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Question 1
उस बिन्दु का नियामक निकाले (2,4) तथा (6,8) को मिलाने वाली रेखाखण्ड को 1 : 3 के अनुपात मे अतः विभाजित तथा बहिंविभाजित करता है।
[Find the coordinates of the point which divides the line segment joining (2,4) and (6,8) in the ratio 1 : 3 internally and externally]
Sol :
(i) अंतः विभाजनः
माना कि बिन्दुओ P(2,4) तथा Q(6,8) को मिलाने वाली रेखा PQ को , बिन्दु R(x,y) 1 : 3 मे अंतः विभाजीत करता है।
विभाजन सूत्रः $\left(\frac{m x_{2}+n x_{1}}{m+n}, \frac{m y_{2}+n y_{1}}{m+n}\right)$
R(x,y)$=\left(\frac{1 \times 6+3 \times 2}{1+3}, \frac{1 \times 8+3 \times 4}{1+3}\right)$
$=\left(\frac{6+6}{4}, \frac{8+12}{4}\right)=\left(\frac{12}{4}, \frac{20}{4}\right)$
=(3,5)
(ii) बहिंविभाजन
R का निर्देशांक$=\left(\frac{m x_{2}-n x_{1}}{m-n}, \frac{m y_{2}-ny_{1}}{m-n}\right)$
$=\left(\frac{1 \times 6-3 \times 2}{1-3}, \frac{1 \times 8-3 \times 4}{1-3}\right)$
$=\left(\frac{6-6}{-2}, \frac{8-12}{-2}\right)$
$=\left(\frac{0}{-2}, \frac{-4}{-2}\right)$
=(0,2)
Question 2
उन बिन्दुओ के निर्देशांक निकाले जो (2,3) तथा (6,5) को मिलाने वाली रेखा खण्ड को समत्रिभाजित करते है।
[Find the coordinates of the points which trisect the line segment joining the points (2,3) and (6,5)]
Sol :
माना बिन्दुओ P(2,3) तथा Q(6,-5) को मिलाने वाली रेखा PQ को बिन्दु R(x,y) तथा S(x,y) समत्रिभाजीत करती है।
विभाजन सूत्रः $\left(\frac{n x_{2}+n x_{1}}{m+n}, \frac{m y_{2}+n y_{1}}{m+n}\right)$
R(x,y)$=\left(\frac{1 \times 6+2 \times 2}{1+2}, \frac{1 \times 5+2 \times 3}{1+2}\right)$
$=\left(\frac{6+4}{3}, \frac{5+6}{3}\right)=\left(\frac{10}{3}, \frac{11}{3}\right)$
<Diagram to be added>
5(x,y)$=\left(\frac{2 \times 6+1 \times 2}{2+1}, \frac{2 \times 5+1 \times 3}{2+1}\right)$
$=\left(\frac{12+2}{3}, \frac{10+3}{3}\right)=\left(\frac{14}{3}, \frac{13}{3}\right)$
Question 3
A(1,4) तथा B(4,8) दो बिन्दु है। P रेखा AB पर एक बिन्दु है ताकि AP=AB+BP. यदि AP=10 तो P के निर्देशांक निकाले ।
[A(1,4) and B(4,8) are two points . P is a point on AB such that AP=AB+BP. If AP=10, find the coordinates of P]
Sol :
माना P बिन्दु का निर्देशांक (x,y) है।
AB$=\sqrt{(4-1)^{2}+(8-4)^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}$
=√9+16
=√25=5
BP=AP-AB=10-5=5
$\frac{A P}{B P}=\frac{10}{5}$
=2 : 1 = m : n
विभाजन सूत्र द्वारा
P(x,y)$=\left(\frac{2 \times 4-1 \times 1}{2-1}, \frac{2 \times 8-1 \times 4}{2-1}\right)$
