KC Sinha: Exercise 15.3 - Mathematics Solution Class 11 Chapter 15 अनुक्रम और श्रेणी

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श्रेणी 15+12+9+... के कितने पदो को लेने से उनका योगफल 15 मिलेगा? दो उत्तरो की व्याख्या कीजिए।

श्रेणी: 15+12+9+...

-3n²+33n-30=0
-3(n²-11n+10=0)
n²-11n+10=0
n²-10n-n+10=0
n(n-10)-1(n-10)=0

$\begin{array}{l|l}n-10=0&n-1=0\\n=10&n=1\end{array}$

श्रेणी: 15+12+9+...
द्वितीय पदो से शुरू करने पर 9 पदो का योग =0
n=1 ,10

Question 4

n का मान न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए ताकि 2+5+8+11+...n पदो तक≥200
Sol :
2+5+8+11+...n पदो तक≥200

a=2 ,

=5-2
=3

$S_n=\frac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right]$

$\frac{n}{2}\left[2\times 2+(n-1)3\right]$≥200

n(3n+1)≥400

3n²+n-400≥0

$\begin{array}{l|l}n\leq \frac{-1-\sqrt{1^2-4\times 3\times 400}}{2\times 3}&n\geq \frac{-1-\sqrt{1^2-4\times 3\times (-400)}}{2\times 3}\\n\leq \frac{-1-\sqrt{4801}}{6}&n\geq \frac{-1+\sqrt{4801}}{6}\\n\leq \frac{-1-69.3}{6}&n\geq \frac{-1+69.3}{6}\\n\leq \frac{-70.3}{6}&n\geq \frac{68.3}{6}\\n\leq -11.7&n\geq 11.3\end{array}$

n का मान धनात्मक होगा।
∴n=12

Question 5

100 और 200 के बीच मे स्थित सभी विषम संख्याओ का योगफल ज्ञात कीजिए।
[Find the sum of all odd numbers lying between 100 and 200]
Sol :
100 और 200 के बीच मे स्थित विषम संख्याँएः
101,103,105,....199

माना विषम संख्याओ की संख्या n है।
a=101,

a_n=199

a+(n-1)d=199

101+(n-1)2=1999

(n-1)2=199-101

$(n-1)=\frac{98}{2}$

n=49+1
n=50

$S_n=\frac{n}{2}\left[a+a^n\right]$
$=\frac{50}{2}\left[101+199\right]$
=25×300
=7500

Question 6

तीन अंको की सभी संख्याओ का योगफल ज्ञत कीजिए जो 7 से विभाज्य हो।
[Find the sum of all integers of 3 digits which are divisible by 7]
Sol :
7 से विभाज्य 3 अंकीय संख्या
105,112,119....994

माना 7 से विभाज्य 3 अंकीय संख्याओ की संख्या n है।

a=105,

d=a₂-a₁

=112-105
d=7

a_n=994

a+(n-1)d=994
105+(n-1)7=994
(n-1)7=994-105
(n-1)7=889
$n-1=\frac{889}{7}$
n=127+1
n=128

$S_n=\frac{n}{2}\left[a+a_n\right]$

$S_n=\frac{128}{2}\left[105+994\right]$
=64×1099
=70336

Question 7

1 और 100 के बीच मे स्थित उन सभी संख्याओ का योगफल ज्ञात कीजिए जो 2 या 5 से विभाज्य है।
Sol :
1 और 100 के बीच मे 2 या 5 से विभाज्य संख्याँए:
(2+4+6+....100)+(5+10+15+....+100)-(10+20+30+...100)

CASE-I
2 से विभाज्य संख्याँए
2+4+6+....+100

माना 2 से विभाज्य उपर दिए गए अनुक्रम मे n संख्याँए है।
a=2 ,

d=a₂-a₁

=4-2=2

a_n=100

a+(n-1)d=100
2+(n-1)2=100
(n-1)2=98
$n-1=\frac{98}{2}$
n=50

$S_n=\frac{n}{2}\left[a+a_n\right]$

$S_n=\frac{50}{2}\left[2+100\right]$
=25×102
=2550

CASE-II
5 से विभाज्य संख्याँए:
5+10+15+...100

माना दिए गए अनुक्रम मे n संख्याँए है।
a=5 ,

d=10-5
=5

a_n=100

a+(n-1)d=100
5+(n-1)5=100
(n-1)5=95
$n-1=\frac{95}{5}$
n=20

$S_n=\frac{20}{2}\left[5+100\right]$
=10×105
=1050

CASE-III
2 तथा 5 से विभाज्य संख्याँएः
10+20+30+....100

a=10, a_n=100 , n=10

$S_n=\frac{10}{2}\left[10+100\right]$

=5×110

=550

∴1 से 100 बीच 2 या 5 से विभाज्य संख्याओ का योग
=2550+1050-550
=3050

Question 8

1 और 200 के बीच उन सभी संख्याओ का जोड़ निकालिए जिसमे 3 से या 7 से पूरा-पूरा भाग नही लगता है ।
Sol :

