x+11
By Rolle's theorem
f'(c)=0
3c2-12c+11=0
$c=\frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^{2}-4 \times 3 \times 11}}{2\times 3}$
$c=\frac{12 \pm \sqrt{144-132}}{6}$
$c=\frac{12 \pm \sqrt{12}}{6}$
$c=\frac{12 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$
$c=\frac{2(6 \pm \sqrt{3})}{6}$
$c=\frac{6}{3} \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$
$=2 \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\in [1,3]$
Question 9
निम्नलिखित फलनो के लिए रोले के प्रमेय की अनुप्रयोगिता की जाँच करे ।
[Test the applicability of Rolle's theorem for the following functions]
(i) $f(x)=(x-1)^{\frac{2}{5}}$ (in) [0,3] मे
Sol :
Differentiating w.r.t x
$f^{\prime}(x)=\frac{2}{5}(x-1)^{-\frac{3}{5}}$
$f^{\prime}(x)=\frac{2}{5(x-1)^{3/5} }$
$\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f^{\prime}(x)=\lim_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{2}{5(x-1)^{3/5}}$
=∞
∵ f(x) , x=1∈(0,3) पर अवकलनीय नही है ।
अत: Rolle's theorem का प्रयोग नही होगा ।
(ii) $f(x)=x^{\frac{2}{3}}$ (in) [-1,1] मे
Sol :
f'(x)$=\frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}}=\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$
=∞
∵ f(x) , x=1∈(-1,1) पर अवकलनीय नही है ।
∴Rolle's theorem is not applicable
(अत: Rolle's theorem का प्रयोग नही होगा ।)
(iii) $f(x)=x^{\frac{1}{3}}$ (in) [-1,1] में
Sol :
(iv) $f(x)=\sqrt{x-1}$ (in) [1,2] मे
Sol :
x∈[1,2], तो $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=\lim_{x\rightarrow1}\sqrt{x-1}$
=0∈R
x∈[1,2], तो $\sqrt{x-1}$∈R
∴f(x) , [1,2] पर संतत है ।
$f(x)=\sqrt{x-1}$
Differentiating w.r.t x
$f^{\prime}(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x-1}}$
x∈(1,2)
$x=\frac{3}{2}$
⇒$\lim _{x \rightarrow \frac{3}{2}} f^{\prime}(x)=\lim_{x \rightarrow \frac{3}{2}} \frac{1}{2 \sqrt{x-1}}$
$=\frac{1}{2 \sqrt{\frac{3}{2}-1}}$
$=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\in R$
∵ f(x) , x∈(1,2) के लिए अवकलनीय है ।
f(1)=$=\sqrt{1-1}$=0
f(2)=$=\sqrt{2-1}$=0
f(1)=f(2)
(अत: Rolle's theorem का अनुप्रयोग नही होगा ।)
(v) f(x)=x2-1 (for) x∈[1,2] के लिए
Sol :
f(x) एक बहुपद फलन है ।
∴f(x) बंद अंतराल [1,2] मे ं संतत और खुला अंतराल (1,2) मे अवकलनीय है ।
f(1)=12-1
=0
f(2)=22-1
=3
f(1)=f(2)
∴Rolle's theorem अनुप्रयोगी नही है ।
Question 10
यदि f:[-5,5]→R अवकलनीय फलन है और यदि f'(x) किसी भी बंदु पर शून्य नहीं होता है तो सिद्ध करे कि f(-b)≠f(b)
