KC Sinha: Exercise 15.1- Mathematics Solution Class 12 Chapter 15 वर्धमान और ह्रासमान फलन

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Question 1

अन्तराल निकाले जिसमे निम्रलिखित फलन वर्धमान या हासमान हे
[Find the intervals in which the following functions are increasing or decreasing]
(i) $f(x)=10-6 x-2 x^{2}$
(ii) $f(x)=2 x^{3}-12 x^{2}+18 x+15$
(iii) f(x)=5+36x+3x²-2x³
(iv) f(x)=8+36+3x²-2x³
(v)  f(x)=5x³-15x²-120x+3
(vi) f(x)=x³-6x²-36x+2
(xi) f(x)=2x³-24x+107
(xii) f(x)=(x-1)(x-2)²
(xv) f(x)=[x(x-2)]²
Sol :
(i) $f(x)=10-6 x-2 x^{2}$
Sol :

Differentiating w.r.t x

$f^{\prime}(x)=-6-4 x$

=-2(3+2 x)

2 x=-3

$x=\frac{-3}{2}$

$f^{\prime}(x)$ की चिन्ह योजना:

Diagram

(i) अंतराल $\left(-\infty,-\frac{3}{2}\right)$ , मे f '(x)>0

∴f(x) , अंतराल $\left(-\infty,-\frac{3}{2}\right)$ मे वर्धमान फलन है ।

(ii) अंतराल $\left(-\frac{3}{2}, \infty\right)$ ,मे , f '(x)<0

∴f(x) , अंतराल $\left(-\frac{3}{2}, \infty\right)$ मे हासमान फलन है ।

(ii) $f(x)=2 x^{3}-12 x^{2}+18 x+15$

Sol :

Differentiating w.r.t x

f '(x)=6x²-24x+18

=6[x²-4x+3]

=6[x²-3x-x+3]

=6[x(x-3)-1(x-3)]

f '(x)=6(x-1)(x-3)

f '(x)=0
6(x-1)(x-3)=0

$\begin{array}{l|l}x-1=0&x-3=0\\x=1&x=3\end{array}$

$f^{\prime}(x)$ की चिन्ह योजना:

Diagram to be added

(i) अंतराल (-∞,1) और (3,∞) मे f'(c)>0

∴f(x) , (-∞,1)∪(3,∞) मे वर्धमान फलन है ।

(ii) अंतराल (1,3) मे  f'(x)<0

∴f(x) , (1,3) मे ह्रासमान है ।

(iv) f(x)=8+36+3x²-2x³
Sol :

Differentiate w.r.t x

f '(x)=36+6x-6x²

=-6x²+6x+36

=-6[x²-x-6]

=-6[x²-3x+2x-6]

=-6[x(x-3)+2(x-3)]

f '(x)=-6(x+2)(x-3)

∴f'(x)=0

-6(x+2)(x-3)=0

$\begin{array}{l|l}x+2=0&x-3=0 \\ x=-2&x=3\end{array}$

f '(x) की चिन्ह योजना

Diagram

(i) अंतराल (-2,3) मे f'(x)>0
∴f(x) , (-2,3) मे वर्धमान फलन है ।

(ii) अंतराल (-∞,-2) और (3,∞) मे f '(x)<0
∴f(x) , (-∞,-2)∪(3,∞) मे ह्रासमान है ।

(xii) f(x)=(x-1)(x-2)²
Sol :

Differentiating w.r.t x

f '(x)=1.(x-2)²+(x-1).2(x-2).1

=(x-2)[x-2+2(x+1)]

=(x-2)(x-2+2x-2)

=(x-2)(3x-4)

∴f '(x)=0
(x-2)(3x-4)=0

$\begin{array}{l|l}x-2=0 & 3 x-4=0\\x=2 & 3 x=4\\&x=\frac{4}{3}\end{array}$

f '(x) की चिन्ह योजना

Diagram

(i) अंतराल $\left(-\infty , \frac{4}{3}\right)$ और (2,∞) मे , f'(x)>0
∴ f(x) , $\left(-\infty , \frac{4}{3}\right)$⋃(2,∞) मे वर्धमान फलन है ।