Question 10

समांतर श्रेढ़ी 30,27,24,21,18...का महत्तम योगफल ज्ञात कीजिए।
[Find the maximum sum of the A.P 30,27,24,21,18,...]
Sol :
A.P: 30,27,24,21,18,...

माना A.P का n वाँ पद शून्य से बड़ा है।
a=30 ,

d=27-30=-3

a_n>0
a+(n-1)d>0
30+(n-1)(-3)>0
(n-1)(-3)>-30

$\frac{(n-1)(-3)}{-3}<\frac{-30}{-3}$
n<10+1
n<11
∴n=10

$S_n=\frac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right]$

$S_n=\frac{10}{2}\left[2\times 30+(10-1)(-3)\right]$
=5[60+9(-3)]
=5[60-27]
=5×33
=165

Question 11

समांतर श्रेढ़ी के 8 पदो का योगफल 64 है और 19 पदो का योगफल 361 है तो n पदो का योगफल ज्ञात कीजिए।
Sol :
$S_n=\frac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right]$

S₈=64 ,S₁₉=64

$\frac{8}{2}\left[2a+(8-1)d\right]=64$

$2a+7d=\frac{64}{4}$

2a+7d=16..(i)

$\frac{19}{2}\left[2a+(19-1)d\right]=361$

$\frac{19}{2}\left[2a+18d\right]=361$

$\frac{19}{2}\times 2 \left[a+9d\right]=361$

$a+9d=\frac{361}{19}$

a+9d=19..(i)×2

समीकरण (i) तथा (ii) से,

$\begin{aligned}2a+7d=&16\\2a+18d=&38\\\phantom{2a}-\phantom{18d}&-\phantom{38}\\ \hline -11d=-22\end{aligned}$

$d=\frac{22}{11}=2$

d का मान समीकरण (ii) मे रखने पर,
a+9d=19
a+9(2)=19
a+18=19
a=1

$S_n=\frac{n}{2}\left[2\times 1+(n-1)2\right]$

$S_n=\frac{n}{2}\left[2+2n-2\right]$

$=\frac{n}{2}\times 2n=n^2$

Question 12

एक समांतर श्रेढ़ी के पहले 4 पदो का योग पहले 10 पदो के योग का आधा है और पहले (4+p) पदो का योग का भी आधा है, जहाँ p≠6 तो दिखलाये कि p का मान 20 है।
Sol :
$S_n=\frac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right]$

$S_4=\frac{1}{2}S_{10}$

$\frac{4}{2}\left[2a+(4-1)d\right]=\frac{1}{2}\times \frac{10}{2}\left[2a+(10-1)d\right]$

4[2a+3d]=5[2a+9d]
8a+12d=10a+45d
12d-45d=10a-8a
-33d=2a..(i)

अब,
$S_4=\frac{1}{2}S_{4+p}$

$\frac{4}{2}\left[2a+(4-1)d\right]=\frac{1}{2}\times \frac{4+p}{2}\left[2a+(4+p-1)d\right]$

$4[-33d+3d]=\frac{4+p}{2}\left[-33d+3d+pd\right]$

$4(-30d)=\frac{4+p}{2}[-30d+pd]$

$-120d=\frac{4+p}{2}(-30+p)d$
-240=-120+4p-30p+p²
0=240-120-26p+p²
0=p²-26p+120

या p²-26p+120=0
p²-20p-6p+120=0
p(p-20)-6(p-20)=0
(p-20)(p-6)=0

$\begin{array}{l|l}p-20=0&p-6=0\\p=20&p=6\end{array}$

Question 13

यदि एक A.P का m वाँ पद $\frac{1}{n}$ हो और n वाँ पद $\frac{1}{m}$ हो तो साबित कीजिए कि mn पदो का योगफल $\frac{mn+1}{2}$ है।
Sol :
$a_m=\frac{1}{n}$ , $a_n=\frac{1}{m}$

$\begin{aligned}a+(m-1)d=&\frac{1}{n}..(i)\\a+(n-1)d=&\frac{1}{m}..(ii)\\\phantom{a}-\phantom{(n-1)d}&-\phantom{\frac{1}{m}}\\ \hline (m-1)d-(n-1)d=&\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\end{aligned}$