$=\left(\frac{8-1}{1}, \frac{16-4}{1}\right)$
=(7,12)
Question 4
उस त्रिभुज के मध्यिकाओ की लम्बाई निकाले जिसके शीर्ष (-1,3),(1,-1) तथा (5,1) है।
[Find the length of the medians of the triangle whose vertices are (-1,3),(1,-1), and (5,1)]
Sol :
माना ΔABC के शीर्ष के निर्देशांक क्रमशः (-1,3),(1,-1), तथा (5,1) है जिसकी माध्यिकाएँ AD, BE तथा CF है।
∵AD, ΔABC की माध्यिका है तो D, BC का मध्य बिन्दु है।
D का निर्देशांक $=\left(\frac{1+5}{2}, \frac{-1+1}{2}\right)$
$=\left(\frac{6}{2}, \frac{0}{2}\right)$
=(3,0)
AD$=\sqrt{(-1-3)^{2}+(3-0)^{2}}$
$=\sqrt{(-4)^{2}+3^{2}}$
=√16+9
=√25=5 इकाई
Question 5
If A(1,5), B(-2,1) and C(4,1) be the vertices of ΔABC and internal bisector of ∠A meets BC at D , find AD
Sol :
AB$=\sqrt{(-2-1)^{2}+(1-5)^{2}}$
AC$=\sqrt{(4-1)^{2}+(1-5)^{2}}$
=5
∵AD, CA का अर्द्धक है।
$\frac{A B}{A C}=\frac{B D}{D C}$ (Angle bisector theorem)
$\frac{5}{5}=\frac{B D}{D C}$
BD=DC
D, BC का म्ध्य बिन्दु है।
D का निर्देशांक$=\left(-\frac{2+4}{2}, \frac{1+1}{2}\right)$
$=\left(\frac{2}{2}, \frac{2}{2}\right)=(1,1)$
AD$=\sqrt{(1-1)^{2}+(5-1)^{2}}$
$=\sqrt{0^{2}+4^{2}}$
=√16=4 इकाई
Question 6
If the middle point of the line segment joining (3,4) and (k, 7) is (x, y) and 2x+2y+1=0, find the value of k
Sol :
माना बिन्दुओ P(3,4) तथा Q(k,7) को मिलाने वाली रेखा PQ के मध्य बिन्दु R(x,y) है।
(x,y) $=\left(\frac{3+k}{2}, \frac{4+7}{2}\right)=\left(\frac{3+k}{2}, \frac{11}{2}\right)$
∵2x+2y+1=0
$2\left(\frac{3+k}{2}\right)+2\left(\frac{11}{2}\right)+1=0$
3+k+11+1=0
k+15=0
k=-15
Question 7
किसी वृत्त के किसी व्यास के एक छोर के नियामक (2,3) हैं तथा केद्र (-2.5) है, तो व्यास के दूसरे छोर के निर्देशांक निकालें।
[One end of a diameter of a circle is at (2,3) and the centre is (-2,5), find the coordiantes of the other end of the diameter.
Sol :
माना व्यास AB वाले वृत्ज का केन्द्र O है।
O, AB का म्धय बिन्दु होगा ।
माना B का निर्देशांक =(x,y)
माना A का निर्देशांक =(2,3)
माना O का निर्देशांक =(-2,5)
$\left(\frac{2+x}{2}, \frac{3+y}{2}\right)=(-2,5)$
$\begin{array}{l|l} \frac{2+x}{2} =-2 & \frac{3+y}{2} =5 \\ 2+x=-4 & 3+y=10\\ x=-4-2 \\ x=-6&y =10-3=7 \end{array}$
∴B का नियामक=(-6,7)
Question 8
यदि बिन्दु C(-1,2) बिन्दुओ A(2,5) तथा B को मिलाने वाली रेखा खण्ड को 3: 4 के अनुपात में अन्तर्विभाजित करता है तो B का निर्देशांक ज्ञात करें।
[If the point C(-1,2) divides internally the line segment joining A(2,5) and B in the ratio 3: 4. Find the coordinates of B.]
