[mathjax]
Question 1
त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालें जिसके शीर्ष (3,-4),(7,5),(-1,10) हैं।
[Find the area of the triangle whose vertices are]
(3,-4),(7,5),(-1,10)
Sol :
त्रिभुज का क्षेत्रफल
$=\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right]$
$=\frac{1}{2}[3(5-10)+7(10+4)+(-1)(-4-5)]$
$=\frac{1}{2}[3(-5)+7(14)-1(-9)]$
$=\frac{1}{2}[-15+98+9]$
$=\frac{1}{2} \times 92$
=46 वर्ग इकाई
Question 2
चतुभुंज का क्षेप्रफल निकालें जिसके शीर्ष है।
[Find the area of the quadrilateral whose vertices are]
(i) (1,1),(7,-3),(12,2) और (and) (7,21)
(ii) (-4,5),(0,7),(5,-5) और (and) (-4,-2)
Sol :
Question 3
ΔABC के शीर्म (3,0), B(0,6) तथा C(6,9) एक सरल रेखा DE, AB तथा AC को 1: 2 के अनुपात में क्रमश तथा E पर काटते है, तो साबित करें कि
[The vertices of a ΔABC are (3,0), B(0,6) and C(6,9). A straight line DE divides AB and AC in the ratio 1: 2 at D and E respectively, prove that ]
Sol :
$\frac{ar(\Delta \mathrm{ABC})}{ar(\Delta \mathrm{ADE})}=9$
$\left(\frac{m x_{1}+n x_{1}}{m+n}, \frac{m y_{2}+n y_{1}}{m+n}\right)$
D का निर्देशांक $=\left(\frac{1 \times 0+2 \times 3}{1+2}, \frac{1 \times 6+2 \times 0}{1+2}\right)$
$=\left(\frac{6}{3}, \frac{4}{3}\right)=(2,2)$
E का निर्देशांक $=\left(\frac{1 \times 6+2 \times 3}{1+2}, \frac{1 \times 9+2 \times 0}{1+2}\right)$
$=\left(\frac{12}{3}, \frac{9}{3}\right)=(4,3)$
ΔABC का क्षेत्रफल
$=\frac{1}{2}[3(6-9)+0(9-0)+6(0-6)]$
$=\frac{1}{2}[3(-3)+0 \quad-36]$
$=\frac{1}{2}[-9-36]=\frac{-45}{2}=\frac{45}{2}$ वर्ग इकाई
ΔABC का क्षेत्रफल
$=\frac{1}{2}[3(2-3)+2(3-0)+4(0-2)]$
$= \frac{1}{2}[3(-1)+2(3)+4(-2)]$
$=\frac{1}{2}[-3+6-8]$
$=\frac{1}{2} \times(-5)=\frac{-5}{2}=\frac{5}{2}$ वर्ग इकाई
$\frac{\operatorname{ar}(\Delta A B C)}{\operatorname{ar}(\Delta A D E)}=\frac{\frac{45}{2}}{\frac{5}{2}}$
=9
Question 4
यदि किसी त्रिभुज के शीर्ष (t, t-2),(t+3, t) तथा (t+2, t+2) हैं तो सिद्ध करे कि इसका क्षेत्रफल t से स्वतन्त्र है।
[If (t, t-2),(t+3, t) and (t+2, t+2) are the vertices of a triangle, show that its area is independent of t.]
