KC Sinha: Exercise 14.1- Mathematics Solution Class 12 Chapter 14 राशियों के परिवर्तन की दर

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Question 1

धातु के एक वर्गाकार पतर की भुजा 3cm/minute की दर से बढ रही है । किस दर से क्षेत्रफल बढ़ रहा है जब भुजा को लम्बाई 10cm है ?
[The side of a square sheet of metal is increasing at 3cm/minute. At what rate is the area increasing when the side is 10cm long ?]
Sol :
माना वर्गाकार भुजा की लंबाई x  है

$\frac{d x}{d t}=3 \mathrm{cm} / \mathrm{min}$

$\frac{d A}{d t}=?, x=10 \mathrm{cm}$

वर्ग का क्षेत्रफल , A=x²

Differentiating w.r.t t

$\frac{d A}{d t}=2 x \times \frac{d x}{d t}$

=2×10cm×3cm/min

=60cm²/min

Question 2

वृत के क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर इसकी त्रिज्या r के सापेक्ष ज्ञात कीजिए जबकि
[Find the rate of change of the area of a circle with respect to its radius r when]
(i) r=5cm
Sol :
वृत का क्षेत्रफल A=πr²

Differentiating w.r.t r

$\frac{d A}{d r}=\pi \times 2 r$

=π×2×5

=10πcm²/cm

$\frac{d A}{d r}=$10πcm²/cm

(ii) r=4cm
Sol :

(iii) r=3cm
Sol :

Question 3

किसी वृत की त्रिज्या 0.1cm\sec की दर से बढ़ रही है। क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर ज्ञात करे वृत की त्रिज्या 5cm है ।
Sol :
माना वृत की त्रिज्या r है ।

$\frac{d r}{d t}=0.1 \mathrm{cm} / \mathrm{sec}$

$\frac{d A}{d t}=?, \quad r=5 \mathrm{cm}$

वृत का क्षेत्रफल , A=πr²

Differentiating w.r.t t

$\frac{d A}{d t}=2 \pi r \times \frac{d r}{d t}$

=2π×5cm×0.1cm/sec

$\frac{d A}{d t}$=πcm²/sec

Question 4

किसी वृत की त्रिज्या 0.7cm\sec की दर से बढ़ रही है। इसकी परिधि की वृद्धि की दर क्या है जब r=4.9cm है ।
Sol :
माना वृत की त्रिज्या r है ।

$\frac{d r}{d t}=0.7 \mathrm{cm} / \mathrm{sec}$

$\frac{d c}{d t}=?$ , c=परिधि , r=4.9cm

वृत की परिधि , c=2πr

Differentiating w.r.t t

$\frac{d c}{d t}=2 \pi \times \frac{d r}{d t}$

=2π×0.7cm/sec

=1.4πcm/sec

Question 5

एक वृत की त्रिज्या समान रुप 5.5cm/sec की दर से बढ़ रही है । ज्ञात कीजिए कि वृत का क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जब त्रिज्या 6cm है ।

Sol :

माना वृत की त्रिज्या r है ।

$\frac{d r}{d t}=5.5 \mathrm{cm} / \mathrm{sec}$

$\frac{d A}{d t}=?$ ,A=क्षेत्रफल , r=6cm

वृत का क्षेत्रफल , A=πr²

Differentiating w.r.t t

$\frac{d A}{d t}=2 \pi r \times \frac{d r}{d t}$

=2π×6cm×5.5cm/sec

=66π×cm²/sec

Question 6

एक वृत की त्रिज्या समान रुप से 3cm/sec की दर से बढ़ रही है । ज्ञात कीजिए कि वृत का क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जब त्रिज्या 10cm है ।
Sol :

माना वृत की त्रिज्या r है ।

$\frac{d r}{d t}=3cm/sec$

$\frac{d A}{d t}=?$ , r=10cm

वृत का क्षेत्रफल A=πr²

Differentiating w.r.t t

$\frac{d A}{d t}=2 \pi r \times \frac{d r}{d t}$

=2π×10×3cm/sec

=60π×cm²/sec

Question 7

3cm त्रिज्या वाला एक वृताकार डिस्क गर्म किया जाता है । प्रसार के कारण इसकी त्रिज्या 0.05cm/sec की दर से बढ़ रही है । जब त्रिज्या 3.2cm है तो इसका क्षेतफल किस दर से बढ़ रहा है ।
Sol :