$(m-1-n+1)d=\frac{m-n}{nm}$

$(m-n)d=\frac{m-n}{nm}$

$d=\frac{1}{mn}$

d का मान समीकरण (i) मे रखने पर,

$a+(m-1)d=\frac{1}{n}$

$a+(m-1)\frac{1}{mn}=\frac{1}{n}$

$a+\frac{1}{n}-\frac{1}{mn}=\frac{1}{n}$

$a=\frac{1}{mn}$

$S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$

$S_{mn}=\frac{mn}{2}[2\times \frac{1}{mn}+(mn-1)\frac{1}{mn}]$

$=\frac{mn}{2}\left[\frac{2}{mn}+1-\frac{1}{mn}\right]$

$=\frac{mn}{2}\left[\frac{1}{mn}+1\right]$

$=\frac{mn}{2}\left[\frac{1+mn}{mn}\right]$

$=\frac{mn+1}{2}$

Question 14

यदि एक A.P के m पदो का योगफल n हो और इसके n पदो का योगफल m हो तो दिखलाइए कि (m+n) पदो का योगफल -(m+n) है।
Sol :
$S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$

S_m=n , S_n=m

$\frac{m}{2}[2a+(m-1)d]=n$

$2a+(m-1)d=\frac{2n}{m}$..(i)

S_n=m

$\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]=m$

$2a+(n-1)d=\frac{2m}{n}$..(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) से,

$\begin{aligned}2a+(m-1)d=&\frac{2n}{m}\\2a+(n-1)d=&\frac{2m}{n}\\\phantom{2a}-\phantom{(n-1)d}&-\phantom{\frac{2m}{n}}\\ \hline (m-1)d-(n-1)d=&\frac{2n}{m}-\frac{2m}{n} \end{aligned}$

$(m-1-n+1)d=\frac{2n^2-2m^2}{mn}$

$(m-n)d=\frac{-2(m^2-n^2)}{mn}$

$(m-n)d=\frac{-2(m-n)(m+n)}{mn}$

$d=\frac{-2(m+n)}{mn}$

$d=-2\left(\frac{m}{mn}+\frac{n}{mn}\right)$

$d=-\frac{2}{n}-\frac{2}{m}$

d का मान समीकरण (i) मे रखने पर,

$2a+(m-1)d=\frac{2n}{m}$

$2a+(m-1)\left(-\frac{2}{n}-\frac{2}{m}\right)=\frac{2n}{m}$

$2a\left[a+(m-1)\left[-\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\right]\right]=\frac{2n}{m}$

$a-\frac{m}{n}-1+\frac{1}{n}+\frac{1}{m}=\frac{n}{m}$

$a=\frac{n}{m}+\frac{m}{n}-\frac{1}{n}-\frac{1}{m}+1$

$=\frac{m+n}{2} \left[2\times \left(\frac{n}{m}+\frac{m}{n}-\frac{1}{n}-\frac{1}{m}+1\right)+(m+n-1) \left(\frac{-2}{n}-\frac{2}{m}\right)\right]$

$S_{m+n}=\frac{m+n}{2}\left[2\left(\frac{n}{m}+\frac{m}{n}-\frac{1}{n}-\frac{1}{m}+1\right)+(m+n-1) \left(-\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\right)\right]$

$=(m+n) \left[\frac{n}{m}+\frac{m}{n}-\frac{1}{n}-\frac{1}{m}+1-\frac{m}{n}-1-1-\frac{n}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{m}\right]$

=(m+n)(-1)=-(m+n)

Question 15

किसी A.P के n, 2n तथा 3n पदो का जोड़ क्रमशः S₁,S₂ और S₃ हो तो दिखालाइए कि S₃ =3(S₂-S₁)
Sol :
S_n=S₁ ,S_2n=S₂ ,S_3n=S₃

R.H.S
3(S₂-S₁)

=3[S_2n-S_n]

$=3\left[\frac{2n}{2}\left\{2a+(2n-1)d\right\}-\frac{n}{2}\left\{2a+(n-1)d\right\}\right]$