(ii) अंतराल  $\left(\frac{4}{3},2\right)$ मे ,f '(x)<0
∴ f(x) , $\left(\frac{4}{3},2\right)$ मे ह्रासमान फलन है ।

(xv) f(x)=[x(x-2)]²
Sol :
f(x)=x²(x-2)²

Differentiating w.r.t x

f '(x)=2x(x-2)²+x².2(x-2).1
=2x(x-2)(x-2+x)
=2x(x-2)(2x-2)
=4x(x-2)(x-1)

∴f '(x)=0
4x(x-2)(x-1)=0

$\begin{array}{l|l|l}4x=0&x-2=0&x-1=0\\x=0&x=2&x=1\end{array}$
f '(x) की चिन्ह योजना

Diagram

(i) अंतराल (0,1) और (2,∞) मे f '(x)>0
∴ f(x) (0,1)⋃(2,∞) मे वर्धमान फलन है ।

(ii) अंतराल (-∞,0) और (1,2) मे f '(x)<0
∴ f(x) , (-∞,0)⋃(1,2) मे ह्रासमान फलन है ।

Question 2

अन्तराल निकाले जिलमें निम्नलिखित फलन निरंतर वर्धमान या ह्रासमान है ।
[Find the intervals in which the following functions are strictly increasing or decreasing]
(i) f(x)=2x³-3x²-36x+7
(ii) f(x)=2x³-9x²-24x-5
(xii) f(x)=(x+1)³(x-3)³
Sol :
(i)
 f(x)=2x³-3x²-36x+7

Differentiating w.r.t x

 f '(x)=6x²-6x-36
=6[x²-x-6]
=6[x²-3x+2x-6]
=6[x(x-3)+2(x-3)]

f '(x)=6(x+2)(x-3)

∴f '(x)=0
6(x+2)(x-3)=0

$\begin{array}{l|l}x+2=0&x-3=0\\x=-2&x=3\end{array}$

f '(x) की चिन्ह योजना

Diagram

(i) अंतराल, (-∞,-2) तथा (3,∞) , f '(x)>0
∴f(x) , (-∞,-2)⋃(3,∞) मे निरंतर वर्धमान है ।

(ii) अंतराल (-2,3) मे , f '(x)<0
∴f(x) , (-2,3) मे निरंतर ह्रासमान है ।

(xii)
f(x)=(x+1)³(x-3)³

Differentiating w.r.t x

f '(x)=3(x+1)².1(x-3)³+(x+1)³.3(x-3)².1
=3(x+1)².(x-3)²(x-3+x+1)
=3(x+1)².(x-3)²(2x-2)
=6(x+1)².(x-3)²(x-1)

∴f '(x)=0
6(x+1)²(x-3)²(x-1)=0

[(x+1)²≥0
(x-3)²≥0]

x-1=0

x=1

Diagram

(i) अंतराल (1,∞) मे , f '(x)>0
∴ f(x) , (1,∞) मे , f '(x)<0

(ii) अंतराल (-∞,1) मे निरंतर ह्रासमान है ।

Question 3

अन्तराल निकाले जिसमे निम्नलिखित फलन वर्धमान या ह्रासमान है ।
[Find the intervals in which the following functions are increasing or decreasing]
(i) f(x)=2x³-24x+7
(ii) f(x)=x⁴-2x²
(iii) f(x)=x⁴-8x³+22x²-24x+21
(iv) $f=x^4-\frac{x^3}{3}$
(v) $f(x)=\frac{x}{2}+\frac{2}{x},$x≠0
(vi) $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$
(vii) $f(x)=\frac{x-2}{x+1}$,x≠-1
Sol :
(i) f(i)=2x³-24x+7
Differentiating w.r.t x

f '(x)=6x²-24
=6(x²-4)
=6(x²-2²)
f '(x)=6(x-2)(x+2)

