KC Sinha: Exercise 17.1- Mathematics Solution Class 12 Chapter 17 सन्निकटन

[mathjax]

Question 1

अवकल का प्रयोग करते हुए निम्नलिखित मे प्रत्येक का सन्निकट मान दशमलव के 3 स्थानो तक निकाले ।
[Using differentials, find the approximate value of each of the following upto 3 places of decimal]
(i) $\sqrt{36.6}$
Sol :
 माना f(x)=√x

Differentiating w.r.t x

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

36 का वर्गमूल 6 होता है तथा

36.6 के निकटतम है ।

x=36 ,

x+ẟx=36.6
36+ẟx=36.6
ẟx=0.6

f(x+ẟx)=f(x)+f '(x).ẟx

f(36.6)$=\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{36}} \times 0.6$

$\sqrt{36.6}=\sqrt{36.6}+\frac{1}{2\sqrt{36}}\times 0.6$

$=6+\frac{1}{2\times 6} \times 0.6$

$=6+\frac{0.1}{2}$
=6+0.050
=6.050

(ii) $\sqrt{0.6}$
Sol :
माना f(x)=√x

Differentiating w.r.t x

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

0.64 , 0.6 के निकटतम है ,

तथा 0.64 का वर्गमूल 0.8 होता है ।

x=0.64 , x+ẟx=0.6
0.64+ẟx=0.6
ẟx=-0.04

f(x+ẟx)=f(x)+f '(x).ẟx
f(0.6)$=\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\times (-0.04)$

$\sqrt{0.6}=\sqrt{0.64}+\frac{1}{2\sqrt{0.64}}\times (-0.04)$

$=0.8-\frac{0.04}{2\times 0.8}$

$=0.8-\frac{2\times 10}{4 \times 10}$

$=0.8-\frac{1}{40}$
=0.8-0.025
=0.775

(iii) $\sqrt{49.5}$
Sol :
माना f(x)=√x

Differentiating w.r.t x

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

49 , 49.5 के निकटतम है ।

49 का वर्गमूल 7 होता है।

x=49 ,

x+ẟx=49.5
49+ẟx=49.5
ẟx=0.5

f(x+ẟx)=f(x)+f '(x).ẟx
f(49.5)=√x+$\frac{1}{2\sqrt{x}}.(0.5)$
$\sqrt{49.5}=\sqrt{49}+\frac{1}{2\sqrt{49}}\times (0.5)$
=7+$\frac{1}{2\times 7} \times 0.5$
=7+$\frac{0.5}{14}$
=7+0.035
=7.035

(iv) $(401)^{\frac{1}{2}}$
Sol :
=√401

x=400 ,

x+ẟx=401

ẟx=1

(v) $\sqrt{0.0037}$
Sol :
माना f(x)=√x

Differentiating w.r.t x

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

0.0036 , 0.0037 के निकटतम है । 0.0036 का वर्गमूल 0.06 होता है ।

x=0.0036 ,

x+ẟx=0.0037
0.0036+ẟx=0.0037
ẟx=0.001

f(x+ẟx)=f(x)+f '(x).ẟx
f(0.0037)$=\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}} \times (0.001)$
$\sqrt{0.0037}=\sqrt{0.0036}+\frac{1}{2\times \sqrt{0.0036}}\times 0.0001$
$=0.006+\frac{0.0001}{2 \times 0.06}$
$=0.06+\frac{0.0001}{0.12}$
=0.06+0.00083
=0.06083

(vi) $\sqrt{25.3}$
Sol :

(vii) $(0.009)^{\frac{1}{3}}$
Sol :
माना f(x)=√x

Differentiating w.r.t x

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

0.008 , 0.009 के निकटतम है तथा 0.008 का घनमूल 0.2 होता है ।

x=0.008 ,

x+ẟx=0.009
0.008+ẟx=0.009
ẟx=0.001

f(x+ẟx)=f(x)+f '(x).ẟx

f(0.009)$=x^{\frac{1}{3}}+\frac{1}{3x^{2/3}}\times (0.001)$

$(0.009)^{\frac{1}{3}}=(0.008)^{\frac{1}{3}}+\frac{1}{3(0.008)^{\frac{2}{3}}}\times (0.001)$
$(0.009)^{\frac{1}{3}}=(0.2)^{3\times \frac{1}{3}}+\frac{1}{3(0.2)^{3 \times \frac{2}{3}}}\times (0.001)$
$=0.2+\frac{0.001}{0.12}$
=0.2+0.0083
=0.2083