$=\frac{3n}{2}\left[2{2a+(2n-1)d}\right]-{2a+(n-1)d}$

$=\frac{3n}{2}\left[4a+(4n-2)d-2a-(n-1)d\right]$

$=\frac{3n}{2}\left[2a+(4n-2-n+1)d\right]$

$=\frac{3n}{2}\left[2a+(3n-1)d\right]=S_{3n}=S_3$

Question 16

यदि किसी A.P के (2n+1) पदो का जोड़ S हो और प्रथम पद से प्रारम्म कर क्रमान्तर (alternate) पदो का जोड़ S₁ हो तो दिखलाइए कि $\frac{S}{S_1}=\frac{2n+1}{n+1}$
Sol :
A.P: a,a+d,a+2d,a+3d....a_2n+1

S=S_2n+1$=\frac{2n+1}{2}\left[2a+(2n+1-1)d\right]$

$S=\frac{2n+1}{2}[2a+2nd]$..(i)

$S_1=\frac{n+1}{2}[2a+(n+1-1)2d]$

$S_1=\frac{n+1}{2}[2a+2nd]$..(ii)

समीकरण (i) मे (ii) से भाग देने पर,

$\frac{S}{S_1}=\dfrac{\frac{2n+1}{2}[2a+2nd]}{\frac{n+1}{2}[2a+2nd]}$

$=\frac{2n+1}{n+1}$

Question 17

यदि किसी A.P के प्रथम तृतीय तथा n वे पद क्रमशः a,b,c हो तो साबित कीजिए कि n पदो का योग हैः $\frac{c+a}{2}+\frac{c^2-a^2}{b-a}$
Sol :
प्रथम पद=a , a₃=b, a_n=c

$\begin{array}{l|l}a_3=b&a_n=c\\a+2d=b&a+(n-1)d=c\\2d=b-a&a+(n-1)\left(\frac{b-a}{2}\right)=c\\d=\frac{b-a}{2}&(n-1)\left(\frac{b-a}{2}\right)=c-a\\&n-1=\frac{2(c-a)}{b-a}\\&n=\frac{2(c-a)}{b-a}+1\end{array}$

$S_n=\frac{n}{2}\left[a+a_n\right]$

$=\dfrac{\left\{\frac{2(c-a)}{b-a}+1\right\}[a+c]}{2}$

$=\left[\frac{c-a}{b-a}+\frac{1}{2}\right](c+a)$

$S_n=\frac{c^2-a^2}{b-a}+\frac{c+a}{2}$

$=\frac{c+a}{2}+\frac{c^2-a^2}{b-a}$

Question 18

यदि किसी A.P का p वाँ पद x है और q वाँ पद y है तो दिखलाइए कि (p+q) पदो का जोड़ है:
[If the pth term of an A.P is x and q is term is y. Show that the sum of (p+q)terms is
$\frac{p+q}{2}\left\{x+y+\frac{x-y}{p-q}\right\}$]
Sol :
a_p=x , a_q=y

$\begin{aligned}a+(p-1)d=&x..(i)\\a+(q-1)d=&y..(ii)\\-\phantom{a}-\phantom{(q-1)d}&-\phantom{y} \\\hline (p-1)d-(q-1)d=&x-y\end{aligned}$

(p-1-q+1)d=x-y

$d=\frac{x-y}{p-q}$

d का मान समीकरण (i) मे रखने पर,

a+(p-1)d=x

$a+(p-1)\left(\frac{x-y}{p-q}\right)=x$

$a=x-\frac{(p-1)(x-y)}{p-q}$

$S_n=\frac{n}{2}\left[2a+(n-1)d\right]$

$S_{p+q}=\frac{p+q}{2}\left[2\left\{x-\frac{(p-1)(x-y)}{p-q}\right\}+(p+q-1)\frac{(x-y)}{p-q}\right]$

$=\frac{p+q}{2}\left[2x-\frac{2(p-1)(x-y)}{p-q}+\frac{(p-1)(x-y)}{p-q}+\frac{q(x-y)}{p-q}\right]$

$=\frac{p+q}{2}\left[2x-\frac{(p-1)(x-y)}{p-q}+\frac{q(x-y)}{p-q}\right]$

$S-{p+q}=\frac{p+q}{2}\left[2x-(p-1-q)\left(\frac{x-y}{p-q}\right)\right]$

$=\frac{p+q}{2}\left[2x-{(p-q)-1}\left(\frac{x-y}{p-q}\right)\right]$

$=\frac{p-q}{2}\left[2x-(x-y)+\frac{x-y}{p-q}\right]$

$=\frac{p+q}{2}\left[2x-x+y+\frac{x-y}{p-q}\right]$

$S_{p+q}=\frac{p+q}{2}\left[x+y+\frac{x-y}{p-q}\right]$

Question 19

(i) दो A.P के n पदो का जोड़ (3n+8):(7n+15) के अनुपात मे है तो उनके 12 वे पदो का अनुपात ज्ञात कीजिए ।
Sol :
$\frac{S_n}{S_n}=\frac{3n+8}{7n+15}$