∴f '(x)=0
6(x-2)(x+2)=0

$\begin{array}{l|l}x-2=0&x+2=0\\x=2&x=-2\end{array}$

f '(x) की चिन्ह योजना

Diagram

(i) अंतराल (-∞,-2) और (2,∞) मे f '(x)>0
∴ f(x) , (-∞,-2)⋃(2,∞) मे वर्धमान फलन है ।

(ii) अंतराल (-2,2) में , f '(x)<0
∴ f(x) , (-2,2) मे ह्रासमान फलन है ।

(ii) f(x)=x⁴-2x²
Sol :

Differentiating w.r.t x

f '(x)=4x³-4x
=4x(x²-1)
=4x(x²-1²)

f '(x)=4x(x+1)(x-1)
∴f '(x)=0

4x(x+1)(x-1)=0

$\begin{array}{l|l|l}4x=0&x+1&x-1=0\\x=0&x=-1&x=1\end{array}$

f '(x) की चिन्ह योजना

Diagram

(i) अंतराल (-1,0) तथा (1,∞) मे , f '(x)>0
∴f(x) , (-1,0) तथा (0,1) मे , f '(x)<0

(ii)अंतराल (-∞,-1) तथा (0,1) मे , f '(x)<0
∴f(x), (-∞,-1)⋃(0,1) मे ह्रासमान फलन है ।

(iii) f(x)=x⁴-8x³+22x²-24x+21

Sol :

Differentiating w.r.t x

f '(x)=4x³-24x²+44x-24

=4[x³-6x²+11x-6]

=4[x³-x²-5x²+5x+6x-6]

=4[x²(x-1)-5x(x-1)+6(x-1)]

=4(x-1)(x²-5x+6)
=4(x-1)(x²-3x-2x+6)

=4(x-1)(x(x-3)-2(x-3))

f '(x)=4(x-1)(x-2)(x-3)

∴f '(x)=0
4(x-1)(x-2)(x-3)=0

$\begin{array}{l|l|l}x-1=0&x-2=0&x-3=0\\x=1&x=2&x=3\end{array}$

f '(x) की चिन्ह योजना

Diagram

(i) अंतराल (1,2) औऱ (3,∞) मे , f '(x)>0
∴f(x) , (1,2)⋃(3,∞) मे वर्धमान फलन है ।

(ii) अंतराल (-∞,1) औऱ (2,3) मे , f '(x)<0
∴f(x) , (-∞,1)⋃(2,3) मे ह्रासमान फलन है ।

(iv) $f=x^4-\frac{x^3}{3}$
Sol :
Differentiating w.r.t x

f '(x)=4x³$-\frac{3x^2}{3}$

f '(x)=x²(4x-1)

∴f '(x)=0

x²(4x-1)=0 [∵x²≥0]

4x-1=0

$x=\frac{1}{4}$

f '(x) की चिन्ह योजना

Diagram

(i) अंतराल ($\frac{1}{4}$,∞) मे ,  f '(x)>0
∴f(x) , ($\frac{1}{4}$,∞) मे वर्धमान फलन है ।

(ii) अंतराल (-∞,$\frac{1}{4}$) मे , f '(x)<0
∴f(x) , (-∞,$\frac{1}{4}$) मे ह्रासमान फलन है ।

(v) $f(x)=\frac{x}{2}+\frac{2}{x},$x≠0
Sol :
Differentiating w.r.t x

f '(x) $=\frac{1}{2}-\frac{2}{x^2}$

f '(x) $=\frac{x^2-4}{2x^2}$

$f'(x)=\frac{x^2-2^2}{2x^2}$

$=\frac{(x-2)(x+2)}{2x^2}$

∴f '(x)

$\frac{(x-2)(x+2)}{2x^2}=0$

$\begin{array}{l|l|l}x\neq 0&x-2=0&x+2=0\\&x=2&x=-2\end{array}$

f '(x) की चिन्ह योजना

Diagram

(i) अंतराल (-∞,-2) और (2,∞) मे , f '(x)>0
∴ f(x) , (-∞,-2)⋃(2,∞) मे वर्धमान फलन है ।