माना वृत की त्रिज्या r है ।

$\frac{d r}{d t}=0.05 \mathrm{cm} / \mathrm{sec}$

$\frac{d A}{d t}=?$ , r=3.2cm

वृत का क्षेत्रफल A=πr²

Differentiating w.r.t t

$\frac{d A}{d t}=2 \pi r \times \frac{d r}{d t}$

=2π×3.2cm×0.05cm/sec

=0.32π×cm²/sec

Question 8

एक स्थिर झील मे एक प्तथर डाला जाता है और तरंगे 4cm/sec की गति से चलती है जब वृत्तकार तरंग की त्रिज्या 10cm है तो उस क्षण , घिरा हुआ क्षेत्र किस दर से बढ़ रहा है ।
Sol :

माना वृत की त्रिज्या r है ।

$\frac{d r}{d t}=4 cm/sec$

$\frac{d A}{d t}=?$ ,r=10cm

वृत का क्षेत्रफल A=πr²

Differentiating w.r.t t

$\frac{d A}{d t}=2 \pi r \times \frac{d r}{d t}$

=2π×10cm×4cm/sec

=80π×cm²/sec

Question 9

एक स्थिर झील मे एक प्तथर डाला जाता है और तरंगे वृत्तो मे 5cm/sec की गति से चलती है । जब वृत्तकार तरंग की त्रिज्या 8cm है , तो उस क्षण , घिरा हुआ क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है ?
Sol :

माना वृत की त्रिज्या r है ।

$\frac{d r}{d t}=5 cm/sec$

$\frac{d A}{d t}=?$ ,r=8cm

वृत का क्षेत्रफल A=πr²

Differentiating w.r.t t

$\frac{d A}{d t}=2 \pi r \times \frac{d r}{d t}$

=2π×8cm×5cm/sec

=80π×cm²/sec

Question 10

एक घन का आयतन 9cm³/sec की दर से बढ़ रहा है । पृष्ठ क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जबकि इसके किनारे की लम्बाई 10cm है ।

Sol :

माना घन का किनारे x है ।

आयतन =v ,  पृष्ठ क्षेत्रफल=s

$\frac{d v}{d t}=9 \mathrm{cm}^{3} / \mathrm{sec}$ , $\frac{d s}{d t}=?$ , x=10cm

घन का आयतन x³

Differentiating w.r.t t

$\frac{d v}{d t}=3 x^{2} \times \frac{d x}{d t}$

9cm³/sec=3×(10cm)²$\times\frac{d x}{d t}$

$\frac{9}{300} \mathrm{cm} / \mathrm{sec}=\frac{d \mathrm{x}}{d t}$○

$\frac{3}{100} cm /sec=\frac{dx}{d t}$

घन का पृष्ठ क्षेत्रफल =s=6x²

Differentiating w.r.t t

$\frac{d s}{d t}=12 x \times \frac{d x}{d t}$

$=12 \times 10{\text{cm}}\times \frac{3}{100} \text{cm/sec}$

$=\frac{18}{5} \mathrm{cm}^{2} \mathrm{/sec}$

=3.6cm²/sec

Question 11

एक घन का आयतन 8cm³/sec की दर से बढ़ रहा है । पृष्ठ का क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जबकि इलके किनारे की लंबाई 12cm है ।

Sol :

आयतन =v ,  पृष्ठ क्षेत्रफल=s

$\frac{d v}{d t}=8 \mathrm{cm}^{3 } \mathrm{/sec}$ , $\frac{d s}{d t}=?$ , x=12cm

