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क्रमचयो की संख्या पर आधारित प्रश्न जब कुछ चीजे एक साथ रखनी हो:
1.जिन चीजो को एक साथ रखना हो उन्हे एक चीज मीन ले (एक बंडल की तरह) तथा इस प्रकार से प्राप्त कुल चीजो को सजा ले।
2.फिर जिन चीजो को एक चीज माना गया है उन्हे आपस मे सजा दे।
3.(1) और (2) मे प्राप्त संख्याओ को गुना करे।
TYPE-IV (क्रमचयो की संख्या पर आधारित प्रश्न जब कुछ चीजे एक साछ रखनी हो:)
Question 1
दो किताबे ऐसी है जिनमे हरेक का तीव खण्ड है और दो किताबे है जिनमे हरेक का दो खंण्ड है। इन 10 किताबो का एक लम्बी टेबुल पर कितने तरीको से सजाया जा सकता है ताकि एक ही किताब के सभी खण्ड एक साथ रहे।
कुल 4 प्रकार की किताबे है।
पहली तरह के किताबे के खंडो की संख्या=3
दूसरे तरह के किताबे के खंडो की संख्या=3
तीसरे तरह के किताबे के खंडो की संख्या=2
चौथे तरह के किताबे के खंडो की संख्या=2
एक किताब के सभी खंडो को एक किताब मानने पर किताबो की संख्या =4
(ii) इन 4 किताबो को मेज पर सजाने का तरिका =4!
पहले तरह के किताबो के 3 खंडो को आपस मे सजाने का तरीका =3!
दूसरे तरह के किताबो के 3 खंडो को आपस मे सजाने का तरीका =3!
तीसरे तरह के किताबो के 3 खंडो को आपस मे सजाने का तरीका =2!
चौथे तरह के किताबो के 3 खंडो को आपस मे सजाने का तरीका =2!
एक किताब के सभी खंडो को एक किताब मानने पर किताबो की संख्या =4
(iii) इन 4 किताबो को मेज पर सजाने का तरीका=4!
पहले तरह के किताबो के 3 खंडो को आपस मे सजाने का तरीका =3!
दूसरे तरह के किताबो के 3 खंडो को आपस मे सजाने का तरीका =3!
तीसरे तरह के किताबो के 3 खंडो को आपस मे सजाने का तरीका =2!
चौथे तरह के किताबो के 3 खंडो को आपस मे सजाने का तरीका =2!
∴कुल अभिष्ट तरिका=4! 3! 3! 2! 2!
Question 2
एक पुस्तकालय मे एक किताब की 5 प्रतियाँ, प्रत्येक 2 किताबो की 4 प्रतियाँ , प्रत्येक 3 किताबो की 6 प्रतियाँ और 8 किताबो की एक-एक प्रति है। इन किताबो को कितने तरीको से सजाया जा सकता है कि एक ही तरह के किताबो की प्रतिया सदैव एक साथ रहे?
Sol :
14! 5! 4!
Question 3
एक भोज पार्टी मे 10 भारतीय, 5 अमेरिकन और 5 अंग्रेज है। उनलोगो को एक पंक्ति मे कितने तरीको से व्यवस्थित किया जा सकता है , ताकि एक राष्ट्रीयता वाले सभी व्यक्ति एक साथ बैठे।
Sol :
10 भारतीय, 5 अमेरिकन और 5 अंग्रेज है।
प्रत्येक राष्ट्रीयता वाले व्यक्तियो को एक व्यक्ति मानने पर , कुल व्यक्तियो की संख्या=3
तथा इन 3 व्यक्तियो को व्यवस्थित करने का तरिका=3!
10 भारतीयो को आपस मे एक पंक्ति मे व्यवस्थित करने का तरीका =10!
5 अमेरिकन को आपस मे एक पंक्तिमे व्यवस्थित करने का तरीका =5!
5 अग्रेज को आपस मे एक पंक्तिमे व्यवस्थित करने का तरीका =5!
∴कुल अभिष्च तरिका=3! 10! 5! 5!
क्रमचयो की संख्या निकालने पर आधारित प्रश्न जब कुछ चीजे एक साथ न हो:
(i) यदि कुछ चीजो मे से कोई दो एक साथ नही रखना हो तो पहले उन चीजो को सजा दे जिनपर कोई प्रतिबन्ध न हो । माना कि इनको सजाने का तरीका x है।
(ii) फिर बीच-बीच मे एक-एक × (cross) बनाये तथा किनारे भी एक-एक cross बनाये । यदि पहले रखे गये चीजो की संख्या n हो तो '×' (cross) की संख्या (n+1) होगी।
(iii) अब इन (n+1) '×' (cross) वाले स्थानो पर उन चीजो को सजाये जिनमे से किन्ही दो को साथ नही रखना है माना कि इसकी संख्या y है।
(iv) अब अभीष्ट संख्या =xy
Question 4
5 लड़कियो और 3 लडको को एक पंक्ति मे कितने प्रकार मे बैठा सकते है , जबकि कोई भी दो लड़के एक साथ नही बैठते है
Sol :
5 लड़कीयो को आपस मे बैठाने का तरीका=5!
6 'B' स्थानो पर 3 लड़को को बैठाने का तरीका$=^6P_3$
$=\frac{6!}{(6-3)!}=\frac{6\times 5\times 4\times 3!}{3!}$
=120
कुल अभिष्ट तरिका=5!×120
=120×120
=14400
Question 5
एक वर्ग मे 4 लड़कियाँ और 6 लड़के है। उन्हे एक पंक्ति मे कितने तरीको से बैठाया जा सकता है, ताकि चार लड़कियाँ एक साथ न हो?
Sol :
4 लड़कियाँ और 6 लड़को को बैठाने का तरिका =10!