Sol :
त्रिभुज का क्षेत्रफल
$=\frac{1}{2}\left[t(t-t-2)+(t+3)(t+2-t+2)+(t+2)(t-2-t)\right]$
$=\frac{1}{2}[-2 t+4 t+12-2 t-4]$
$=\frac{1}{2}[8]$ =4 वर्ग इकाई
अंतः त्रिभुज का क्षेत्रफल t से स्वतंत्र है।
Question 5
यद A(x, y), B(1,2) तथा C(2,1) किसी त्रिभुज के शीर्ष हैं जिसका क्षेत्रफल 6 वर्ग इकाई है। साबित करें कि x+y=15 या - 9
[If A(x, y), B(1,2) and C(2,1) are the vertices of a triangle of area 6 square unit, show that x+y=15 or -9]
Sol :
ΔABC का क्षेत्रफल=6 वर्ग इकाई
$\frac{1}{2}[x(2-1)+1(1-y)+2(y-2)]=\pm 6$
x+1-y+2y--4=±12
x+y-3=±12
x+y=3±12
x+y=15 या -9
Question 6
साबित करे कि बिन्दु (a,b+c),(b,c+a) तथा (c,a+b) संरेख है।
[Prove that the points (a, b+c),(b, c+a) and (c, a+b) are collincar. ]
Sol :
माना A(a, b+c), B(b, c+a) and C(c, a+b) तीन बिन्दुऐ है।
ΔABC का क्षेत्रफल
$=\frac{1}{2}\left[a(c+a-a-b)+b(a+b-b-c)+c(b+c-c-a)\right]$
$=\frac{1}{2}[a(c-b)+b(a-c)+c(b-a)]$
$=\frac{1}{2}[a c-a b+a b-b c+b c-a c]$
$=\frac{1}{2} \times 0=0$
अतः (a,b+c), (b,c+a), (c,a+b) संरेखी है।
Question 7
यदि बिन्दु $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)$ तथा $\left(x_{3}, y_{3}\right)$ संरेख है तो साबित करें कि
[If the points $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)$ and $\left(x_{3}, y_{3}\right)$ be collinear, show that ]
$\frac{y_{2}-y_{3}}{x_{2} x_{3}}+\frac{y_{3}-y_{1}}{x_{3} x_{1}}+\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1} x_{2}}=0$
Sol :
बिन्दु $\left(x_{1}, y_{2}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)$ तथा $\left(x_{3}, y_{3}\right)$ संरेख है।
$\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right]=0$
$x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)=0$
$x_{1} x_{2} x_{3}$ से भाग देने पर
$\frac{x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)}{x_{1} x_{2} x_{3}}+\frac{x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)}{x_{1} x_{2} x_{3}}+\frac{x_3\left(y_{1}-y_{2}\right)}{x_{1} x_{2} x_{3}}=0$
$\frac{y_{2}-y_{3}}{x_{2} x_{3}}+\frac{y_{3}-y_{1}}{x_{1} x_{3}}+\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1} x_{2}}=0$
Question 8
यदि तीन बिन्दु (h, 0),(a, b) और (0, k) एक रेखा पर हैं तो दिखाइए कि $\frac{a}{h}+\frac{b}{k}=1$
[If three points (h, 0),(a, b) and (0, k) lie on a straight line, prove that $\frac{a}{h}+\frac{b}{k}=1$
Sol :
तीन बिन्दु (h,0), (a,b) और (0,k) एक रेखा पर है अर्धात संरेख है।
$\frac{1}{2}[h(b-k)+a(k-0)+0(0-b)]=0$
hb-hk+ak=0
hb+ak=hk
$\frac{h b+a k}{h k}=1$
$\frac{hb}{hk}+\frac{a k}{h k}=1$
$\frac{b}{k}+\frac{a}{b}=1$ या $\frac{a}{h}+\frac{b}{k}=1$
Question 9
यदि किसी चतुर्भुज जिसके शीर्ष (1,2),(-5,6),(7,-4) तथा (h,-2) हैं की क्षेत्रफल शून्य हो तो, साबित करे कि h=3
[If the area of the quadrilateral whose angular points taken in order are (1,2),(-5,6),(7,-4) and (h,-2) be zero, show that h=3.]