Sol :
माना बिन्दु B का निर्देशांक=(x,y)
$\left(\frac{3 \times x+4 \times 2}{3+4}, \frac{3 \times y+4 \times 5}{3+4}\right)=(-1,2)$
$\left(\frac{3 x+8}{7}, \frac{3 y+20}{7}\right)=(-1,2)$
$\begin{array}{l|l} \frac{3 x+8}{7} =-1 & \frac{3 y+20}{7}=2\\ 3 x+8 =-7 & 3y+20=14\\ 3 x =-7-8 & 3y=14-20 \\ 3 x =-15 & 3y=-6\\ x =\frac{-15}{3}=-5 & y=\frac{-6}{3}=-2 \end{array}$
∴बिन्दु B का निर्देशांक=(-5,-2)
Question 9
(-8,3) बिन्दु A(2,-2) तथा B(-4,1) को मिलाने वाली रेखा खण्ड को किस अनुपात मे बांँटता है।
[Find the ratio in which (-8,3) divides the join of points (2,-2) and (-4,1)]
Sol :
माना बिन्दु C(-8,3) बिन्दुओ A(2,-2) तथा B(-4,1) को मिलाने वाली रेखा को k : 1 मे बांटता है।
$\left(\frac{k \times(-4)+1 \times 2}{k+1}, \frac{k+1+1 \times(-2)}{k+1}\right)=(-8,3)$
$\left(\frac{-4 k+2}{k+1}, \frac{k-2}{k-2}\right)=(-8,3)$
$\frac{-4 k+2}{k+1}=-8$
-4k+2=-8k-8
-4k+8k=-8-2
4k=-10
$k=\frac{-10}{4}=\frac{-5}{2}$
बिन्दु C, AB को 5 : 2 मे बाह्य रूप से विभाजित करती है।
Question 11
उस त्रिभुज का केन्द्र तथा अन्तः केन्द्र जिसके शीर्ष (2,4),(6,4) तथा (2,0) है।
[Find the centroid and in centre of the triangle whose vertices are (2,4),(6,4),(2,0)
Sol :
त्रिभुज का केन्द्रंक$=\left\{\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3} , \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$
माना ΔAOC का क्रेन्द्रक G है।
G का निर्देशांक $=\left\{\frac{2+6+2}{3}, \frac{4+4+0}{3}\right)$
$=\left(\frac{10}{3}, \frac{8}{3}\right)$
माना ΔABC का अंतः केनद्र E है।
a=BC$=\sqrt{(6-2)^{2}+(4-0)^{2}}$
$=\sqrt{4^{2}+4^{2}}$
=√16+16=√32=4√2
b=AC$=\sqrt{(2-2)^{2}+(4-0)^{2}}$
c=AB$=\sqrt{(6-2)^{2}+(4-4)^{2}}=\sqrt{4^{2}+0^{2}}$=4
E का निर्देशांक $=\left(\frac{a x_{1}+b x_{2}+cx_{3}}{a+b+c}, \frac{a y_{1}+b{y}_2+c y_{3}}{a+b+c}\right)$
$=\left[\frac{4 \sqrt{2 }\times 2+4 \times 6+4 \times 2}{4 \sqrt{2}+4+4}, \frac{4 \sqrt{2 }\times 4+4 \times 4\times 0}{4 \sqrt{2}+4+4}\right)$
$=\left(\frac{32+8 \sqrt{2}}{8+4 \sqrt{2}}, \frac{16+16 \sqrt{2}}{8+4 \sqrt{2}}\right)$
$=\left(\frac{8(4+\sqrt{2})}{4(2+\sqrt{2})}, \frac{16(1+\sqrt{2})}{4 (\sqrt{2}+\sqrt{2})}\right)$
$=\left(\frac{2(4+\sqrt{2})}{2+\sqrt{2}} \times \frac{2-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}, \frac{4(1+\sqrt{2})}{2+\sqrt{2}} \times \frac{2-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}\right)$
$=\left(\frac{2(8-4 \sqrt{2}+2 \sqrt{2}-2)}{(2)^{2}-(\sqrt{2})^{2}}, \frac{4\left(2-\sqrt{2}+2\sqrt{2}-2\right)}{(2)^{2}-(\sqrt{2})^{2}}\right)$
$=\left(\frac{2(6-2 \sqrt{2})}{4-2}, \frac{4(\sqrt{2})}{4-2}\right)$
$=\left(\frac{2(6-2 \sqrt{2})}{2}, \frac{4+\sqrt{2}}{2}\right)$
$=(6-2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2})$
Question 12
किसी त्रिभुज के शीर्ष (2,2),(0,6) और (8,10) हैं। प्रत्येक माध्यका का त्रिभाग बिन्दु जो सम्मुख भुजा के नजदीक है, का निर्देशांक ज्ञात करे ।
[The vertices of a triangle are (2,2),(0,6) and (8,10). Find the coordinates of the trisection point of each median which is nearer the opposite side.|
Sol :
Question 13
किसी त्रिभुज के दो शीर्ष (1,4) तथा (5,2) हैं। यदि इसका केन्द्रक (0,-3) है तो इसका तीसरा शीर्ष निकालें ।
[Two vertices of a triangle are (1,4) and (5,2). If its centroid is (0,-3), find the third vertex.]
