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Question 1
4 विभिन्न पुस्तकों मे प्रत्येक की 3 प्रतियाँ है । कितने तरीको से इन्हें एक आलमारी मे सजाया जा सकता है ?
Sol :
कुल पुस्तकों की संख्या=4×3=12
12 पुस्तकों को एक आलमारी मे सजाने का तरिका=12!
प्रतियेक पुस्तक की 3 प्रतियो को आपस में सजानें का तरीका=3!
∴ कुल अभिष्ट(required) तरीका$=\frac{12 !}{3 ! \times3 !\times 3 !\times 3 !}$
Question 2
अंक 1,2,2,2,3,3,5 से सात अंको की कितनी संख्याएँ बनीई जा सकती है ? इनमे कितनी विषम है ?
Sol :
अंक 1,2,2,2,3,3,5
(i) कुल अंंकों की संख्या =7
कुल 7 अंकों को सजाने का तरीका =7!
7 अंकों में 2 (3 बार) तथा 3 (2 बार है) और शेष भिन्न है।
∴कुल अभिष्ट तरीका $=\frac{7!}{3!2!}$
$=\frac{7\times 6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3 \times 2 \times 1}$
=420
(ii) संख्या को विषम होने के लिए, इकाई के स्थान पर, 1,3,3 या 5 होना आवश्यक है।
तो इन अंको को इकाई के स्थान पर सजाने का तरीका=6!
जिसमें 2 (3 बार) और 3 (2 बार है) और शेष भिन्न है।
∴ कुल अभिष्ट तरीका$=\frac{4\times 6!}{3! 2!}$
$=\frac{4 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3! \times 2 \times 1}$
=240
Question 4
अंक 1,2,3,4,3,2,1 से सात अंको की वैसी कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं जिसमें विषम अंक हमेशा विषम स्थान ग्रहण करें ?
Sol :
अंक 1,2,3,4,3,2,1
कुल अंको की संख्या =7
जिससे 1 (2 बार) , 2 (2 बार) , 3 (2 बार है) और 4 (1 बार है)।
| 4 तरीका | 3 तरीका | 2 तरीका | 1 तरीका |
4 विषम स्थानों पर, 4 विषम संख्याओं को रखने का तरीका=4!
शेष 3 सम संख्याओं , 3 शेष स्थानों पर रखने का तरीका =3!
∴कुल अभिष्ट तरीका$=\frac{4! 3!}{2! 2! 2!}$
$=\frac{4\times 3 \times 2\times 1 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1}$
=18
Question 5
एक ही समय एक खम्भा पर 2 ब्लू, 2 लाल तथा 5 पीछे अंको के झंडा को फहरा कर कितने सिगनल बनाये जा सकते है?
Sol :
कुल झंडों की संख्या = 2+2+5=9
9 झंडों की संख्या का तरीका=9!
2 ब्लू रंग के झंडों को लगाने का तरीका=2!
2 लाल रंग के झंडों को लगाने का तरीका=2!
5 पीले रंग के झंडों को लगाने का तरीका=5!
∴कुल अभिष्ट तरीका $=\frac{9!}{2!2!5!}$
Question 6
शब्द ROSE, के अक्षरों से बनने वाले 4 अक्षरों वाले , अर्थपूर्ण या अर्थहीन, शब्दों की संख्या ज्ञात कीजिए, जबकि अक्षरों के पुनरावृत्ति कि अनुमति नहीं है।
Sol :
| 4 तरीका | 3 तरीका | 2 तरीका | 1 तरीका |
पहला स्थान पर अक्षरों को रखने का तरीका=4
दूसरे स्थान पर अक्षरों को रखने का तरीका=3
तीसरे स्थान पर अक्षरों को रखने का तरीका=2
पहले स्थान पर अक्षरों को रखने का तरीका=1
∴कुल अभिष्ट तरीका =4×3×2×1
=24
Question 7
ALLAHABAD शब्द के अक्षरों से बनने वाले क्रमचयों की संख्या ज्ञात कीजिए।
[Find the number of permutations of the letters of the word ALLAHABAD]
Sol :
शब्द ALLAHABAD में कुल अक्षरों की संख्या=9
9 अक्षरों को एक क्रम में सजाने का तरीका =9!