घन का आयतन, v=x³

Differentiating w.r.t t

$\frac{d v}{d t}=3 x^{2} \times \frac{d x}{d t}$

8cm³/sec=3(12cm)²

$\frac{8}{3 \times 144} \mathrm{cm} / \mathrm{sec}=\frac{d x}{d t}$

$\frac{1}{54} \text{cm/sec}=\frac{d x}{d t}$

घन का पृष्ठ क्षेत्रफल =s=6x²

Differentiating w.r.t t

$\frac{d s}{d t}=12 x \times \frac{d x}{d t}$

$\frac{d s}{d t}=12 x \times \frac{d x}{d t}$

$=12 \times \mathrm{12cm} \times \frac{1}{54} \mathrm{cm} / \mathrm{sec}$

$\frac{d s}{d t}=\frac{8}{3} \text{cm}^2/sec$

Question 12

यदि किसी समबाहु त्रिभुज की भुजा 3m/sec की समरूप दर से बढ़ रही है , तो बताएँ कि त्रिभुज का क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जबकि भुजा 10m है ?
[If the side of an equilateral triangle increases uniformly at the rate of 3m/sec , at what rate is the area increasing when the side is 10m ?]
Sol :
माना समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा x है ।

$\frac{d x}{d t}=3 \mathrm{m} / \mathrm{sec}$ , $\frac{d A}{d t}=?$ , x=10m

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल , A$=\frac{\sqrt{3}}{4} x^{2}$

Differentiating w.r.t t

$\frac{d A}{d t}=\frac{\sqrt{3}}{4} \times 2 x \times \frac{d x}{d t}$

$\frac{d A}{d t}=15 \sqrt{3} \mathrm{m}^{2} / \mathrm{sec}$

Question 13

एक परिवर्तनशील घन का किनारा 10cm/sec की दर बढ़ रहा है । घन का आयतन किल दर से बढ़ रहा है जब किनारे की लम्बाई 5cm है ?
Sol :
माना घन का किनारा x है

$\frac{d x}{d t}=10\text{cm/sec}$ , $\frac{d v}{d t}=?$ , v=आयतन , x=5cm

घन का आयतन , v=x³

Differentiating w.r.t t

$\frac{d v}{d t}=3 x^{2} \times \frac{d x}{d t}$

=3×(5cm)²×10cm/sec

=750cm³/sec

Question 14

गोलाकार साबुन के बुलबुले की त्रिज्या 0.2cm/sec की दर से बढ़ रही है । इलके आयतन के बढ़ने की दर निकाले जब त्रिज्या 5cm है ?
Sol :
माना गोलाकार साबुन के बुलबुले की त्रिज्या x है ।

$\frac{d r}{d t}=0.2 \mathrm{cm} / \mathrm{sec}$ , $\frac{d v}{d t}=?$ , r=5cm

गोलाकार साबुन के बुलबुले का आयतन ,

$V=\frac{4}{3} \pi r^{3}$

Differentiating w.r.t t

$\frac{d v}{d t}=\frac{4}{3} \pi \times 3r^2 \times \frac{d r}{d t}$

=4π×(5cm)²×0.2cm/sec

=20πcm³

Question 15

हवा के एक बुलबुले की त्रिज्या $\frac{1}{2} \mathrm{cm} / \mathrm{sec}$ की दर से बढ़े रही है । जब त्रिज्या 1cm है तो बुलबुल का आयतन किस दर से बढ़ रहा है ?
Sol :
माना बुलबुले की त्रिज्या r है ।

$\frac{d r}{d t}=\frac{1}{2} \text{cm/sec}$ , $\frac{d v}{d t}=?$ , r=1cm

हवा के बुलबुले का आयतन , $v=\frac{4}{3} \pi r^{3}$

Differentiating w.r.t t

$\frac{d v}{d t}=\frac{4}{3} \pi \times 3r^{2} \times \frac{d r}{d t}$

=4π×(1cm)²×$\frac{1}{2}$cm/sec

Question 16

एक गुब्बारा जो सदैव गोलाकार रहता है , का परिवर्तनशील व्यास $\frac{3}{2}(2 x+3)$ है । x के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए ।
Sol :
गोले की त्रिज्या , $r=\frac{\frac{3}{2}(2 x+3)}{2}=\frac{3}{4}(2 x+3)$