(कुल 10 लोगो को बैठाने का तरिका)
जब 4 लड़कियो को एक आदमी मानने पर लोगो की संख्या
=1+6=7
7 व्यक्तियो को आपस मे बैठाने का तरिका=7!
4 लड़कियो को आपस मे बैठाने का तरिका=4!
वैसे क्रमचयो की संख्या जब 4 लड़कीयाँ एक साथ हो=7! 4!
∴कुल अभिष्ट तरिका=10!-7!4!
Question 6
दिखलाइए कि एक आलमारी मे n किताबे (n-2)(n-1)! तरीको से इस प्रकार सजाकर रखी जा सकती है कि दो खास किताबे एक साथ नही हो।
Sol :
कुल n किताबो को अलमारी मे सजाकर रखने का तरीका = n!
दो खास किताबो को एक किताब मानने पर , कुल किताबो की संख्या =n-2+1
=n-1
(n-1) किताबों को अलमारी मे सजाकर रखने का तरीका=(n-1)!
2 खास किताबों को आपस मे सजाकर रखने का तरीका=2!
∴वैसे क्रमचयो की संख्या , जब 2 खास किताबे एक साथ हो =(n-1)!2!
∴कुल अभिष्ट तरिका=n!-(n-1)!2!
=n(n-1)!-(n-1)!2
=(n-2)(n-1)!
Question 8
आपको विभिन्न रंगो (काला , उजला, लाल, हरा , बैंगनी, पीला) के 6 गेंद दिया गया है। आप इन गेंदो को एक पंक्ति मे कितने तरीकों से सजा सकते है ,काला और उजला गेंद एक साथ कभी न आये?
Sol :
6 गेंदो को एक पंक्ति मे सजाने का तरिका=6!
काला और उजाला गेद को 1 गेंक मानने पर, कुल गेंदो की संख्या
=6-2+1
=5
इस 5 गेदो को एक पंक्ति मे सजाने का तरिका=5!
काला और उजाला गेंद को आपस मे सजाने का तरिका=2!
वैसे क्रमचयो की संख्या , जब काला और उजला गेंद एक साथ हो =5!2!
∴कुल अभिष्ट तरिका =6!-5!2!
=720-120×2
=720-240
=480
Question 9
15 I.Sc और 12 B.Sc विद्यार्थियों को एक पंक्ति में कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है, ताकि दो B.Sc विद्यार्थी लगातार न हो?
Sol :
15 I.Sc के विद्यार्थियों को एक पंक्ति में सजाने का तरीका=15!
| X | I | X | I | X | I | X | I | X | I | X | I | X | I | X | I | X | I | X | I | X | I | X | I | X | I | X | I | X | I | X |
16 '×' स्थानों पर 12 विद्यार्थियों को बैठाने का तरीका=$^16P_{12}$
∴कुल अभीष्ट तरीका =$15.^16P_{12}$
Question 11
एक परीक्षा के प्रश्न-पत्र के 10 विभिन्न प्रश्नों को कितने तरह से सजाये जा सकते है-
(i) जबकि सबसे अच्छा और सबसे खराब सदैव एक साथ रहे (ii) वे कभी एक साथ नहीं रहें?
Sol :
(i) 10 विभिन्न प्रश्नों को सजाने का तरीका=10!
सबसे अच्छा और सबसे खराब प्रश्न को एक प्रश्न मानने पर, कुल प्रश्ननों की संख्या=10-2+1=9
9 प्रश्नो को सजाने का तरीका=9!
सबसे अच्छा और सबसे खराब प्रश्न को आपस में सजाने का तरिका=2!
(i) उन क्रमचयों की संख्या , जिसमें सबसे अच्छा और सबसे खराब प्रश्न सदैव एक साथ हो।
=9!2!
=725760
(ii) उन क्रमचयो की संख्या, जिसमें अच्छा और और सबसे खराब प्रश्न एक साथ ना हो।
=10!-9!2!
=2903040
Question 12
दिखलाइए कि p धन तथा n ऋण चिह्नों को एक पंक्ति मे $^{p+1}C_n$ तरीकों से सजाया जा सकता है, जबकि दो ऋण चिह्न एक साथ न हो।
Sol :
P धन चिह्नों को रखने के बाद (p+1) 'X' स्थानों पर n ऋणों चिन्हों को रखने का तरीका$=^{p+1}C_n$
Question 13
m पुरुष और n महिला को एक पंक्ति में इस प्रकार बैठाना है कि दो महिला एक साथ नहीं बैठे यदि m>n तो दिखलाइए कि उनको बैठाने के तरीकों की संख्या $\frac{m!(m+1)!}{(m-n+1)!}$ है।
Sol :
m पुरुषों को एक पंक्ति में बैठाने का तरीका =m!
m पुरुषों में एक पंक्ति में बैठाने के बाद m+1 'X' स्थानों पर n महिलाओं को बैठाने का तरीका =$=^{m+1}P_n$
∴कुल अभीष्ट तारिका$=m! ^{m+1}P_n$
$=m!\frac{(m+1)!}{(m+1-n)!}$
$=\frac{m!(m+1)!}{(m-n+1)!}$
Question 14
एक भोज में 3 महिला और 5 पुरुष को बैठना है। ज्ञात कीजिए उन्हें कितने तरीकों से बैठाया जा सकता है ताकि दो महिलाएँ एक दूसरे के बाद बैठे?
[3 women and 5 men are to sit in a row for a dinner. Find in how many ways they can be arranged so that no two women sit next to each other?]
Sol :
5 पुरुषों को एक पंक्ति में बैंठानें का तरीका=5!
6 'X' वाले स्थानों पर 3 महिलाओं को बैठाने का तरीका $=^{6P_3}$
∴कुल अभिष्ट तरीका $=5! ^6P_3$