(ii) अंतराल (-2,0)⋃(0,2) , मे f '(x)<0
∴f(x) , (-2,0)⋃(0,2) मे ह्रासमान फलन है ।

(vi) $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$
Sol :
Differentiating w.r.t x

$f'(x)=\frac{1.(x^2+1)-x.2x}{(x^2+1)^2}$

$=\frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2}$

$=\frac{-x^2+1}{(x^2+1)^2}$

$f'(x)=\frac{-x^2+1}{(x^2+1)^2}$

∴f '(x)=0

$\frac{-x^2+1}{(x^2+1)^2}=0$

[$(x^2+1^2)^2 \geq 0$]

-x²+1=0

x=±√1

x=±1

f '(x) की चिन्ह योजना

Diagram

(i) अंतराल (-1,1) में f '(x)>0
∴ f(x) , (-1,1) मे वर्धमान फलन है ।

(ii) अंतराल (-∞,1) तथा (1,∞) में f '(x)<0
∴ f(x) , (-∞,1)⋃(1,∞) में ह्रासमान फलन है ।

(vii) $f(x)=\frac{x-2}{x+1}$,x≠-1
Sol :
Differentiating w.r.t x

$f'(x)=\frac{1.(x+1)-(x-2).1}{(x+1)^2}$

$=\frac{x+1-x+2}{(x+1)^2}$

$f'(x)=\frac{3}{(x+1)^2}$

∵x≠-1

f '(x) की चिन्ह योजना

Diagram

(i) अंतराल (-∞,-1) और (-1,∞) में f '(x)>0
∴ f(x) , (-∞,-1)⋃(-1,∞) मे वर्धमान फलन है ।

(ii) ह्रासमान फलन के लिए कोई अंतराल नही है ।

Question 4

माना कि 1 , अन्तराल है जो (-1,1) से असंयुक्त है । दिखाँए कि फलन f जो $f(x)=x+\frac{1}{x}$ से प्रदत्त है , I मे निरंतर वर्धमान है ।
Sol :
$f(x)=x+\frac{1}{x}$

Differentiating w.r.t x

$f'(x)=1-\frac{1}{x^2}$

∴f '(x)=0

$1-\frac{1}{x^2}=0$

$1=\frac{1}{x^2}$

x²=1

x=±√1

x=±1

f '(x) की चिन्ह योजना

Diagram

अंतराल (-∞,-1) औऱ (1,∞) में f '(x)>0

∴f(x) अंतराल I∈R-(-1,1) में निरंतर वर्धमान फलन है ।

Question 5

दिखाएँ कि f(x)=7x-3 द्वारा प्रदत्त फलन, R मे निरंतर वर्धमान है ।
[Show that the function given by f(x)=7x-3 is strictly increasing on R]
Sol :
f(x)=7x-3

Differentiating w.r.t x

f '(x)=7

x∈R , f '(x)>0

∴f(x) , R में निरंतर वर्धमान है ।

Question 6

दिखाएँ कि f(x)=x³-6x²+12x-18 , R में वर्धमान फलन है ।
[Show that f(x)=x³-6x²+12x-18 is an increasing function on R]
Sol :
f(x)=x³-6x²+12x-18

Differentiating w.r.t x

f '(x)=3x²-12x+12
=3(x²-4x+4)
=3(x²-2.x.2+2²)
=3(x-2)²

अब , x∈R⇒(x-2)²≥0
⇒3(x-2)²≥0
⇒f '(x)≥0

∴f(x) is an increasing function on R

Question 7

दिखाएँ कि f(x)=x³-15x²+75x-50 , R मे वर्धमान फलन है ।
[Show that f(x)=x³-15x²+75x-50 is an increasing function in R]
Sol :
f(x)=x³-15x²+75x-50