$\frac{d v}{d x}=?$ ,

गोले का आयतन,

$v=\frac{4}{3} \pi r^{3}$

$v=\frac{4}{3} \pi\left[\frac{3}{4}(2 x+3)\right]^{3}$

$v=\frac{4}{3} \pi \times \frac{27}{64}(2 x+3)^{3}$

$v=\frac{9}{16} \pi(2 r+3)^{3}$

Differentiating w.r.t x

$\frac{d v}{d x}=\frac{9}{5} \pi \times 3(2 x+3)^{2} \times x$

$=\frac{27}{8} \pi(2 x+3)^{2}$

Question 17

एक गोलाकार गुब्बारे की त्रिज्या 10cm/sec की दर से बढ़ रही है । गुब्बारे का पृष्ठ किस दर से बढ़ रहा है जब इसकी त्रिज्या 15cm है ?
Sol :
माना गोलाकार गुब्बारे की त्रिज्या r है ।

$\frac{d r}{d t}=10 \mathrm{cm} / \mathrm{sec}$ , $\frac{d s}{d t}=?$ ,

s=पृष्ठ क्षेत्रफल , r=15cm

गोले का पृष्ठ क्षेत्रफल , s=4πr²

Differentiating w.r.t t

$\frac{d s}{d t}=4 \pi \times 2 r \times \frac{dr}{d t}$

=4π×2×15cm×10cm/sec

=1200πcm²/sec

Question 18

एक विस्तारित होते हुए आयत का क्षेत्रफल 48cm²/sec की दर से बढ़ रहा है । आयत की लंबाई सदा इलकी चौड़ाई के वर्ग के बराबर रहता है । इसकी लम्बाई किस दर से बढ़ रही है जब चौड़ाई 4.5cm है ।
 Sol :
माना आपत की लंबाई=x

आपत की चौड़ाई=√x

$\frac{d A}{d t}=48 \mathrm{cm}^{2} / \mathrm{sec}$

$\frac{d x}{d t}=?$ , √x=4.5cm

आयत का क्षेत्रफल A=x√x

$A=x^{\frac{3}{2}}$

Differentiating w.r.t t

$\frac{d A}{d t}=\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} \times \frac{d x}{d t}$

48cm²/sec$=\frac{3}{2} \times 4.5 \mathrm{cm} \times \frac{d x}{d t}$

$\frac{48 \times 2}{3 \times 4.5} \quad \mathrm{cm} / \mathrm{sec}=\frac{d x}{d t}$

$\frac{48 \times 2 \times+10^{2}}{3 \times 45} \mathrm{cm} / \mathrm{sec}=\frac{d \mathrm{x}}{d \mathrm{t}}$

$\frac{64}{g} c m / s e c=\frac{d x}{d t}$

Question 19

किसी आयत की लंबाई x, 3cm/min की दर से घट रही है और चौड़ाई y, 2cm/min की दर से बढ़ रही है । जब x=10cm और y=6cm है तब आयत के (a) परिमाप और (b) क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए ।
Sol :
$\frac{d x}{d t}=-3 \mathrm{cm} / \mathrm{min}$ , $\frac{d y}{d t}=2 \mathrm{cm} / \mathrm{min}$

x=10cm , y=6cm

(a) आयत का परिमाप , P=2(x+y)

Differentiate w.r.t t

$\frac{d p}{d t}=2\left(\frac{d x}{d t}+\frac{d y}{d t}\right)$

=2(-3cm/min+2cm/min)

=-2cm/min

(b) आयत का  क्षेत्रफल A=x.y

Differentiating w.r.t t

$\frac{d A}{d t}=\frac{d x}{d t} y+x \cdot \frac{d y}{d t}$

=(-3×6+10×2)cm²/min

=(-18+20)cm²/min

=2cm²/min

Question 20

किसी घन का आयतन समरुप दर से बढ़ रहा है । साबित करे कि उसकी सताह की वृद्धि की दर उसकी भुजा के व्युत्क्रमानुपाती है ।
Sol :
माना घन की प्रत्येक भुजा x है ।