(viii) $(26.57)^{\frac{1}{3}}$
Sol :
माना f(x)=√x

Differentiating w.r.t x

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

27, 26.57 के निकटतम है तथा 27 का घनमूल 3 होता है ।

x=27 ,

x+ẟx=26.57

27+ẟx=26.57

ẟx=-0.43

f(26.57)$=x^{\frac{1}{3}}+\frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}} \times (-0.43)$

$(26.57)^{\frac{1}{3}}=(27)^{\frac{1}{3}}+\frac{1}{3 \times (27)^{\frac{2}{3}}} \times (-0.43)$
$=(3^3)^{\frac{1}{3}}+\frac{1}{3(3)^{3\times \frac{2}{3}}} \times (-0.43)$
$=3-\frac{0.43}{27}$
=3-0.016
=2.984

(ix) $(3.968)^{\frac{3}{2}}$
Sol :
माना f(x)$=x^{\frac{3}{2}}$

Differentiating w.r.t x

$f'(x)=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$ or $\frac{3}{2}^{\sqrt{x}}$

4, 3.968 के निकटतम है तथा 4 का $\frac{3}{2}$ घात लेने पर 8 प्राप्त होता है ।

∴x=4 ,

x+ẟx=3.968

4+ẟx=3.968

ẟx=-0.032

f(x+ẟx)=f(x)+f '(x)

f(3.968)$x^{\frac{3}{2}}+\frac{3}{2}\sqrt{x} \times (-0.032)$
$=(4)^{\frac{3}{2}}+\frac{3}{2}\sqrt{4} \times (-0.032)$
$=(2^2)^{\frac{3}{2}}+\frac{3}{2}\times 2 \times (-0.032)$
=8-0.096
=7.904

(x) $(0.999)^{\frac{1}{10}}$
Sol :
माना f(x)$=x^{\frac{1}{10}}$

Differentiating w.r.t x

$f'(x)=\frac{1}{10x^{\frac{9}{10}}}$

1 , 0.999 के निकटतम है तथा 1 का घात $\frac{1}{10}$ लेने पर 1 ही प्राप्त होता है ।

x= 1 ,

x+ẟx=0.999

1+ẟx=0.999

ẟx=-0.001

f(0.999)$=x^{\frac{1}{10}}+\frac{1}{10x^{\frac{9}{10}}} \times (-0.001)$

$(0.999)^{\frac{1}{10}}=(1)^{\frac{1}{10}}+\frac{1}{10(1)^{\frac{9}{10}}}\times (-0.001)$

$=1-\frac{0.001}{10}$
=1-0.0001
=0.9999

(xi) $(32.15)^{\frac{1}{5}}$
Sol :
माना f(x)$=x^{\frac{1}{5}}$

Differentiating w.r.t x

$f'(x)=\frac{1}{5x^{\frac{4}{5}}}$

32 , 32.15 के निकटतम है तथा $(32)^{\frac{1}{5}}$ , 2 होता है ।

∴x=32 ,

x+ẟx=32.15
32+ẟx=32.15
ẟx=0.15

f(x+ẟx)=f(x)+f '(x)ẟx
f(32.15)=$x^{\frac{1}{5}}+\frac{1}{5x^{\frac{4}{5}}}.(0.15)$
$(32.15)^{\frac{1}{5}}=(32)^{\frac{1}{5}}+\frac{1}{5\times 32^{\frac{4}{5}}} (0.15)$
$=(2^5)^{\frac{1}{5}}+\frac{1}{5\times (2)^{5 \times \frac{4}{5}}}\times 0.15$
$=2+\frac{0.15}{80}$
=2+0.00187
=2.00187