[If f : [-5,5]→R is a differentiable function and f'(x) does not vanish any where , then prove that f(-b)≠f(b)]
Sol :
∵f(x) [-5,5] मे अवकलनीय है ।
∴ f(x) बंद अंतराल [-5,5] मे ं संतत और खुला अंतराल (-5,5) मे अवकलनीय है ।
∵f'(x) किसी भी बिन्दु पर शून्य नही है ।
f'(x)≠0 , जहाँ x∈(-5,5)
$\frac{f(5)-f(-5)}{5-(-5)}\not =0$
f(5)-f(-5)≠0
f(5)≠f(-5)
Question 11
यह दिया हुआ है कि $c=2+\frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए अन्तराल [1,3] मे फलन $f(x)=x^{3}+b x^{2}+a x+5$ के लिए रोले का प्रमेय वैध है । a और b के मान ज्ञात करे ।
[It is given that the function $f(x)=x^{3}+b x^{2}+a x+5$ on [1,3] , Rolle's theorem holds with $c=2+\frac{1}{\sqrt{3}}$ . Find the values of a and b]
Sol :
∵ $c=2+\frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए अंतराल [1,3] में फलन
$f(x)=x^{3}+b x^{2}+a x+5$ के लिए रोले का प्रमेय वैध है ।
∴f(x) , बंद अंतराल [1,3] मे सतत और खुला अंतराल (1,3) में अवकलनीय है ।
f(1)=f(3)
13+b(1)2+a(1)+5=(3)2+b(3)2+a(3)+5
13+b+a+5=27+9b+3a+5
a+b+6=9b+3a+32
0=9b+3a+32-a-b-6
0=2a+8b+26
0=2(a+4b+13)
a+4b+13=0..(i)
f(x)=x3+bx2+ax+5
Differentiate w.r.t x
f'(x)=3x2+2bx+a
By Rolle's theorem
f'(c)=0
3c2+2bc+a=0
$3\left(2+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}+2 b\left(2+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+a=0$
$3\left(4+\frac{1}{3}+\frac{4}{\sqrt{3}}\right)+2 b\left(2+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+a=0$
$12+1+\frac{12}{\sqrt{3}}+4 b+\frac{2 b}{\sqrt{3}}+a=0$
$(a+4 b+13)+\frac{12}{\sqrt{3}}+\frac{2 b}{\sqrt{3}}=0$
$0+\frac{12}{\sqrt{3}}+\frac{2 b}{\sqrt{3}}=0$ [समीकरण (i) से]
$\frac{2 b}{\sqrt{3}}=-\frac{12}{\sqrt{3}}$
b=-6
∵a+4b+13=0 [समीकरण (i) से]
a+4(-6)+13=0
a-24+13=0
a-11=0 ⇒a=11
∴a=11 , b=-6
Question 12
निम्नलिखित फलनो के लिए लैगराँजो के माध्यमान प्रमेय को सत्यापित करे ।
[Verify lagrange's mean value theorem for the following functions]
(i) $f(x)=x^{3}-2 x^{2}-x+3$ (in) [0,1] मे
Sol :
∵f(x) एक बहुपद फलन है ।
∴f(x) बंद अंतराल [0,1] मे संतत और खुला अंतराल (0,1) मे अवकलनीय है ।
f(0)=(0)3-2(0)2-0+3
=3
f(1)=(1)3-2(1)2-1+3
=1-2-1+3
=1
f(x)=(x)3-2(x)2-x+3
Differentiate w.r.t x
f'(x)=3x3-4x2-1
By MVT ,
$f'(c)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}$
$3 c^{2}-4 c-1=\frac{1-3}{1}$
3c2-4c-1+2=0
3c2-4c+1=0
3c2-3c-c+1=0
3c(c-1)-1(c-1)=0