$\frac{d v}{d t}=k\left(constant\right)$ ,

v=आयतन

तो साबित करना है

s=पृष्ठ क्षेत्रफल

घन का आयतन , v=x³

Differentiating w.r.t t

$\frac{d v}{d t}=3 x^{2} \times \frac{d x}{d t}$

$k=3 x^{2} \times \frac{d x}{d t}$

$\frac{k}{3 x^{2}}=\frac{d x}{d t}$

घन का पृष्ठ क्षेत्रफल s=6x²

Differentiating w.r.t t

$\frac{d s}{d t}=12 x \times \frac{d x}{d t}$

$=12x \times\frac{k}{3x}$

$\frac{d s}{d t}=\frac{4 k}{x}$

$\frac{d s}{d t}\propto\frac{1}{x}$

,जहाँ 4k constant है

Question 21

26m लम्बी एक सीढ़ी क्षैतिज तल एक सीधी दिवार से लगी है । 5m प्रति सेकेंण्ड की दर से वह दीवार से दूर फिसलती है । सीढ़ी की चोटी के नीचे फिसलने का वेग निकाले जब वह 24m की ऊँचाई पर हो ।
Sol :
माना सीढ़ी दीवार पर x ऊँचाई पर लगी है ।

$\frac{d x}{d t}=?$ , x=24m

माना सीढ़ी का पाद दीवार के पाद से y meter दूरी पर है ।

Diagram

$\frac{d y}{d t}=5 m / sec$ , y=10 m

$B C=\sqrt{A C^{2}-A B^{2}}$

$y=\sqrt{26^{2}-24^{2}}$

$=\sqrt{676-576}=\sqrt{100}$

=10m

ΔABC मे,

AB²+BC²=AC²

x²+y²=(26)²

Differentiating w.r.t t

$2 x \cdot \frac{d x}{d t}+2 y \cdot \frac{d y}{d t}=0$

$2 \times 24 m \times \frac{d x}{d t}+2 \times 10 \mathrm{m} \times 5 \mathrm{m} / \mathrm{sec}=0$

$48 m \times \frac{d x}{d t}=-100 \mathrm{m}^{2}/sec$

$\frac{d x}{d t}=\frac{-100}{48} \mathrm{m} / \mathrm{sec}$

$\frac{d x}{d t}=\frac{-25}{12} \mathrm{m} / \mathrm{sec}$

सीढ़ी की चोटि $\frac{25}{12} \mathrm{m} / \mathrm{sec}$ की दर से निचे फिसलेगी ।

Question 22

दो सड़के एक-दूसरे से 90° का कोण बनाती है । दो साईकिल सवार A और B इनके चौराहे से एक साथ अलग-अलग सड़क पर 3:4 के वेग से साइकिल चलाना प्रारंभ करते है । उनके बीच की दूरी बदलने की दर का A के वेग के साथ अनुपात निकाले ।
Sol :
माना A का वेग =3x

माना B का वेग =4x

माना दोनो साइकल सवार t समय तक साइकल चलाते है ।

Diagram

PQ=3xt , QR=4xt

$P R=\sqrt{P Q^{2}+Q R^{2}}$

$=\sqrt{(3 xt)^{2}+(4 xt)^{2}}$

$=\sqrt{9 x^{2}t^2+16 x^{2}t^2}=\sqrt{25 x^{2}t^2}$

=5xt

अब , PR²=PQ²+QR²

PR²=(3xt)²+(4xt)²

PR²=9x²t²+16x²t²

PR²=25x²t²

Differentiating w.r.t t

$2 \cdot \operatorname{PR} \times \frac{d(P R)}{dt}=2 5 x^{2} \times 2t$

$2 \times 5 xt\times \frac{d(P R)}{d t}=25 x^{2}\times 2 t$

$\frac{d(P R)}{d t}=\frac{50 x^{2}t}{10 x y}=5x$

दोनो के बीच की दूरी मे परिवर्तन की दर तथा A के वेग का अनुपात$=\frac{5 x}{3 x}$

=5:3

Question 23

1.6m ऊँचाई का एक आदमी एक लैम्प से जिसकी ऊँचाई जमीन से 4m है , 50m/min की दर से दूर जा रहा है । आदमी के छाया की लंम्बाई किस दर से बढ़ रही है ।
Sol :
माना आदमी लैम्प से x meter की दूरी पर है और y meter  छाया की लंबाई है ।