(xii) $(81.5)^{\frac{1}{4}}$
Sol :
माना f(x)$=x^{\frac{1}{4}}$

Differentiating w.r.t x

$f'(x)=\frac{1}{4x^{\frac{3}{4}}}$

81 , 81.5 के निकटतम है तथा $(81)^{\frac{1}{4}}$ , 3 होता है ।

x=81 ,

x+ẟx=81.5
81+ẟx=81.5
ẟx=0.5

f(x+ẟx)=f(x)+f '(x)ẟx

f(81.5)$=x^{\frac{1}{4}}+\frac{1}{4x^{\frac{3}{4}}} (0.5)$

$(81.5)^{\frac{1}{4}}=(81)^{\frac{1}{4}}+\frac{1}{4 \times (81)^{\frac{3}{4}}} \times 0.5$
$=(3)^{4\times \frac{1}{4}}+\frac{1}{4(3)^{4\times \frac{3}{4}}}\times 0.5$
$=3+\frac{0.5}{108}$
=3+0.0046
=3.0046

Question 2

अवकल का प्रयोग कर निम्नलिखित मे से प्रत्येक का सन्निकट का मान निकाले ।
[Using differentials find the approximate value of each of the following]
(i) $(25)^{\frac{1}{3}}$
Sol :
माना f(x)$=x^{\frac{1}{3}}$

Differentiating w.r.t x

$f'(x)=\frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}}$

27 , 25 के निकटतम है तथा $(27)^{\frac{1}{3}}$=3 होता है ।

x=27 ,

x+ẟx=25
27+ẟx=25
ẟx=-2

f(x+ẟx)=f(x)+f '(x)ẟx

f(25)$=x^{\frac{1}{3}}+\frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}} \times (-2)$

$(25)^{\frac{1}{3}}=(27)^{\frac{1}{3}}-\frac{2}{3(27)^{\frac{2}{3}}}$
$=(3^3)^{\frac{1}{3}}-\frac{2}{3(3)^{3\times \frac{2}{3}}}$
$=3-\frac{2}{27}$
=3-0.074
=2.926

(ii) $(15)^{\frac{1}{4}}$
Sol :
माना f(x)$=x^{\frac{1}{4}}$

Differentiating w.r.t x

$f'(x)=\frac{1}{4x^{\frac{3}{4}}}$

16 , 15 के निकटतम है तथा $(16)^{\frac{1}{4}}=2$ होता है ।
x=16 ,

x+ẟx=15
16+ẟx=15
ẟx=-1

f(x+ẟx)=f(x)+f '(x)ẟx

f(15)$=x^{\frac{1}{4}}+\frac{1}{4x^{\frac{3}{4}}} \times (-1)$
$(15)^{\frac{1}{4}}=(16)^{\frac{1}{4}}+\frac{1}{4(16)^{\frac{3}{4}}} \times (-1)$
$=(2)^{4 \times \frac{1}{4}}+\frac{1}{4(2)^{4\times \frac{3}{4}}} (-1)$
$=2-\frac{1}{32}$
=2-0.03125
=1.96875

(iv) $(33)^{-\frac{1}{5}}$
Sol :
माना f(x)=$x^{-\frac{1}{5}}$

Differentiating w.r.t x

$f'(x)=-\frac{1}{5x^{\frac{6}{5}}}$

32 , 33 के निकटतम है तथा $(32)^{-\frac{1}{5}}=\frac{1}{2}$ के बराबर है।

x=32 ,

x+ẟx=33
32+ẟx=33
ẟx=1

f(x+ẟx)=f(x)+f '(ẟx)
f(33)=$x^{-\frac{1}{5}}+\frac{-1}{5x^{\frac{6}{5}}}\times (1)$

$(33)^{-\frac{1}{5}}=(32)^{-\frac{1}{5}}-\frac{1}{5(32)^{\frac{6}{5}}}$

$=(2^5)^{-\frac{1}{5}}-\frac{1}{5(2)^{5\times \frac{6}{5}}}$

$=\frac{1}{2}-\frac{1}{5\times 64}$

$=0.5-\frac{1}{320}$
=0.5-0.003125
=0.496875

(v) $\left(\frac{17}{81}\right)^{\frac{1}{4}}$
Sol :
माना $f(x)=\frac{1}{3}x^{\frac{1}{4}}$

Differentiating w.r.t x

$f'(x)=\frac{1}{12x^{\frac{3}{4}}}$

16 , 17 के निकटतम है तथा $(16)^{\frac{1}{4}}=2$ होता है ।

x=16 ,

x+ẟx=17
16+ẟx=17
ẟx=1

f(x+ẟx)=f(x)+f '(ẟx)

f(17)$=\frac{1}{3}x^{\frac{1}{4}}+\frac{1}{12x^{\frac{3}{4}}}\times (1)$

$\frac{1}{3}(17)^{\frac{1}{4}}=\frac{1}{3}(16)^{\frac{1}{4}}+\frac{1}{12(16)^{\frac{3}{4}}}$