Sol :
माना ΔABC का केन्द्रक G(0,-3) है।
इसके शीर्ष क्रमश A(1,4), B(5,2) , C(x,y) है।
$\left(\frac{1+5+x}{3}, \frac{4+2+y}{3}\right)=(0,-3)$
$\left(\frac{6+x}{3}, \frac{6+y}{3}\right)=(0,-3)$
$\begin{array}{l|l}\frac{6+x}{2}=0 & \frac{6+y}{3}=-3\\ 6+x=0 & 6+y=-9\\ x=-6 & y=-9-6=-15\end{array}$
∴बिन्दु C का निर्देशांक=(-6,-15)
Question 16
किसी प्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिन्दु $\left(\frac{1}{2}, 0\right) ,\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ तथा $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ हैं। इसके अन्त: केन्द्र को नियामक निकालें।
[The mid-points of the sides of a triangle are $\left(\frac{1}{2}, 0\right),\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ and $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ \}
Sol :
माना ΔABC की भुजाओ के म्ध्य बिन्दु P, Q तथा A(x,y) R है।
ΔABC के शीर्षो के नियामक $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right), c\left(x_{3}, y_{3}\right)$ है।
∵P, AB का मध्य बिन्दु है।
$\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}, 0\right)$
$\begin{array}{l|l}\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{1}{2} & \frac{y_{1}+y_{2}}{2}=0 \\ x_1+x_2=1..(i) & y_1+y_2=0..(ii)\end{array}$
Q, BC का मद्धय बिन्दु है।
$\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$
$\frac{x_{2}+x_{3}}{2}=\frac{1}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}=\frac{1}{2}$
$x_{2}+x_{3}=1..(iii) , y_{2}+y_{3}=1...(iv)$
∵R, AC का मद्धय बिन्दु है।
$\left(\frac{x_{1}+x_{3}}{2}, \frac{y_{1}+y_{3}}{2}\right)=\left(0, \frac{1}{2}\right)$
$\frac{x_{1}+x_{3}}{2}=0, \frac{y_{1}+y_{3}}{2}=\frac{1}{2}$
$x_{1}+x_{3}=0...(v), y_{1}+y_{3}=1...(vi)$
समीकरण (i) तथा (iii) को जोड़कर , समीकरण (v) घटाने पर,
x1+x2+x2+x3-x1-x3=1+1=0
2x2=2
x2=1 , x1=0 , x3=0
समीकरण (ii) तथा (iv) को जोड़कर , समीकरण (vi) घटाने पर,
y1+y2+y2+y3-y1-y3=0+1-1
2y2=0
y2=0 , y1=0 , y3=1
Question 17
किसी त्रिभुज के दो शीष A(2,1) तथा B(3,-2) हैं तथा तीसरे शीर्ष का नियामक समीकरण y=x+9 को संतुष्ट करता है । यदि ΔABC का केन्द्रक y-अक्ष पर हो तो C के निर्देशांक तथा केन्द्रक निकालें।
[Two vertices of a triangle are A(2,1) and B(3,-2). The third vertex C lies on the line y=x+9. If the centroid of ΔABC lies on y-axis, find the coordinates of C and the centroid.] :
Sol :
माना ΔABC के शीर्षो के निर्देशांक क्रमशः A(2,1) , B(3,-2) तथा C(x,y) है।
ΔABC का केन्द्रक G(0,y) है।
$\left(\frac{2+3+x}{3}, \frac{1-2+y}{3}\right)=(0, y)$
$\left(\frac{5+x}{3}, \frac{-1+y}{3}\right)=(0, y)$
$\begin{array}{l|l} \frac{5+x}{3}=0 & \frac{-1+y}{3} =y \\ 5+x =0 & \frac{-1+4}{3}=y\\x=-5 & y=\frac{3}{3}=1 \end{array}$
x का मान दीए गए समीकरण मे रखने पर,
y=x+9
y=-5+9=4
∴C का निर्देशांक=(-5,4) , केन्द्रकः (0,1)
Question 18
साबित करे कि बिन्दु (-2,-1),(1,0),(4,3) तथा (1,2) एक समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष है।
[Prove that the points (-2,-1),(1,0),(4,3) and (1,2) are the vertices of a parallelogram.]