$\frac{d y}{d t}=?$ , $\frac{d x}{d t}=50 \mathrm{m} / \mathrm{min}$

Diagram
ΔABE~ΔDCE

दो समरुप त्रिभुजो के संगत भुजाओ का अनुपात बराबर होता है ।

$\frac{A B}{D C}=\frac{A E}{D E}$

$\frac{4 m}{1.6 m}=\frac{x+y}{y}$

$\frac{40}{16}=\frac{x+y}{y}$

5y=2x+2y

Differentiating w.r.t t

$3 \frac{d y}{d t}=2 \times \frac{d x}{d t}$

3 $\frac{d y}{d t}=2 \times 50 \mathrm{m} / \mathrm{min}$

$\frac{d y}{d t}=\frac{100}{3} \mathrm{m} / \mathrm{min}$

Question 24

एक शंकुनुमा हौज जिसकी गहराई 15cm तथा त्रिज्या 5cm है में पानी 0.1m³/sec की दर से प्रवेश कर रहा है । जब पानी की गहराई 6cm है , तो ज्ञात करे कि किस दर से पानी की सतह का क्षेत्रफल बढ़ रहा है ।
Sol :
माना शंकु की गहराई h और त्रिज्या r है । जहाँ h=6cm

Diagram

$\tan \alpha=\frac{A D}{DA}=\frac{B C}{O B}$

$\frac{r}{h}=\frac{5cm}{15cm}$

$\frac{r}{h}=\frac{1}{3}$

h=3r

$\frac{d v}{d t}=0.1 \mathrm{m}^{3} / \mathrm{sec}$ ,

v=आयतन

शंकु का आयतन ,$v=\frac{1}{3} \pi r^{2} h$

$v=\frac{1}{3} \pi\left(\frac{h}{3}\right)^{2} \cdot h$

$v=\frac{1}{27} \pi h^{3}$

Differentiate w.r.t t

$\frac{d v}{d t}=\frac{1}{27} \pi \times 3 h^{2} \times \frac{d h}{d t}$

$0.1=\frac{1}{9} \pi \times(6 cm)^{2} \times \frac{d h}{d t}$

$\frac{0.1 \times 9}{36 \pi}=\frac{d h}{d t}$

$\frac{1}{40 \pi} \mathrm{cm} / \mathrm{sec}=\frac{d h}{d t}$

शंकु के सतह का क्षेत्रफल, A=πr²

$A=\pi\left(\frac{h}{3}\right)^{2}$

$A=\frac{\pi}{9} h^{2}$

Differentiating w.r.t t

$\frac{d A}{d t}=\frac{2 \pi}{9} h \times \frac{d h}{d t}$

$=\frac{2 \pi}{9} \times 6 \times \frac{1}{40 \pi}$

$=\frac{1}{30} c m^{2} /$ sec

Question 25

दो वार्गो की भुजाएँ x और y है इस तकह से कि $y=x-x^{2}$ . पहले वर्ग के क्षेत्रफल के सापेक्ष दूसरे वर्ग के क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर निकाले ।
Sol :
माना पहले वर्ग का क्षेत्रफल A है और दूलरे वर्ग का क्षेत्रफल A' है ।

A=x² ,A'=y²

Differentiating w.r.t x

$\frac{dA}{dx}=2x$..(i)

A'=(x-x²)²

A'=x²-2.x.x²+(x²)²

A'=x²-2.x³+x⁴

Differentiating w.r.t x

$\frac{d A^{\prime}}{d x}=2 x-6 x^{2}+4 x^{3}$..(ii)

समीकरण (ii) मे (i) से भाग देने पर ,

$\frac{\frac{d A^{\prime}}{d x}}{\frac{dA}{dx}}=\frac{2 x-6 x^{2}+4 x^{3}}{2 x}$

$\frac{d A'}{d A}=\frac{2 x\left(1-3x+2 x^{2}\right)}{2x}$

=2x²-3x+1

Question 26

एक कण परवलय y²=2ax के अनुदिश इस तरह गतिशील है कि इलका y-अक्ष पर विक्षेप की गति अचर है । दिखाएँ कि इसका  x-अक्ष पर विक्षेप अचर त्वरण से गतिशील है ।
Sol :
माना $\frac{d y}{d t}=k$ (नियतांक)

∵y²=2ax

Differentiating w.r.t t

$2y\frac{d y}{d t}=2 a \cdot \frac{d x}{d t}$

$\frac{d y}{d t}=a \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{d x}{d t}$ $\Rightarrow \frac{d x}{d t}=\frac{y}{a} \cdot \frac{d y}{d t}$