$=\frac{1}{3}(2)^{4 \times \frac{1}{4}}+\frac{1}{12(2)^{4 \times \frac{3}{4}}}$

$=\frac{2}{3}+\frac{1}{96}$
=0.666+0.0104
0.6764

Question 3

f(3.02) का सन्निकट मान ज्ञात करे जहाँ f(x)=3x²+5x+3
[Find the approximate value of f(3.02) , where f(x)=3x²+5x+3]
Sol :
f(x)=3x²+5x+3

Differentiate w.r.t x

f '(x)=6x+5

Let x=3 ,

x+ẟx=3.02
3+ẟx=3.02
ẟx=0.02

f(x+ẟx)=f(x)+f '(ẟx)

f(3.02)=(3x²+5x+3)+(6x+5)×(0.02)

=(3(3)²+5(3)+3)+(6×3+5)×(0.02)

=27+15+3+23×0.02
=45+0.46
=45.46

Question 4

f(2.01) का सन्निकट मान ज्ञात करे जहाँ f(x)=4x²+5x+2
[Find the approximate value of f(2.01) , where f(x)=4x²+5x+2]
Sol :
f(x)=4x²+5x+2

Differentiate w.r.t x

f '(x)=8x+5

Let x=2 ,

x+ẟx=2.01
2+ẟx=2.01
ẟx=0.01

f(x+ẟx)=f(x)+f '(ẟx)

f(2.01)=4x²+5x+2+(8x+5)×(0.01)

=4(2)²+5(2)+2+(8(2)+5)×(0.01)
=16+10+2+21×0.01
=28+0.21
=28.21

Question 5

एक गोले की त्रिज्या 9m मापी जाती है जिसमे 0.03 m त्रुटि है । इसके पृष्ठ क्षेत्रफल के परिकलन मे सन्निकट त्रुटि ज्ञात कीजिए ।
Sol :
माना गोले की त्रिज्या r है ।

त्रिज्या मे त्रुटि , ẟr=0.03m ,r=9m

गोले का पृष्ठ क्षेत्रफल A=4πr²

Differentiating w.r.t x

$\frac{dA}{dr}=8\pi r$

पृष्ठ क्षेत्रफल मे सन्निकट त्रुटि ẟA$=\frac{dA}{dr} \times \delta r$

=8πr×0.03m²
=8πr×9×0.03m²
=2.16πm²

Question 6

एक गोले की त्रिज्या 9m मापी जाती है जिसमे 0.03 m त्रुटि है । इसके आयतन के परिकलन मे सन्निकट त्रुटि ज्ञात कीजिए ।
Sol :

माना गोले की त्रिज्या r है ।

त्रिज्या मे त्रुटि , ẟr=0.03cm ,r=9cm

गोले का आयतन , $v=\frac{4}{3}\pi r^3$

Differentiating w.r.t x

$\frac{dv}{dr}=4\pi r^2$

आयतन मे सन्निकट त्रुटि , $\delta v=\frac{dv}{dr}\times \delta r$

=4πr²×0.03cm³
=4π×9²×0.03cm³
=9.72πcm³

Question 7

एक गोले की त्रिज्या 7m मापी जाती है जिसमे 0.02 m त्रुटि है । इसके आयतन के परिकलन मे सन्निकट त्रुटि ज्ञात कीजिए ।

Sol :

माना गोले की त्रिज्या r है ।

त्रिज्या मे त्रुटि , ẟr=0.02m ,r=7m

गोले का आयतन , $v=\frac{4}{3}\pi r^3$

Differentiating w.r.t x

$\frac{dv}{dr}=4\pi r^2$

आयतन मे सन्निकट त्रुटि , $\delta v=\frac{dv}{dr}\times \delta r$

=4πr²×0.02m³
=4π×7²×0.02m³
=3.92πm³

Question 8

x मीटर भुजा वाले घन की भुजा मे 2% की वृद्धि के कारण से घन के आयतन मे सन्निकट परिवर्तन ज्ञात कीजिए ।
Sol :
घन की भुजा=x