शब्द ALLAHABAD में, A (4 बार) , L (2 बार) तथा शेष भिन्न है।
∴कुल क्रमचयों की संख्या$=\frac{9!}{4! 2!}$
$=\frac{9\times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4! \times 2 \times 1}$
=7560
Question 8
DAUGHTER शब्द के अक्षरों से 8 अक्षर वाले विन्यासों की संख्या ज्ञात कीजिए, यदि
(i) सब स्वर एक साथ रहे।
(ii) सब स्वर एक साथ नहीं रहें।
Sol :
शब्द DAUGHTER में कुल अक्षरों की संख्या =8
जिसमें A, U तथा E , 3 स्वर है।
3 स्वरों को एक अक्षर मानने पर, कुल अक्षरों की संख्या =8-3+1=6
तथा इन 6 अक्षरों को सजाने का तरीका =6!
3 स्वरों को आपस में सजाने का तरीका=3!
∴उन क्रमचयों की संख्या जिसमें सभी स्वर एक साथ हो=6! 3!
=720×6=4320
(ii) कुल 8 अक्षरों को सजाने का तरीका =8!
∴उन क्रमचयों की संख्या , जिसमें सभी स्वर एक साथ न हो=8!-4320
=4030-4320
=36000
Question 9
INDEPENDENCE शब्द के अक्षरों से बनने वाले विन्यासों की संख्या ज्ञात कीजिए। इन विन्यासों में से कितने विन्यासों में,
(i) शब्द P से प्रारंभ होते है?
(ii) सभी स्वर सदैव एक साथ रहते है?
(iii) स्वर कभी भी एक साथ नहीं रहते हैं?
(iv) शब्द I सेे प्रारंभ होते है और उनका अंत P से होता है?
Sol :
शब्द INDEPENDENCE कुल अक्षरों की संख्या =12
जिसमें N (3 बार) ; D (2 बार) ; E (4 बार) तथा शेष भिन्न है।
(i)
P को छोड़कर बाकी 11 अक्षरों के शेष 11 स्थानों पर रखने का तरीका =11
∴उन क्रमचयों की संख्या , जिसमे शब्द P से प्रारंभ होता है।
$=\frac{11!}{3!2!4!}$
(ii) 5 स्वरों (I,E,E,E,E) को एक अक्षर मानने पर, कुल अक्षरों की संख्या =12-5+1=8
इन 8 अक्षरों को सजाने का तरीका$=\frac{8!}{3!2!}$
5 स्वरों को आपस में सजाने का तरीका =$\frac{5!}{4!}$
∴इस प्रकार बने क्रमचयों की संख्या$=\frac{8!}{3!2!}\times \frac{5!}{4!}$
(iii) 12 अक्षरों को एक क्रम में सजाने का तरीका $=\frac{12!}{3! 2! 4!}$
∴कुल क्रमचयों की संख्या , जिसके सभी स्वर
एक साथ न हों $=\frac{12!}{3!2!4!}-\frac{8!}{3!2!}\times \frac{5!}{4!}$
(iv)
| I | P |
शेष 10 स्थानों पर बचे हुए 10 अक्षरों को सजाने का तरीका $=\frac{10!}{3!2!4!}$
Question 10
EQUATION शब्द के अक्षरों में सें प्रत्येक को तथ्यतः केवल एक बार उपयोग करके कितने अर्थपूर्ण या अर्थहीन , शब्द बन सकते है?
Sol :
8!=40320
Question 11
MONDAY शब्द के अक्षरों से कितने, अर्थपूर्ण या अर्थहीन, शब्द बन सकते है, यह मानते हुए कि किसी भी अक्षर की पुनरावृत्ति नहीं की जाती है, यदि
(i) एक समय में 4 अक्षर लिए जाते है?
(ii) एक समय में सभी अक्षर लिए जाते है?
(iii) सभी अक्षरों का प्रयोग किया जाता है, किन्तु प्रथम अक्षर एक स्वर है?
Sol :
शब्द MONDAY में कुल अक्षरों की संख्या=6
(i) शब्द MONDAY के 6 अक्षरों में सें 4 को लेकर बनें क्रमचयो की संख्या $=^6P_4=\frac{6!}{(6-4)!}$
$=\frac{6!}{2!}=\frac{6\times 5\times 4 \times 3\times 2\times 1}{2!}$
=360
| 6 तरीका | 5 तरीका | 4 तरीका | 3 तरीका |
(ii) सभी अक्षरों को लेकर बने क्रमचयों की संख्या =6!
=720
| 6 तरीका | 5 तरीका | 4 तरीका | 3 तरीका | 2 तरीका | 1 तरीका |
(iii)
| O या A (2 तरीका) | 5 तरीका | 4 तरीका | 3 तरीका | 2 तरीका | 1 तरीका |
∴कुल अभिष्ट तरीका=2×5×4×3×2×1
=240
Question 12
INVOLVE शब्द के अक्षरों से, अर्थपूर्ण या अर्थहीन प्रत्येक 3 स्वरों तथा 2 व्यंजनों वाले कितने शब्दोंं की रचना की जा सकती है?