Again , differentiating w.r.t t

$\frac{d^{2} y}{d t^{2}}=a\left[-\frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{d x}{d t}+\frac{1}{y} \cdot \frac{d^{2} x}{d t^{2}}\right]$

$0=a\left[-\frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{d x}{d t}+\frac{1}{y} \frac{d^{2} x}{d t^{2}}\right]$

$-\frac{1}{y} \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-\frac{1}{y^{2}} \frac{d x}{d t}$

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=\frac{1}{y} \cdot \frac{d x}{d t}$

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=\frac{1}{y} \times \frac{y}{a} \cdot \frac{d y}{d t}$

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=\frac{1}{a} \times k$

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=\frac{k}{a}$

Question 27

किसी वस्तु की x  इकाइयो के उत्पादन में कुल लागत C(x) रुपयो मे
C(x)=0.005x³-0.02x²+30x+5000 से प्रदत्त है । सीमांत लागत ज्ञात कीजिए जब 3 इकाई उत्पादित की जाती है । जहाँ सीमान्त लागत (marginal cost या MC) से हमारा अभिप्राय किसी स्तर पर उत्पादन के संपूर्ण मे लागत में तात्कालिक परिवर्तन का दर से है ।
Sol :
C(x)=0.005x³-0.02x²+30x+5000

Differentiating w.r.t x

C'(c)=0.015x²-0.04x+30

MC=C'(3)=0.015(3)²-0.04(3)+30

=0.135-0.12+30

=30.015

=30.02

Question 28

किसी उत्पाद की x इकाइयो के विक्रय से प्राप्त कुल आय रुपये मे R(x)=3x²+36x+5 से प्रदत्त है । जब x=5 हो तो सीमांत आय ज्ञात कीजिए । जहाँ सीमांत आय (marginal revenue or MR) से हमारा अभिप्राय किसी क्षण विक्रय की गई वस्तुओ की संख्या के सापेक्ष आय के परिवर्तन की दर से है ।
Sol :
R(x)=3x²+36x+5

Differentiating w.r.t x

R'(x)=6x+36

MR=R'(5)=6(5)+36

=66

Question 29

एक कण किसी सरल रेखा पर इस प्रकार चलता है कि t सेकेण्ड बाद इसकी दूरी किसी निश्चित बिन्दु मीटर मे $S=\frac{t^{3}}{3}-\frac{t^{2}}{2}-6 t+5$ से प्राप्त होते है , तो

(i) 5 सेकेण्ड बाद कण का वेग क्या है ?

(ii) उस बिन्दु पर कण की वेगवृद्धि क्या है जहाँ इसका वेग शून्य है ?

Sol :
(i)
$S=\frac{t^{3}}{3}-\frac{t^{2}}{2}-6 t+5$

Differentiating w.r.t t

$v=\frac{d s}{d t}=\frac{3 t^{2}}{3}-\frac{2 t}{2}-6$

=t²-t-6

(t=5) पर ,

v=(5)²-5-6
=25-11
=14m/sec

(ii)
v=0

t²-t-6=0

t²-3t+2t-6=0

t(t-3)+2(t-3)=0

(t-3)(t+2)=0

t=3, t=-2

v=t²-t-6=0

Differentiating w.r.t t

$\frac{d v}{d t}=2 t-1$

t=3 पर ,

वेगवृद्धि(a)$=\frac{d v}{d t}$

=2(3)-1

=54m/sec²

Question 30

एक मोटर गाड़ी द्वारा लगाने के बाद t सेकेण्ड़ मे तय की दूरी s फिट है जहाँ s=22t-12t² . मोटर रुकने के पहले तक तय की दूरी निकाले ।
Sol :
s=22t-12t²

Differentiating w.r.t t

$\frac{d s}{d t}=22-24 t$

∵$\frac{d s}{d t}=0$ (गाडी रुकी है )

22-24t=0

22=24t

$t=\frac{22}{24}=\frac{11}{12}sec$

दूरी=s=$=22\left(\frac{11}{12}\right)-12\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$

$=\frac{242}{12}-12 \times\left(\frac{121}{144}\right)$

$=\frac{242-121}{12}$

$=\frac{121}{12}$फीट

=10.08 feet