$\dfrac{\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]}{\frac{n}{2}[2A+(n-1)D]}=\frac{3n+8}{7n+15}$

n=23 पर,

$\frac{2a+(23-1)d}{2A+(23-1)D}=\frac{3(23)+8}{7(23)+15}$

$\frac{2a+22d}{2A+22D}=\frac{69+8}{161+15}$

$\frac{2(a+11d)}{2(A+11D)}=\frac{77}{176}$

$\frac{a_{12}}{A_{12}}=\frac{7}{16}$

=7:16

Question 20

यदि किसी A.P के m पदो का योगफल तथा n पदो के योगफल का अनुपात m²:n² हो तो साबित कीजिए कि इसके m वाँ पदो का अनुपात (2m-1):(2n-1) है।
Sol :
$\frac{S_m}{S_n}=\frac{m^2}{n^2}$

$\dfrac{\frac{m}{2}[2a+(m-1)d]}{\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]}=\frac{m^2}{n^2}$

$\frac{2a+(m-1)d}{2a+(n-1)d}=\frac{m^2}{n^2}\times \frac{n}{m}$

m के जगह 2m-1 तथा n के जगह 2n-1 रखने पर,

$\frac{2a+(2m-1-1)d}{2a+(2n-1-1)d}=\frac{2m-1}{2n-1}$

$\frac{2a+(2m-2)d}{2a+(2n-2)d}=\frac{2m-1}{2n-1}$

$\frac{2[a+(m-1)d]}{2[a+(n-1)d]}=\frac{2m-1}{2n-1}$

$\frac{a_m}{a_n}=(2m-1):(2n-1)$

Question 21

एक व्यक्ति 700 प्रति माह वेतन पर नियुक्त किया गया। नियुक्ति की शर्ते थी कि दूसरे वर्ष उसे 740 प्रति माह, तीसरे वर्ष 780 प्रति माह और इसी तरह वेतन वृद्धि होगी। ज्ञात कीजिए कि 10 वर्ष के अन्त तक उसे कुल कितना वेतन मिलगा।
Sol :
प्रथम 10 वर्षो का वेतनः
8400,8880,9360...10 वर्षो तक

a=8400 ,

d=a₂-a₁
=8880-8400
d=480

n=10

10 वर्षो तक कुल वेतन $S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$

$=\frac{10}{2}[2\times 8400 +(10-1)480]$

=5[16800+4320]
=5×21120
=105600

Question 22

किसी बहुभुज के अन्तः कोण A.P मे है। यदि न्यूनतम कोण 75° हो तथा पदांतर 10° हो तो भुजाओ की संख्या ज्ञात कीजिए।
Sol :
माना बहुभुज मे n भुजाएँ है।
न्यूनतम कोण , a=75° ,d=10°

$S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$

$=\frac{n}{2}[2\times 75 +(n-1)10]$

$=\frac{n}{2}[150 +10n-10]$

$=\frac{n}{2}[10n+140]$

S_n=5n²+70n

∵n भुजाओ वाले बहुभुज के अंतः कोणो का योग
=(n-2)×180°

∴5n²+70n=(n-2)×180°
5(n²+14n)=(n-2)×180°
n²+14n$=\frac{(n-2)\times 180}{5}$
n²+14n=36n-72
n²+14n-36n+72=0
n²+22n+72=0
n²-18n-4n+72=0
n(n-18)-4(n-18)=0
(n-18)(n-4)=0

$\begin{array}{l|l}n-18=0&n-4=0\\n=18&n=4\end{array}$

a₁₈=a+17d
=75+17(10)
=75+170=245

बहुभुज का प्रत्येक अंता कोण 180° से छोटा होना चाहिए।
∴भुजाओ की संख्या=4

Question 23

10 प्रश्नो की जाँत परिक्षा मे किसी विद्यार्थी को कहा जाता है कि बाद के प्रश्न का अंक ठीक पहले के प्रश्न के अंक से 2 अधिक है। यदि जाँच परीक्षा के प्रश्न का तीसरा प्रश्न 5 अंक का हो तो वह विद्यार्थी 8 प्रश्नो को हल कर अधिक से अधिक कितना अंक प्राप्त कर सकेगा।
Sol :
तीसरे प्रश्न से शुरू करने पर प्रश्नो के प्राण्तांक
5+7+9+....8 प्रश्नो तक
a=5 ,

d=a₂-a₁
=7-5=2

n=8