Differentiating w.r.t x

f '(x)=3x²-30x+75
=3(x²-10x+25)
=3(x²-2.x.5+5²)
=3(x-5)²

अब , x∈R⇒(x-5)²≥0

⇒3(x-5)²≥0
⇒f '(x)≥0

∴f(x) is an increasing function on R

Question 8

दिखाएँ कि फलन f जो f(x)=x³-3x²+3x , x∈R से प्रदत्त है , R मे वर्धमान फलन है ।
[Show that the function f given by f(x)=x³-3x²+3x , x∈R is increasing on R]
Sol :
f(x)=x³-3x²+3x

Differentiating w.r.t x

f '(x)=3x²-6x+3
=3(x²-2x+1)
=3(x²-2.x.1+1²)
=3(x-1)²

अब , x∈R⇒(x-1)²≥0

⇒3(x-1)²≥0

⇒f '(x)≥0

∴f(x) is an increasing function on R

Question 9

दिखाएँ कि निम्नलिखित फलन R मे निरंतर वर्धमान है ।
[Show that the following functions are strictly increasing on R]
(i) f(x)=3x+17
Sol :
Differentiating w.r.t x

f '(x)=3>0 ∀x∈R and f(x) is one-one function

∴ f(x) is strictly increasing function on R

(ii) f(x)=e^2x
Sol :
Differentiating w.r.t x

f '(x)=2e^2x>0 , ∀x∈R

and f(x) is one-one function.

∴f(x) is strictly increasing function on R

Question 10

दिखाएँ कि f(x)=cosx(0,π) में ह्रासमान फलन है साथ ही यह भी दिखाएँ कि
[Show that f(x)=cosx is decreasing function on (0,π). Also show that]
(i) (0,π) में f निरंतर ह्रसमान है ।
[f is strictly decreasing on (0,π)]
(ii) (π,2π) में f निरंतर वर्धमान है ।
[f is increasing in (π,2π)]
Sol :
f(x)=cosx

Differentiating w.r.t x

f '(x)=-sinx

यदि x∈(0,π)
⇒-sinx<0
⇒f '(x)<0

∴f(x) is decreasing function on (0,π)

(i) f(x) is one-one function on (0,π)
∴f(x) is strictly decreasing function on (0,π)

(ii) अंतराल (π,2π) मे , f '(x)>0
and f(x) is one-one function on (π,2π)
∴f(x) is strictly increasing on (π,2π)

Question 11

दिखाएँ कि f(x)=sinx से प्रदत्त फलन
[Show that the function given by f(x)=sinx]
(i) $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ मे निरंतर वर्घमान है ।
[Strictly increasing in $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$]

(ii) $\left(\frac{\pi}{2},\pi \right)$ मे निरंतर ह्रासमान है ।
[Strictly decreasing in $\left(\frac{\pi}{2},\pi \right)$]

(iii) (0,π) मे न तो वर्धमान है और न ह्रासमान है ।
[Neither increasing nor decreasing (0,π)]
Sol :
f(x)=sinx

Differentiating w.r.t x

f '(x)=cosx

(i) अंतराल $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ मे , f '(x)>0
∵ f(x) is one-one function on $\left(0,\right)$
∴f(x) is strictly increasing in $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$

(ii) अंतराल $\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$ में , f '(x)<0
∵f(x) is one-one function on $\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$
∴f(x) is strictly decreasing in$\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$

(iii) ∴ f(x) is neither increasing nor decreasing in (0,π)

Question 12

दिखाएँ कि फलन f को f(x)=log sinx से प्रदत्त है $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ मे निरंतर वर्धमान है तथा $\left(\frac{\pi}{2},\pi \right)$ में निरंतर ह्रासमन है ।
Sol :
f(x)=log(sinx)

Differentiate w.r.t x

$f'(x)=\frac{1}{\sin }\times \cos x$

f '(x)=cot x

(i) अतंराल $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ में  , f '(x)>0
∵ f(x) is one-one function in $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$
∴f(x) is strictly increasing in $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$

(ii) अतंराल $\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$ में , f '(x)<0
∵ f(x) is one-one function in $\left(\frac{\pi}{2},\pi \right)$
∴f(x) is strictly decreasing in $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$