Sol :
माना A(-2,-1), B(1,0) , C(4,3) तथा D(1,2) चार बिन्दु है।
$A B=\sqrt{(-2-1)^{2}+(-1-0)^{2}}$
=√10
$B C=\sqrt{(4-1)^{2}+(3-b)^{2}}$
=√18=3√2
$C D=\sqrt{(1-4)^{2}+(2-3)^{2}}$
=√10
$A D=\sqrt{(1+2)^{2}+(2+1)^{2}}$
=√18=3√2
$A C=\sqrt{(4+2)^{2}+(3+1)^{2}}$
=√52=2√13
$B D=\sqrt{(1-1)^{2}+(2-0)^{2}}$
=√4=2
AB=CD, BC=AD, AC≠BD
∴ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
Question 22
यदि (6,8),(3,7) तथा (-2,-2) समांतर चतुर्भुंज के तीन क्रमागत शीर्ष हो, तो चतुर्थ शीर्ष का निर्दशांक ज्ञात करें।
[If (6.8) .(3,7) and (-2,-2) be the coordinates of the three consecutive vertices of a parallelogram, find the coordinates of the fourth vertex.
Sol :
माना ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
जिसके शीर्ष क्रमशः A(6,8), B(3,7) , C(-2,-2) तथा D(x,y) है।
हम जानते है कि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजीत करते है।
अतः O, AC तथा BD मद्धय बिन्दु है ।
$\left(\frac{x+3}{2}, \frac{y+7}{2}\right)=\left(\frac{6-2}{2}, \frac{8-2}{2}\right)$
$\left(\frac{x+3}{2}, \frac{y+7}{2}\right)=\left(\frac{4}{2} , \frac{6}{2}\right)$
$\begin{array}{l|l}\frac{x+3}{2}=2 & \frac{y+7}{2}=3 \\ x+3=4 & y+7=6 \\x=4-3 & y=6-7\\x=1 & y=-1\end{array}$
D का निर्देशांक =(1,-1)
Question 25
साबित करें कि किसी त्रिभुज की दों भुजाओं के मध्य बिनुओं को मिलानेवाली रेखा खण्ड तीसरी भुजा की आधी होती है।
[Prove that the line segment joining the middle points of two sides of a triangle is half the third side.]