(c-1)(3c-1)=0
$\begin{array}{l|l}c-1=0 &3c-1=0\\ c=1 \notin(0,1)&3c=1\\&c=\frac{1}{3}\in(0,1)\end{array}$
(ii) f(x)=(x-3)(x-6)(x-9) (in) [3,5] मे
Sol :
∵f(x) एक बहुपद फलन है ।
∴f(x) बंद अंतराल [3,5] मे संतत और खुला अंतराल (3,5) मे अवकलनीय है ।
f(3)=(3-3)(3-6)(3-9)
=0(-3)(-6)
=0
f(5)=(5-3)(5-6)(5-9)
=2(-1)(-4)
=8
∵f(x)=(x-3)(x-6)(x-9)
Differentiate w.r.t x
f'(x)=1.(x-6)(x-9)+(x-3).(1).(x-9)+(x-3)(x-6).1
=x2-9x-6x+54+x2-9x-3x+27+x2-6x-3x+18
f'(x)=3x2-36x+99
By MVT ,
$f^{\prime}(c)=\frac{f(5)-f(3)}{5-3}$
$3 c^{2}-36 c+99=\frac{8-0}{2}$
3c2-36c+99-4=0
3c2-36c+95=0
$c=-\frac{(-36) \pm \sqrt{(-36)^{2}-4 \times 3 \times 95}}{2 \times 3}$
$c=\frac{36 \pm \sqrt{1296-1140}}{6}$
$c=\frac{36 \pm \sqrt{156}}{6}$
$c=\frac{36}{6} \pm \frac{2 \sqrt{39}}{6}$
$c=6-\frac{\sqrt{39}}{3} \in(3,5)$
(iii) f(x)=(x-1)(x-2)(x-3) (in) [1,4] में
Sol :
(iv) $f(x)=x^2$ (in) [2,4] में
Sol :
Question 13
निम्नलिखित फलनो के लिए माध्यमान प्रमेय को सत्यापित करे ।
[Verify mean value theorem for the following functions]
(i) f(x)=log x , अन्तराल (in interval) [1,e] मे
Sol :
∵f(x) एक लघुगणकीय फलन है ।
∴f(x) बंद अंतराल [1,e] मे ं संतत और खुला अंतराल (1,e) मे अवकलनीय है ।
f(1)=log1=0
f(e)=log e=1
∵f(x)=f(e)
Differentiate w.r.t x
$f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}$
By MVT
$f^{\prime}(c)=\frac{f(e)-f(1)}{e-1}$
$\frac{1}{c}=\frac{1-0}{e{-1}}$
c=e-1∈(1,e)
(ii) f(x)=(x-1)(x-2)(x-3), अन्तराल (in interval) [0,4] मे
Sol :
∵f(x) एक लघुगणकीय फलन है ।
∴f(x) बंद अंतराल [0,4] मे ं संतत और खुला अंतराल (0,4) मे अवकलनीय है ।
f(0)=(0-1)(0-2)(0-3)
=(-1)(-2)(-3)
=-6
f(4)=(4-1)(4-2)(4-3)
=3×2×1
=6
∵f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)
Differentiating w.r.t x
f'(x)=1.(x-2)(x-3)+x-1.(x-3)+(x-1)(x-2).1
=x2-3x-2x+6+x2-2x-x+2
f'(x)=3x2-12x+11
By MVT
$f^{\prime}(c)=\frac{f(4)-f(0)}{4-0}$
$3 c^{2}-12 c+11=\frac{6-(-6)}{4}$
$3c^{2}-12 c+11=\frac{12}{4}$
=3c2-12c+8=0
$c=\frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^{2}-4 \times 3 \times 8}}{2 \times 3}$
$c=\frac{12 \pm \sqrt{149-96}}{6}$
$c=\frac{12 \pm \sqrt{48}}{6}$
$c=\frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$
$c=\frac{12}{6} \pm \frac{4\sqrt3}{6}$
$c=2 \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \in(0,4)$
Question 14
निम्नलिखित फलनो के लिए लैगराँजे के माध्यमान प्रमेय का c प्रमेय को निकाले ।