Question 13

वह अन्तराल निकाले जिसमें फलन f  जो निम्न प्रकार प्रदत्त है ।
[Find the intervals in which the function f given by]
f(x)=sinx+cosx , 0≤x≤π

Differentiating w.r.t x

f '(x)=cosx-sinx

∴f '(x)=0

cosx-sinx=0

-sinx=-cosx

$\frac{\sin x}{\cos x}=1$

$\tan x=\frac{\pi}{4}$

[tanθ=tanα θ=nπ+α , n∈z]

∴$x=n\pi+\frac{\pi}{4}$ , n∈z

∵0≤x≤2π

$x=\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$

f '(x) की चिन्ह योजना

Diagram

(i) अंतराल $\left(0,\frac{\pi}{4} \right)$ और $\left(\frac{5\pi}{4},2\pi\right)$ मे , f '(x)>0
∴f(x) is strictly increasing in $\left[0,\frac{\pi}{4} \right)$⋃$\left(\frac{5\pi}{4},2\pi\right]$

(ii) अंतराल $\left(\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right)$ में , f '(x)<0
∴f(x) is strictly decreasing in $\left(\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right)$

Question 14

दिखाएँ कि फलन $y=\frac{4\sin \theta}{2+\cos \theta}-\theta$ , $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ मे θ का वर्धमान फलन है ।
Prove that $y=\frac{4\sin \theta}{2+\cos \theta}-\theta$ is an increasing function of θ in $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$
Sol :
$y=\frac{4\sin \theta}{2+\cos \theta}-\theta$

Differentiating w.r.t θ

$\frac{dy}{d \theta}=\frac{4\cos \theta (2+\cos \theta)-4\sin (-\sin \theta)}{(2+\cos \theta)^2}-1$

$=\frac{8\cos\theta+4\cos^2 \theta+4\sin^2 \theta}{(2+\cos \theta)^2}-1$

$=\frac{8\cos \theta+4(\cos^2 \theta +\sin^2 \theta)-(2+\cos \theta)^2}{(2+\cos \theta)^2}$

$=\frac{8\cos \theta +4(1)-(2^2+2.2.\cos \theta +\cos ^2 \theta)}{(2+\cos \theta)^2}$

$\frac{dy}{d\theta}=\frac{8\cos \theta+4-4\cos \theta -\cos^2 \theta}{(2+\cos \theta)^2}$

$\frac{dy}{d\theta}=\frac{4\cos \theta-\cos^2\theta}{(2+\cos\theta)^2}$

$\frac{dy}{d\theta}=\frac{\cos \theta (4-\cos \theta)}{(2+\cos \theta)^2}>0 ,\forall \theta \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right) $

[∵cosθ>0 ,4-cosθ>0
(2+cosθ)²>0]

∴फलन $y=\frac{4\sin \theta}{2+\cos \theta}-\theta$

अंतराल $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ मे एक वर्धमान फलन है ।

Question 15

दिखाएँ कि फलन f(x)=x+cosx-a के सभी मानो के लिए R पर एक वर्धमान फलन है ।
[Show that f(x)=x+cosx-a is an increasing function on R for all values of a]
Sol :
f(x)=x+cosx-a

Differentiating w.r.t x

f '(x)=1-sinx≥0 ,∀x∈R

∴a के सभी मानो के लिए R पर , f(x) एक वर्धमान फलन है ।

Question 16

a का न्यून्तम मान निकाले ताकि फलन f(x)=x²+ax-1 , [1,2] मे वर्धमान है ।
[Find the least value of a for which the function f(x)=x²+ax-1 is increasing in{1,2}]
Sol :
f(x)=x²+ax-1

Differentiating w.r.t x

f '(x)=2x+a

∵f(x) , अंतराल [1,2] मे वर्धमान फलन है ।

f '(x)≥0 , ∀∈(1,2)

2x+a≥0

∵a के न्यून्तम मान के लिए,

∴2x+a का भी न्यूनतम मान लेना होगा ।

∴ 2×1+a ≥0
2+a≥0
a≥-2

अभिष्ट मान : a=-2 [∵-2≤a≤∞]