Sol :
माना ABC एक त्रिभुज है, जिसके शीर्षो के निर्देशांक $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ तथा $c\left(x_{3}, y_{3}\right)$ है।
D तथा E क्रमशः A, B तथा C का मद्धय है।
तो साबित करना है।
$D E=\frac{1}{2} B C$
हल
D, AB का मद्धय बिन्दु है।
D का निर्देशांक $=\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)$
E, AC का मद्धय बिन्दु है।
E का निर्देशांक $=\left(\frac{x_{1}+x_{3}}{2}, \frac{y_{1}+y_{3}}{2}\right)$
$BC=\sqrt{\left(x_{3}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{3}-y_{2}\right)^{2}}$
$D E=\sqrt{\left(\frac{x_{1}+x_{3}}{2}-\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{y_{1}+y_{3}}{2}-\frac{y_{1}+y_{1}}{2}\right)^2}$
$=\sqrt{\left(\frac{x_{1}+x_{3}-x_{1}-x_{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{y_1+y_{3}-y_1-y_{2}}{2}\right)^{2}}$
$=\sqrt{\frac{\left(x_{3}-x_{2}\right)^{2}}{4}+\frac{\left(y_{3}-y_{2}\right)^{2}}{4}}$
$=\sqrt{\frac{\left(x_{3}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{3}-y_{2}\right)^{2}}{4}}$
$=\frac{1}{2} \sqrt{\left(x_{3}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{3}-y_{2}\right)^{2}}$
$\therefore D E=\frac{1}{2} B C$
Question 26
यदि P, Q, R त्रिभुज ABC की भुजा BC, CA तथा AB को समान अनुपात मे काटे तो साबित करे कि ΔABC तथा ΔPQR के केन्द्रक संपाती है।
[If P,Q,R divide the sides BC, CA and AB of ΔABC in the same ratio prove that the centroid of the triangle ABC and PQR coincide]
Sol :
माना ΔABC के शीर्षो के निर्देशांक क्रमशः $A\left(x_1, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ तथा $C\left(x_{3}, y_{3}\right)$ है।
P, Q, R , ΔABC की भुजा BC, CA k : 1 तथा AB को क्रमशः k : 1 मे काटती है।
ΔABC का केन्द्रक$=\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+ y_{2}+y_{3}}{3}\right)$
P का निर्देशांक$=\left(\frac{k x_{3}+x_{2}}{k+1}, \frac{k y_{3}+y_{2}}{k+1}\right)$
Q का निर्देशांक$=\left(\frac{k x_{1}+x_{3}}{k+1}, \frac{k y_{1}+y_{3}}{k+1}\right)$
R का निर्देशांक$=\left(\frac{k x_{2}+x_{1}}{k+1}, \frac{k y_{2}+y_{1}}{k+1}\right)$
ΔPQR का केन्द्रकः
$=\left(\dfrac{\frac{k x_{3}+x_{2}}{k+1}+\frac{k x_{1}+x_{3}}{k+1}+\frac{k x_{2}+x_{1}}{k+1}}{3},\dfrac{\frac{ky_3+y_2}{k+1}+\frac{ky_1+y_3}{k+1}+\frac{ky_2+y_1}{k+1}}{3}\right)$
$=\left(\frac{k x_{1}+k x_{2}+k x_{3}+x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3(k+1)}, \frac{k y_{1}+k y_{2}+ky_{3}+y_{3}+y_{1}+y_{2}}{3(k+1)}\right)$
$=\left(\frac{k\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)+1\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)}{3(k+1)},\frac{k(y_1+y_2+y_3)+1(y_1+y_2+y_3))}{3(k+1)}\right)$
$=\left(\frac{\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)(k+1)}{3(k+1)}, \frac{\left(y_{1}+y_{2}+y_{3}\right)(k+1)}{3(k+1)}\right)$
$=\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$
अतः ΔABC तथा ΔPQR का केन्द्रक संपाती है।
Question 27
यदि G, ΔABC का केन्द्रक है तो साबित करे कि (If G be the centroid of ΔABC prove that)
$\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{CA}^{2}=3\left(\mathrm{G} \mathrm{A}^{2}+\mathrm{GB}^{2}+\mathrm{GC}^{2}\right)$
Sol :
माना ΔABC के शीर्ष क्रमशः $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$,तथा $C\left(x_{3}, y_{3}\right)$