[Find c of Lagrange's mean value theorem for the following functions]
(i) f(x)=ex ,अन्तराल (in interval) [0,1] मे
Sol :
f(x) एक घातंक फलन है ।
∴f(x) बंद अंतराल [0,1] मे सतत और खुला अतराल (0,1) मे ं अवकलनीय है ।
f(0)=e0=1 , f(1)=e1=e
f(x)=ex
Differentiating w.r.t x
f'(x)=ex
By MVT ,
$f^{\prime}(c)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}$
$e^{c}=\frac{e-1}{1}$
ec=e-1
c=log(e-1)∈(0,1)
(ii) $f(x)=x+\frac{1}{x}$ अन्तराल (in interval) $\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ मे
Sol :
∵x खाई फलन है और $\frac{1}{x}$ व्युत्क्रमणिय फलन है ।
f(x) , बंद अंतराल $\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ मे सतत और खुला अतराल $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ मे ं अवकलनीय है ।
$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\frac{1}{2}}$
$=\frac{1}{2}+2=\frac{1+4}{2}=\frac{5}{2}$
$f(2)=2+\frac{1}{2}$
$=\frac{4+1}{2}=\frac{5}{2}$
∵$f(x)=x+\frac{1}{x}$
Differentiating w.r.t x
$f^{\prime}(x)=1-\frac{1}{x^{2}}$
By MVT
$f^{\prime}(c)=\frac{f(2)-f\left(\frac{1}{2}\right)}{2-\frac{1}{2}}$
$1-\frac{1}{c^{2}}=\frac{\frac{5}{2}-\frac{5}{2}}{\frac{3}{2}}$
$1-\frac{1}{c^{2}}=0$
$1=\frac{1}{c^{2}}$
c2=1
c=±1
$c=1 \in\left(\frac{1}{2}, 2\right)$
Question 15
c का मान निकाले ताकि $f^{\prime}(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ जहाँ
(i) f(x)=x3-3x-1,$a=-\frac{11}{7}, b=\frac{13}{7}$
Sol :
Differentiate w.r.t x
f'(x)=3x2-3
$f\left(-\frac{11}{7}\right)=\left(\frac{-11}{7}\right)^{3}-3\left(-\frac{11}{7}\right)-1$
$=-\frac{1331}{343}+\frac{33}{7}-1$
$=\frac{-1331+1617-343}{343}$
$=\frac{-57}{343}$
$f\left(\frac{13}{7}\right)=\left(\frac{13}{7}\right)^{3}-3\left(\frac{13}{7}\right)-1$
$=\frac{2197}{343}-\frac{39}{7}-1$
$=\frac{2197-1911-343}{343}=\frac{57}{343}$
∵$f^{\prime}(c)=\frac{f\left(\frac{13}{7}\right)-f\left(\frac{-11}{7}\right)}{\frac{13}{7}-\left(-\frac{11}{7}\right)}$
$3 c^{2}-3=\frac{\frac{-57}{343}-\left(\frac{-57}{343}\right)}{\frac{13}{7}+\frac{11}{7}}$
3c2-3=0
3c2=3
c2=1
c=±1
(ii) $f(x)=\sqrt{x^{2}-4}$ , a=2 , b=4
Sol :
Differentiating w.r.t x
$f^{\prime}(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x^{2}-4}} \times-2 x$
$f^{\prime}(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-4}}$
f(2)$=\sqrt{2^{2}-4}=0$ ,
f(4)=$\sqrt{4^{2}-4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