Sol :
माना ABCD एक चतुर्भुज है जिसके शीर्षो के निर्देशांक A(1,2) , B(-5,6) , C(7,-4) तथा D(h,-2) है।
ΔABC का क्षेत्रफल +ΔADC का क्षेत्रफल=चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल
$\frac{1}{2}\left[1(6+4)+(-5)(-4-2)+7(2-6)]+\frac{1}{2}[1(-2+4)+h(-4-2)+7(2+2)\right]$
$\frac{1}{2}[10+30-28]+\frac{1}{2}[2-6 h+28]=0$
$\frac{1}{2} \times 12+\frac{1}{2}[30-6 h]=0$
6+15-3h=0
21-3h=0
-3h=-21
$h=\frac{21}{3}$
h=7
Question 10
किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल 3 वर्ग इकाई दो शीर्ष A(3,1) तथा B(1,-3) है तथा त्रिभुज का केन्द्रक अक्ष पर है। इसके तीसरे शीर्ष C का नियामक निकालें
[The area of a triangle is 3 square units two of its vertices are A (3.1). B(1,-3) and the centroid of the triangle lies on x-axis. Find the coordinates of the third vertex C.]
Sol :
माना ΔABC का केन्द्रक G(x,0) है तथा शीर्ष C का निर्देशांक (x,y) है।
$\left(\frac{3+1+x}{3}, \frac{1-3+y}{3}\right)=(x, 0)$
$\left(\frac{4+x}{3}, \frac{-2+y}{3}\right)=(x, 0)$
$\frac{-2+y}{3}=0$
-2+y=0
y=2
∴ΔABC का क्षेत्रफल =3 वर्ग इकाई
$\frac{1}{2}[3(-3-2)+1(2-1)+x(1+3)]=\pm 3$
3(-5)+1(1)+4x=±6
-15+1+4x=±6
4x=14±6
$x=\frac{14 \pm 6}{4}$
x=5 , 2
∴शीर्ष C का निर्देशांक (5,2) या (2,2)
Question 11
दिखलाएँ कि किसी त्रिभुज के केन्द्रक को शीषो से मिलानेवाली रेखाएँ तीन समान क्षेत्रफल वाली त्रिभुज में बाँटती हैं।
[Show that the line joining the centroid of a triangle to its vertices divide it into three triangle of equal area.]
माना ABC एक त्रिभुज है , जिसके शीर्षो के निर्देशांक क्रमशः $A(x_1, y_1,), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$, तथा $c\left(x_{3}, y_{3}\right)$ है।
G, ΔABC का केन्द्रक है।
G का निर्देशांक $=\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{2}}{3}\right)$
ΔAGB का क्षेत्रफल
$=\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(y_{2}-\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)+x_{2}\left(\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}-y_{1}\right)+\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}\right)(y_1-y_2)\right]$
$=\frac{1}{2}\left[x_{1}\left(\frac{2 y_{2}-y_{1}-y_{3}}{3}\right)+x\left(\frac{y_{2}+y_{3}-2 y_{1}}{3}\right)+\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}\right)(y_1-y_2)\right]$
$=\frac{1}{6}\left[2 x_1 y_{2}-x_{1} y_{1}-x_{1} y_{3}+x_{2} y_{2}+x_{2} y_{3}-2 x_{2} y_{1}+x_{1} y_{1}-x_{1} y_{2}+x_{2} y_{1}-x_{2} y_{2}+x_{3} y_{1}-x_{3} y_{2}\right]$
$=\frac{1}{6}\left[x_{1} y_{2}-x_{2} y_{3}+x_{2} y_{3}-x_{2} y_{1}+x_{3} y_{1}-x_{3} y_{2}\right]$
$=\frac{1}{6}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right]$
ΔGBC
$\left.=\frac{1}{6}\left[x_{1}(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right]$
$=\frac{1}{6}\left[x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right]$
∴ar(ΔAGB)=ar(ΔGBC)=ar(ΔGAC)
त्रिभुज के केन्द्रक को शीर्षो से मिलाने वाली रेखाएँ तीन समान क्षेत्रफल वाली त्रिभुजो मे बांटती है।