G का निर्देशांक $=\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3} , \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$
LHS
$A B^{2}+B C^{2}+C A^{2}$
$=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{3}\right)^{2}+\left(x_{3}-x_{1}\right)^{2}+(y_3-y_1)^2$
$={x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}-2 x_{1} x_{2}+{y_{1}}^{2}+{y_{2}}^{2}-2 y_{1} y_{2}+{x_{2}}^{2}+{x_{3}}^{2}-2 x_{2} x_{3}+{y_{2}}^{2}+{y_3}^2+{y_1}^2-2y_3y_1$
RHS
$3\left(G A^{2}+GB^{2}+GC^{2}\right)$
$=3\left[\left(x_{1}-\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}\right)^{2}+\left(y_{1}-\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)^{2}+\right. \left(x_{2}-\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}\right)^{2}+\left(y_{2}-\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)^{2}\left.+\left(x_{3}-\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}\right)^{2}+\left(y_{3}-\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)^{2}\right]$
$=3\left[\left(\frac{2 x_{1}-x_{2}-x_{3}}{3}\right)^{2}+\left(\frac{2 y_{1}-y_{2}-y_{3}}{3}\right)^{2}+\left(\frac{-x_{1}+2 x_{2}-x_{3}}{3}\right)^{2}\right. \left(\frac{-y_{1}+2 y_{2}-y_{3}}{3}\right)^{2}+\left(\frac{-x_{1}-x_{2}+2 x_{3}}{3}\right)^{2}+\left(\frac{-y_{1}-y_{2}+2 y_{3}}{3}\right)^{2}$
$=\frac{3}{9}\left[4 {x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+{x_{3}}^{2}-4 x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}-4 x_{3} x_{1}+{4 y_{1}}^{2}\right.$ $+{y_{2}}^{2}+{y_{3}}^{2}-4 y_{1} y_{2}+2 y_{2} y_{3}-4 y_{3} y_{1}+{x_{1}}^{2}+{4 x_{2}}^{2}$ $+{x_{3}}^{2}-4 x_{1} x_{2}-4 x_{2} x_{3}+2 x_{3} x_{1}+{y_{1}}^{2}+{4 y_{2}}^{2}+{y_{3}}^{2}$ $-4 y_{1} y_{2}-4 y_{2} y_{3}+2 y_{3} y_{3}+{x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+{4 x_{3}}^{2}$ $+2 x_{1} x_{2}-4 x_{2} x_{3}-4 x_{3} x_{1}+{y_{1}}^{2}+{y_{2}}^{2}+{4 y_{3}}^{2}+2 y_{2} y_{2}$ $\left.-4 y_{2} y_{3}-4 y_{3} y_{1}\right]$
$=\frac{1}{3}\left[{6 x_{1}}^{2}+{6 x_{2}}^{2}+{6x_{3}}^{2}+{6 y_{1}}^{2}+{6 y_{2}}^{2}+{6 y_{3}}^{2}-6 x_{1} x_{2}\right.$ $\left.-6 x_{2} x_{3}-6 x_{3} x_{1}-6y_{1} y_{2}-6 y_{2} y_{3}-6 y_{3} y_{1}\right]$ $\left.-2 x_{2} x_{3}-2 x_{3} x_{1}-2 y_{1} y_{2}-2 y_{2} y_{3}-2 y_{3} y_{1}\right]$
LHS=RHS
Question 28
साबित करें कि किसी समकोण त्रिभुज के कर्ण का मध्य बिन्दु इसके शीषों से समान दूरी पर होते है ।
[Show that the middle point of the hypotenuse of a right angled triangle is equidistant from its vertices]
Sol :
माना ΔAOB एक समकोण त्रिभुज है।
जिसका शीर्ष O समकोण है।
O मूल बिन्दु है।
OA=a, OB=b
माना C, कर्ण AB का मद्धय बिन्दु होगा तो सिद्ध करना है।
OC=BC=AC
हल
C, AB का मद्धय बिन्दु है।
C का निर्देशांक $=\left(\frac{a+0}{2}, \frac{0+b}{2}\right)=\left(\frac{a}{2} , \frac{b}{2}\right)$
$O C=\sqrt{\left(\frac{a}{2}-0\right)^{2}+\left(\frac{b}{2}-0\right)^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{2}}{4}}$
$B C=\sqrt{\left(\frac{a}{2}-0\right)^{2}+\left(\frac{b}{2}-b\right)^{2}}$
$=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{2}}{4}}$
$A C=\sqrt{\left(a-\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(0-\frac{b}{2}\right)^{2}}$
$=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{2}}{4}}$
OC=BC=AC
∴C, ΔAOB के शीर्षो से समान दूरी पर है।