∵$f^{\prime}(c)=\frac{f(4)-f(2)}{4-2}$
$\frac{c}{\sqrt{c^{2}-4}}=\frac{2 \sqrt{3}-0}{2}$
$\frac{c}{\sqrt{c^{2}-4}}=\frac{2 \sqrt{3}}{2}$
दोनो तरफ वर्ग करने पर ,
$\frac{c^{2}}{c^{2}-4}=\frac{3}{1}$
3c2-12=c2
3c2-c2=12
2c2=12
c2=6
c=±√6
(iii) f(x)=3x4-4x2+5 , a=-1 , b=1
Sol :
Differentiating w.r.t x
f'(x)=12x3-8x
f(-1)=3(-1)4-4(-1)2+5
=3-4+5
=4
f(1)=3(1)4-4(1)2+5
=3-4+5
=4
∵$f^{\prime}(c)=\frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)}$
$12 x^{3}-8 x=\frac{4-4}{2}$
4x(3x2-2)=0
$\begin{array}{l|l}4c=0&3c^2-2=0\\c=\frac{0}{4}&3c^2=2\\c=0&c^2=\frac{2}{3}\\&c=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}\end{array}$
Question 16
(i) $f(x)=x^{2}-4 x-3$ के लिए अन्तराल [a,b] , जहाँ a=1 तथा b=4 मे माध्य मान प्रमेय सत्यापित करे ।
[]
Sol :
∵f(x) एक बहुपद फलन है ।
∴f(x) बंद अंतराल [1,4] मे ंसंतत और खुला अंतराल (1,4) में अवकलनीय है ।
f(1)=(1)2-4(1)-3
=1-4-3
=1-7
=-6
f(4)=(4)2-4(4)-3
=16-16-3
=-3
∵f(x)=x2-4x-3
Differentiate w.r.t x
$f^{\prime}(c)=\frac{f(4)-f(1)}{4-1}$
$2 x-4=\frac{-3-(-6)}{3}$
$2 x-4=-\frac{3+6}{3}$
$2 c-4=\frac{3}{3}$
2c=5
$c=\frac{5}{2} \in(1,4)$
(ii) $f(x)=x^{3}-5 x^{2}-3x$ के लिए अंतराल [a,b] , जहाँ a=1 तथा b=3 , मे माध्य मान प्रमेय को सत्यापित करे । सभी c∈(1,3) निकाले जिसके लिए f'(c)=0
Sol :
∵f(x) एक बहुपद फलन है ।
∴f(x) बंद अंतराल [1,3] मे ंसंतत और खुला अंतराल (1,3) में अवकलनीय है ।
f(1)=(1)3-5(1)2-3(1)
=1-5-3
=-7
f(3)=(3)3-5(3)2-3(3)
=27-45-9
=-27
∵ f(x)=(x)3-5(x)2-3(x)
Differentiate w.r.t x
f'(x)=3x2-10x-3
By MVT
$f^{ \prime}(c)=\frac{f(3)-f(1)}{3-1}$
$3 c^{2}-10 c-3=\frac{-27-(-7)}{2}$
$3 c^{2}-10 c-3=-\frac{20}{2}$
3c2-10c-3+10=0
3c2-10c+7=0
3c2-7c-3c+7=0
c(3c-7)-1(3c-7)=0
(3c-7)(c-1)=0
$\begin{array}{l|l}3c-7=0&c-1=0\\3c=7&c=1\notin(1,3)\end{array}$
$c=\frac{7}{3} \in(1,3)$
∵f'(c)=0
3c2-10c-3=0
$c=\frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^{2}-4 \times 3 \times(-3)}}{2 \times 3}$
$c=\frac{10 \pm \sqrt{100+36}}{6}$
$c=\frac{10 \pm \sqrt{136}}{6}$
$c=\frac{10 \pm \sqrt{2 \times 2 \times 2 \times 17}}{6}$
$c=\frac{10 \pm 2 \sqrt{34}}{6}=\frac{2(5\pm \sqrt34)}{6}$
$c=\frac{5 \pm \sqrt{34}}{3}$
$c=\frac{5 \pm \sqrt{34}}{3}\in(1,3)$
f'(c)=0 के (1,3) मे कोई म का मान नही है
Question 17
निम्नलिखित फलनो के लिए रोले के प्रमेय की अनुप्रयोगिता पर विचार करे । क्या आप इन उदाहरणो से रोले के प्रमेय के विलोम के बारे मे कुछ कह सकते है ?