Sol :
शब्द INVOLVE में 4 स्वर (I,O,V,E) तथा 4 व्यंजन (N,L,V,T) है।
4 स्वरों में 3 स्वरों को लेकर बनें क्रमचयों की संख्या $=^4P_3$
4 व्यंजन में 2 व्यंजन को लेकर बनें क्रमचयों की संख्या $=^4P_{2}$
∴कुल क्रमचयों की संख्या $=5 \times 2 \times ^4P_{3}\times ^4P_{2}$
$=10\times \frac{4!}{(4-3)!}\times \frac{4!}{(4-2)!}$
$=10\times \frac{4\times 3\times 2\times 1}{1}\times \frac{4\times 3\times 2!}{2!}$
=2880
Question 13
ASSASSINATION शब्द के अक्षरों के कितनें विन्यास बनाए जा सकते है, जबकि सभी 'S' एक साथ रहें?
Sol :
शब्द ASSASSINATION में कुल अक्षरों की संख्या =13
जिसमें A (3 बार) ; S (4 बार) ; I (2 बार) ; N (2 बार) ; तथा शेष भिन्न है।
4 'S' को एक अक्षर मानने पर कुल अक्षरों की संख्या =13-4+1=10
इन 10 अक्षरों को एक क्रम में सजाने का तरीका=10!
4 'S' को आपस में सजानें का तरीका=4!
∴कुल अभिष्ट तरीका$=\frac{10! 4!}{3! 4! 2! 2!}$
$=\frac{10 \times 9\times 8\times 7 \times 6\times 5\times 4\times 3!}{3! \times 2\times 2}$
=151200
Question 14
BANANA शब्द के अक्षरों सें विभिन्न सजावटों (क्रमचयों) का संख्या ज्ञात कीजिए।
[Find the number of different arrangement (permutation) of the letters of the word 'BANANA']
Question 15
CIRCUMFERENCE शब्द के सभी अक्षरों को एक साथ लेकर कितने शब्द बनाये जा सकते है?
[How many words can be found from the letters of the word 'circumference' taken all together?]
Question 16
'INDEPENDENCE' शब्द के अक्षरों के क्रमचयों की संख्या ज्ञात कीजिए। पुनः क्रमबद्धों की संख्या भी निकालिए।
Question 17
'VICE-CHANCELLOR' शब्द के अक्षरों से ऐसे कितने विभिन्न शब्द बनाये जा सकते है, जिसमें स्वर एक साथ रहे?
Sol :
शब्द VICE-CHANCELLOR में कुल अक्षरों की संख्या =14
जिसमें स्वरों की संख्या =5 (I,E,A,E,O)
शब्द VICE-CHANCELLOR में ; C (3 बार) ; E (2 बार) ; L (2 बार) तथा शेष भिन्न हैं।
सभी 'S' स्वरों की एक अक्षर मानने पर,
कुल अक्षरो ं की संख्या =14-5+1
=10
10 अक्षरों को एक पंक्ति में सजाने का तरीका =10!
5 स्वरों को आपस में सजाने का तरीका =5!
∴कुल अभिष्ट तरीका $=\frac{5! 10!}{3! 2! 2!}$
$=\frac{5\times 4 \tiems 3! \times 10!}{3! \times 2 \times 2}$
$=5 \times 10!$
Question 18
'MATHEMATICIAN' शब्द के अक्षरों से कितने विभिन्न शब्द बनाये जा सकते है? इनमें कितने शब्दों में स्वर एक साथ तथा कितने व्यंजन एक साथ है?
Sol :
(i) शब्द 'MATHEMATICS' में कुल अक्षरों की संख्या =11
जिसमें M (2 बार) ; A (2 बार) ; T (2 बार) तथा शेष भिन्न है।
∴कुल अभिष्ट तरीका$=\frac{11!}{2! 2! 2!}$
(ii) शब्द 'MATHEMATICS' में , 4 स्वर तथा 7 व्यंजन है।
4स्वर को 1 अक्षर तथा 7 व्यंजन को एक अक्षर मानने पर अक्षरों की संख्या =1+1=2
2 अक्षरों को एक पंक्ति में सजाने का तरीका =2!
4 स्वरों को आपस में सजाने का तरीका=4!
7 व्यंजनों को आपस में सजाने का तरीका =7!