घन के भुजा मे परिवर्तन , ẟx=x का 2%
$=x\times \frac{2}{100}$
ẟx=0.02x

घन का आयतन, v=x²

Differentiating w.r.t x

$\frac{dv}{dx}=3x^2$

आयतन मे सन्निकर परिवर्तन , $\delta v=\frac{dv}{dx} \times \delta x$
=3x²×0.02x m³
=0.06x³m³

Question 9

x मीटर भुजा वाले घन की भुजा मे 1% की वृद्धि के कारण से घन के पृष्ट क्षेत्रफल मे होने वाले सन्निकट परिवर्तन ज्ञात कीजिए ।
Sol :

घन का भुजा=x

घन की भुजा मे त्रुटि , ẟx=x का 1%

$=x \times \frac{1}{100}$m

ẟx=0.01 x m

घन का पृष्ठ क्षेत्रफल, A=6x²

Differentiating w.r.t x

$\frac{dA}{dx}=12x$

पृष्ठ क्षेत्रफल मे सन्निकट त्रुटि, $\delta A=\frac{dA}{dx} \delta x$
=12x× 0.01x m²

=0.12x² m²

Question 10

एक शंकु की ऊँचाई मे वृद्धि 2% है तथा इसका अर्ध शीर्ष कोण अपरिवर्तित है । इसके
(i) कुल पृष्ट क्षेत्रफल
(ii) आयतन मे
सन्निकट प्रतिशत बढ़ोतरी वृद्धि क्या है ?
Sol :
(i)
माना शंकु की ऊँचाई x है । शंकु का अर्ध शीर्ष कोण θ है ।

Diagram to be added

$\tan \theta =\frac{AB}{OA}$

$\tan \theta =\frac{AB}{x}$

$\cos \theta =\frac{OA}{OB}$

$\cos \theta =\frac{x}{OB}$

$OB=\frac{x}{\cos \theta}$

OB=xsecθ

ऊँचाई मे वृद्धि , ẟx=x का 2%$=x \times \frac{2}{100}$=0.02%

शंकु कुल पृष्ट क्षेत्रफल , A=π.xtanθ.xsecθ+π.(xtanθ)²
A=π.x²tanθ.xsecθ+πx².tan²θ
A=(tanθsecθ+tan²θ)πx²

Differentiating w.r.t x

$\frac{dA}{dx}=(\tan \theta \sec \theta + \tan ^2 \theta)\times 2 \pi x$

पृष्टीय क्षेत्रफल मे वृद्धि , $\delta A=\frac{dA}{dx} \times \delta x$

=(tanθsecθ+tan²θ)2πx×0.02x

=(tanθsecθ+tan²θ)0.04πx²

पृष्टीय क्षेत्रफल मे सन्निकट वृद्धि प्रतिशत$=\frac{\delta A}{A}\times 100$

$=\frac{(\tan \theta \sec \theta+\tan ^2 \theta)\times 0.04 \pi x^2}{(\tan \theta \sec \theta +\tan^2 \theta).\pi x^2}\times 100$

=4%

(ii)
माना शंकु की ऊँचाई x है । शंकु का अर्ध शीर्ष कोण θ है ।

Diagram to be added

$\tan \theta =\frac{AB}{OA}$

$\tan \theta =\frac{AB}{x}$

$\cos \theta =\frac{OA}{OB}$

$\cos \theta =\frac{x}{OB}$

$OB=\frac{x}{\cos \theta}$

OB=xsecθ

ऊँचाई मे वृद्धि , ẟx=x का 2%$=x \times \frac{2}{100}$=0.02%

शंकु का आयतन , $v=\frac{1}{3} \pi (x\tan \theta )^2.x$
$=\frac{1}{3} \pi x^3 \tan^2 \theta$

Differentiating w.r.t x

$\frac{dv}{dx}=\pi x^2. \tan ^2 \theta$

आयतन मे वृद्धि , $\delta v=\frac{dv}{dx}\times \delta x$
=πx²tan²θ×0.02x

=(tanθsecθ+tan²θ)0.04πx²
=0.02πx³tan²θ

आयतन का सन्निकट प्रतिशत वृद्धि $=\frac{\delta v}{v} \times 100$

$=\dfrac{0.02 \pi x^3 \tan^2 \theta}{ \frac{1}{3} \pi x^3 \tan ^2 \theta} \times 100$

=0.06×100%
=6%