(i) f(x)=x2-1 (for) x∈[-1,2] के लिए
(ii) f(x)=[x] (for) x∈[5,9] के लिए
Sol :
(i)
f(x)=x2-1 , x∈[-1,2]
∵f(x) एक बहुपद फलन है ।
∴f(x) , बंद अंतराल[-1,2] के संतत और खुला अंतराल (1,2) ंमे अवकलनीय है ।
f(-1)=(-1)2-1
=1-1
=0
f(2)=(2)2-1
=4-1
=3
f(-1)≠f(2)
अत: Rolle's theorem अनुप्रयोगी नही है ।
∴f(x)=x2-1
Differentiating w.r.t x
f'(x)=2x
Rolle's theorem के विलोम से
f'(c)=0
2c=0
$c=\frac{0}{2} \Rightarrow c=0 \quad \in(-1,2)$
लेकिन f(-1)≠f(2)
अत: Rolle's theorem के विलोम भी सत्य नही है ।
(ii)
∵f(x) एक महत्तम मान फलन है ।
∴f(x) बंद अंतराल [5,9] मे संतत नही है और न ही खुला अंतराल (5,9) ंमे अवकलनीय है ।
∴ Rolle's theorem अनुप्रयोगी नही है।
∵f(x) अवकलनीय नही है ।
∴Rolle's theorem का प्रतिलोम सत्य नही है ।
Question 18
निम्नलिखित फलनो के लिए माध्यमान प्रमेय की अनुप्रयोगिता की जाँच कीजिए ।
[Examine the applicability of mean value theorem for the following functions:]
(i) f(x)=x2-1 (for) x∈[1,2] के लिए
Sol :
∵f(x) एक बहुपद फलन है ।
∴f(x) बंद अंतराल [1,2] मे संतत और खुला अंतराल (1,2) मे अवकलनीय है ।
∴ माध्यमान प्रमेय अनुप्रयोगी है ।
f(1)=12-1
=0
f(2)=22-1
=3
∵f(x)=x2-1
Differentiate w.r.t x
f'(x)=2x
By MVT ,
$f^{\prime}(c)=\frac{f(2)-f(x)}{2-1}$
$2 c=\frac{3-0}{1}$
2c=3
$c=\frac{3}{2} \in(1,2)$
(ii) f(x)=[x] (for) x∈[-2,2] के लिए
Sol :
∵f(x) एक महत्तम मान फलन है ।
∴ f(x) बंद अंतराल [-2,2] मे संतत और खुला अंतराल (-2,2) मे अवकलनीय है ।
∴ माध्यमान प्रमेय अनुप्रयोगी नही है ।
(iii) f(x)=[x] (for) x∈[5,9] के लिए
Sol :
Question 20
माध्य मान प्रमेय कर साबित करे कि वक्र , $y=2 x^{2}-5 x+3$ पर बिन्दु A(1,0) तथा B(2,1) के बीच एक ऐसा बिन्दु है जहाँ पर स्पर्श रेखा जीवा AB के समान्तर है । उस बिन्दु को भी निकाले ।
[Using mean value theorem prove that there is a point on the curve $y=2 x^{2}-5 x+3$ between points A(1,0) and B(2,1) where tangent is parallel to chord AB. Also , find that point]
Sol :
माना $y=f(x)=2 x^{2}-5 x+3$ at [1,2]
∵f(x) , एक बहुपद फलन है ।
∴f(x) बंद अंतराल [-2,2] मे संतत और खुला अंतराल (-2,2) मे अवकलनीय है ।
f(0)=0 , f(2)=1
∵ f(x)=2x2-5x+3
Differentiating w.r.t x
f'(x)=4x-5
By MVT ,
$f^{\prime}(c)=\frac{f(2)-f(1)}{2-1}$
$4 c-5=\frac{1-0}{7}$
2c-5=1
2c=6
$c=\frac{6}{2}$
c=3∈(1,2)
y=2x2-5x+3
$y=2\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-5\left(\frac{3}{2}\right)+3$