∴कुल अभिष्ट तरीका $=\frac{2! 4! 7!}{2!2!2!}$
Question 19
'MUZAFFARPUR' शब्द के अक्षरों को कितने तरीकों से पुनः क्रमबद्ध किया जा सकता है?M से शुरू होने वाले ऐसे कितने शब्द है?
Sol :
शब्द 'MUZAFFARPUR' में कुछ अक्षरों की संख्या =11
जिसमें U (2 बार) , A (2 बार) , F (2 बार) , R (2 बार) तथा शेष भिनन है।
(i) कुल अभिष्ट तरीका$=\frac{11!}{2!2!2!2!}-1$
$=\frac{11!}{(2!)^4}-1$
(ii)
| M |
M से शुरू करने पर , बचे हुए शेष 10 स्थानों पर 10 अक्षरों को रखने का तरीका=10!
∴कुल अभिष्ट तरीका $=\frac{10!}{2!2!2!2!}$
$=\frac{10!}{(2!)^4}$
Question 20
'DIRECTOR' शब्द के अक्षरों को कितने प्रकार से सजाया जा सकता है जबकि तीनों स्वर एक साथ न आये?
Sol :
शब्द 'DIRECTOR' में कुल अक्षरों की संख्या =8
जिसमें R (2 बार) तथा शेष भिनन है।
कुल क्रमचयों की संख्या $=\frac{8!}{2!}$
3 स्वरों को एक अक्षर मानने पर, कुल अक्षरों की संख्या
=8-3+1
=6
6 अक्षरों की एक पंक्ति में सजाने का तरीका =6!
3 स्वरों को आपस में सजाने का तरीका =3!
∴उन क्रमचयों की संख्या जिसमें सभी स्वर एक साथ हो$=\frac{6! 3!}{2!}$
∴ कुल अभिष्ट तरीका $=\frac{8!}{2!}-\frac{6! 3!}{2!}$
Question 21
'BANARAS' शब्द के अक्षरों को कितने तरीकों से क्रमबद्ध किया जा सकता है जबकि अक्षर N और S एक साथ कभी व आये ?
Sol :
शब्द 'BANARS' में कुल अक्षरों की संख्या=7
जिसमें A (3 बार) तथा शेष भिनन है।
∴कुल क्रमचयों की संख्या $=\frac{7!}{3!}$
N और S को एक अक्षर मानने पर, कुल अक्षरों का संख्या =7-2+1=6
6 अक्षरों को एक क्रम में सजाने का तरीका =6!
∴उन क्रमचयों की संख्या जिसमें N और S एक साथ हो $=\frac{6! 2!}{3!}$
∴कुल अभिष्ट तरीका $=\frac{7!}{3!}-\frac{6!2!}{3!}$
$=6!\left[\frac{7}{6}-\frac{2}{6}\right]$
$=720\times \frac{5}{6}$
=600
Question 22
'PARALLEL' शब्द के अक्षरों के कितने क्रमचयों में सभी L एक साथ नहीं आते हैं?
Sol :
शब्द 'PARALLEL' में कुल अक्षरों की संख्या =8
जिसमें A (2 बार) ; L (3 बार) तथा शेष भिनन है।
तो इस प्रकार बने क्रमचयों की कुल संख्या $=\frac{8!}{2!3!}$
सभी L(3) को एक अक्षर मानने पर कुल अक्षरों की संख्या =8-3+1=6
इन 6 अक्षरों को एक क्रम में सजाने का तरीका =6!
सभी 3 'L' को आपस में सजाने का तरीका =3!
उन क्रमचयो की संख्या जिससे सभी L एक साछ हो
$=\frac{6!3!}{2!3!}=\frac{6!}{2!}$
∴कुल अभिष्ट तरीका (जब कोई भी L एक साथ नहीं )
$=\frac{8!}{2!3!}-\frac{6!}{2!}$
Question 23
'DELHI' शब्द के अक्षरों से बनने वाले शब्दों की संख्या ज्ञात कीजिए।
(i) जो D से शुरू होता है।
(ii) जो I से अन्त होता है।
(iii) जिसके मध्य में हमेशा L रहता है।
(iv) जो D से शुरू और I से अन्त होता है।
Sol :
(ii)
| I |
4!=24
'VIOLENT' शब्द के अक्षरों को कितने तरीकों से क्रमबद्ध किया जा सकता है कि स्वर केवल विषम स्थान को ग्रहण करें?
Sol :
शब्द 'VIOLENT' में I,O और E तीन स्वर है। तथा कुल अक्षरों की संख्या =7
1,3,4 और 7 चार विषम स्थान है।
4 विषम स्थानों पर 3 स्वरों को रखने का तरीका $=^4P_3$
तथा शेष 4 अक्षरों को सजाने का तरीका =4!