$y=2\left(\frac{9}{4}\right)-\frac{15}{2}+3$
$=\frac{9-15+6}{2}=\frac{0}{2}$
=0
अगिष्ट बिन्दु $\left(\frac{3}{2}, 0\right)$
Question 21
रोले के साध्य करे कि वक्र y=(x-2)(x-3) पर बिन्दु (2,0) और (3,0) के बीच एक बिन्दु है जहाँ पर स्पर्श रेखा x-अक्ष के समान्तर है । फिर यह बिन्दु भी ज्ञात करे ।
Sol :
माना y=f(x)=y=(x-2)(x-3) at [2,3]
∵f(x) एक बहुपद फलन है ।
∴f(x) बंद अंतराल [2,3] मे संतत और खुला अंतराल (2,3) मे अवकलनीय है ।
f(2)=0 , f(3)=0
f(2)=f(3)
f(x) Rolle's theorem के सभी शर्तो को पूरा कर रहा है ।
f(x)=(x-2)(x-3)
Differentiating w.r.t x
f'(x)=1(x-3)+(x-2).1
=2x-5
By Rolle's theorem
f'(c)=0
2c-5=0
$c=\frac{5}{2}$
∵y=(x-2)(x-3)
$=\left(\frac{5}{2}-2\right)\left(\frac{5}{2}-3\right)$
$=\left(\frac{5-4}{2}\right)\left(\frac{5-6}{2}\right)$
$=\frac{1}{2} \times\left(\frac{-1}{2}\right)=\frac{-1}{4}$
अभिष्टि बिंदु $\left(\frac{5}{2},-\frac{1}{4}\right)$
Question 23
रोले के प्रमेय का प्रयोग कर कि समीकरण $a x^{3}+b x^{2}+c x+d=0$ के किन्ही दो भिन्न वास्तविक मूलो के बीच समीकरण $3 a x^{2}+2 b x+c=0$ का कम-से-कम एक वास्तविक मूल होगा ।
Sol :
माना f(x)=$a x^{3}+b x^{2}+c x+d$
Differentiating w.r.t x
f'(x)=$3 a x^{2}+2 b x+c$
∴f'(x) , x के सभी मागे के लिए परिभाषित है ।
अत: f(x) , x के किसी भी मान के लिए अवकलनीय है ।
∴f'(x) , x के सभी मागे के लिए संतत है ।
माना α और β दो भिन्न वास्तविक मूल हो f(x)=0
f(α)=f(β)=0
अत: f(x) रोले प्रमेय के सभी शर्तो को पूरा कर रहा है ।
अत: α और β के बीच कम-से-कम एक 𝛄 ऐसी मिलेगा जहाँ f'(𝛄)=0
3a𝛄2+2b𝛄2+c=0
अत: $a x^{3}+b x^{2}+c x+d=0$ के किसा दो भिन्न वास्तविक संख्या के बीच $a x^{3}+b x^{2}+c x+d=0$ का कम-से-कम एक वास्तविक मूस होगा ।
Question 24
माध्यमान प्रमेय का प्रयोग कर दिखाएँ कि (Using mean value theorem , show that)
|sinα-sinꞵ|≤|α-ꞵ|
Sol :
CASE-I
|sinα-sinꞵ|=0=|α-ꞵ|
CASE-II α=ꞵ , माना α<ꞵ
माना f(x)=sinx
Differentiating w.r.t x
f'(x)=cosx
f(x) , x के सभी मानो के लिए संतत और अवकलनीय है ।
अत: अंतराल [α,ꞵ] मे MVT से कम-से-कम एक c मिलेगा , जहाँ α<c<ꞵ ताकि
$\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}=f^{\prime}(c)$
$\frac{\sin \beta-\sin \alpha}{\beta-\alpha}=\cos \alpha$
$\frac{\sin \alpha-\sin \beta}{\alpha-\beta}=\cos c$
$\left|\frac{\sin \alpha-\sin \beta}{\alpha-\beta}\right|=|\cos c|$
$\frac{|\sin \alpha-\sin \beta|}{|\alpha-\beta|} \leqslant 1$
|sinα-sinꞵ|≤|α-ꞵ|