∴कुल अभिष्ट तरीका $=^P_3 \times 4!$
$=\frac{4!}{(4-3)!}\times 4!$
$=\frac{24\times 24}{1}=576$
Question 25
'SALOON' शब्द के अक्षरों से कितने विभिन्न तरीकों से सजाया जा सकता है यदि व्यंजन तथा स्वर एकान्तर स्थान को ग्रहण करे ?
Sol :
शब्द 'SALOON' में कुल अक्षरों की संख्या =6
जिसमें O (2 बार) तथा शेष भिन्न है।
स्वरों की संख्या =3 , व्यंजनों की संख्या =3
1,3 और 5 ; इन तीन स्थानों पर 3 व्यंजनों को रखने का तरीका =3!
2,4 और 6 ; इन तीन स्थानों पर 3 स्वरो को रखने का तरीका =3!
CASE-II
1 , 3 और 5; इन 3 स्थानों पर 3 स्वरों को रखने का तरीका=3!
∴ कुल अभिष्ट तरीका $=\frac{3! \times 3!}{2!}+\frac{3!3!}{2!}$
$=\frac{6\times 6}{2}+\frac{6\times 6}{2}$
=18+18=36
Question 26
'ARTICLE' शब्द के अक्षरों से वैसे कितने शब्द बनाये जा सकते हैं जिसमें स्वर सम स्थान को ग्रहण करें ?
Sol :
शब्द 'ARTICLE' में कुल अक्षरों की संख्या =7
जिसमें A,I,E तीन स्वर है।
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
2, 4 तथा 6 : इन तीन स्थानों पर, 3 स्वरों को रखने का तरीका $=^3P_3=3!$
बाकी शेष 4 स्थानों पर, शेष 4 अक्षरों को रखने का तरीका=4!
∴कुल अभिष्ट तरीका=3!4!
Question 27
'BHARAT' शब्द के अक्षरों का प्रयोग कर कितने शब्द बनाये जा सकते है? इनमें कितने शब्दों में एक साथ B और H नहीं है? इनमें कितनें शब्द B से शूरू तथा T से अन्त होते है?
Sol :
शब्द 'BHARAT' में कुल अक्षरों की संख्या =6
जिसमें A (2 बार); तथा शेष भिन्न है।
∴कुल क्रमचयों की संख्या $=\frac{6!}{2!}=\frac{720}{2}$
=360
B और H को एक भक्षर मानने पर कुल अक्षरों की संख्या =6-2+1=5
इन 5 अक्षरों को एक क्रम में सजाने का तरीका =5!
B और H को आपस में सजाने का तरीका =2!
उन क्रमचयों की संख्या जिसमें B और H एक साथ है$=\frac{5! 2!}{2!}$
=120
इन क्रमचयों की संख्या , जिसमे B और H एक साख न हो
=360--120
=240
| B | T |
शेष 4 स्थानों पर 4 शेष अक्षरों को रखने का तरीका $=\frac{4!}{2!}$
$=\frac{24}{2}$
=12
Question 28
'INTERMEDIATE' शब्द के अक्षरों को आपस में कितने तरीकों से सजाया जा सकता है कि दो स्वर क्रमागत स्थान ग्रहण नहीं करें?
Sol :
शब्द 'INTERMEDIATE' में कुल अक्षरों की संख्या =12
जिसमें I (2 बार) ; T (2 बार) ; E (3 बार) तथा शेष भिनन है।
स्वर 'I,E,E,E,I,A' 6 स्वर है।
व्यंजन की संख्या =6
6 व्यंजनों को एक पंक्ति के सजाने का तरीका =6!
7 'X' स्थानोे पर 6 स्वरों को सजाने का तरिका$=^7P_6$
∴कुल अभिष्ट तरीका$=\frac{6! \times ^7 P_6}{2!2!3!}$
$=\frac{6\times 5 \times 4 \times 3! \times 7!}{2\times 2\times 3!}$
$=30\times 5040$
=151200
Question 29
'DELHI' शब्द के अक्षरों की क्रमबद्धों की संख्या ज्ञात कीजिए यदि E हमेशा I के पहले आता है।
Sol :
शब्द 'DELHI' में कुल अक्षरों की संख्या =5
E, I के जितना बार पहले आएगा, उतना ही बार कुल क्रमचय में उनके बाद आएगा।
∴कुल अभिष्ट तरीका$=\frac{5!}{2}$
$=\frac{120}{2}$
=60