KC Sinha: Exercise 18.1 - Mathematics Solution Class 11 Chapter 18 सरल रेखा

[mathjax]

Question 1 

उस रेखा की ढाल निकाले जिसका झुकाव है :
[Find the slope of the line whose inclination is]

(i) 0°
Sol :
θ=0°

रेखा का ढ़ाल ,m=tan0°=0

(ii) 60°
Sol :

(iii) 150°
Sol :
रेखा का ढ़ाल=tan150°
=tan(180°-30°)
=-tan30°
$=-\frac{1}{\sqrt{3}}$

(iv) 45°
Sol :

Question 2

निम्नलिखित बिन्दुओ से जाती  हुई रेखा की ढ़ाल निकाले ।
[Find the slope of the line through the points]

(i) (6,3) तथा (9,3)
Sol :
माना A(6,3) ,B(9,3) से गुजरने वाली रेखा AB है।

रेखा AB का ढ़ाल$=\frac{3-3}{9-6}=\frac{0}{3}$
=0

(ii) (1,2) तथा (4,2)
Sol :

(iii) (0,9) तथा (-3,0)
Sol :

(iv) (0,-4) तथा (-6,2)
Sol :

(v) (3,-2) तथा (3,4)
Sol :

(vi) (3,-2) तथा (-1,4)
Sol :
$=\frac{2-(-4)}{-6-0}=\frac{6}{-6}$
=-1

(vii) (3,-2) तथा (7,-2)
Sol :

Question 3

दिखाएँ कि बिन्दुओ (5,6) तथा (2,3) से जाती हुई रेखा (9,-2) तथा (6,-5) से जाती हुई रेखा के समान्तर है ।
[Show that the line joining (5,6) and (2,3) is parallel to the line through (9,-2) and (6,-5)]
Sol :
माना A(5,6),B(2,3) से जाती हुई रेखा AB है ।
और C(9,-2) , D(6,-5) से जाती हुई रेखा CD है ।

रेखा AB का ढाल $=\frac{3-6}{2-5}=\frac{-3}{-3}$
=1

रेखा CD का ढाल $=\frac{-5-(-2)}{6-9}=\frac{-3}{-3}$

=1

रेखा CD का ढ़ाल $=\frac{-5-(-2)}{6-9}=\frac{-3}{-3}$
=1

रेखा AB का ढ़ाल =रेखा CD का ढ़ाल
AB||CD

Question 4

दिखाएँ कि (2,-5) तथा (-2,5) से जाती हुई रेखा (6,3) तथा (1,1) से जाती हुई रेखा पर लम्ब है ।
[Show that the line through (2,-5) and (-2,5) is perpendicular to the line through (6,3) and (1,1) ]
Sol :
माना A(2,-5) , (-2,5) से जाती हुई रेखा AB है ।
और C(6,3) ,D(1,1) से जाती हुई रेखा CD है ।

रेखा AB का ढ़ाल$=\frac{5-(-5)}{-2-(2)}=\frac{10}{-4}$
$=\frac{-5}{2}$

रेखा CD का ढ़ाल $=\frac{1-3}{1-6}=\frac{-2}{-5}=\frac{2}{5}$

रेखा AB का ढ़ाल×रेखा CD का ढ़ाल
$=\frac{-5}{2} \times \frac{2}{5}$
=-1

m(AB)×m(CD)
$=\frac{-5}{2} \times \frac{2}{5}$
=-1

∴AB⟂CD

Question 5

जाँच करे कि निम्नलिखित मे से प्रत्येक मे दो रेखाएँ , परस्पर लम्ब या न समान्तर और न लम्ब है ।
[Examine whether the two lines in each of the following are parallel perpendicular or neither parallel nor perpendicular]

(i) (-2,6) तथा (4,8) से गुजरती हुई
[through (-2,6) and(4,8)]
(8,12) तथा (4,24) से गुजरती हुई

[through (8,12) and(4,24)]

(ii) (9,5) तथा (-1,1) से गुजरती हुई
[through (9,5) and (-1,1)]
(8,-3) तथा (3,-5) से गुजरती हुई
[through (8,-3) and(3,-5)]
Sol :

Question 6

A(5,-3) , B(8,2) , C(0,0) किसी त्रिभुज के शीर्ष है । दिखाएँ कि A से गुजरती हुई मध्यिका भुजा BC पर लम्ब है ।
[A(5,-3) , B(8,2) , C(0,0) are the vertices of a triangles. Show that the median from A is perpendicular to the side BC.]
Sol :

माना A(5,-3) , B(8,2) , C(0,0)
किसी ΔABC के शीर्ष है ।

AD, ΔABC की मध्यिका है ।

∴D,BC का मध्य बिंदु है ।

D का निर्देश$=\left(\frac{8+0}{2}+\frac{2+0}{2}\right)$

$=\left(\frac{8}{2},\frac{2}{2}\right)$
=(4,1)

$m(BC)=\frac{0-2}{0-8}=\frac{-2}{-8}=\frac{1}{4}$

$m(AD)=\frac{1-(-3)}{4-5}=\frac{4}{-1}$
=-4

m(AD)×m(BC)$=-4 \times \frac{1}{4}$
=-1

∴AD⟂BC

Question 7

(i) y का मान निकाले ताकि (3,y) तथा (2,7) से जाती हुई रेखा (-1,4) तथा (0,6) से जाती हुई रेखा के समान्तर है ?
[Determine y so that the line through (3,y) and (2,7) is parallel to the line through (-1,4) and (0,6) ?]
Sol :
माना A(3,y) तथा B(2,7) से जाती हुई रेखा AB, बिन्दुओ C(-1,4) तथा D(0,6) से जाती हुई रेखा CD के समांतर है ।

m(AB)=m(CD)

$\frac{7-y}{2-3}=\frac{6-4}{0-(-1)}$

$\frac{7-y}{-1}=\frac{2}{1}$

7-y=-2
7+2=y
y=9

(iii) x का मान निकाले जिसके लिए बिन्दु (x,-1) ,(2,1) तथा (4,5) संरेख है ।
[Find the value of x fro which the points (x,1),(2,1) and (4,5) arc collinear]
Sol :
माना A,B तथा C तीन संरेखी बिंदु है ।

रेखा AB का ढ़ाल=रेखा BC का ढ़ाल
=रेखा AC का ढाल

माना A(x,-1) , B(2,1) तथा C(4,5) तीन संरेखी बिंदु  है।

m(AB)=n(BC)

$\frac{1-(-1)}{2-x}=\frac{5-1}{4-2}$

$\frac{2}{2-x}=\frac{4}{2}$

4-2x=2
-2x=2-4
-2x=-2
$x=\frac{-2}{-2}=1$

Question 8

उस रेखा की ढ़ाल निकाले जो y-अक्षं की धनात्मक दिशा से घड़ी की सुई की विपरित दिशा मे 30° का कोण बनाती है ।
[Find the slope of the line , which makes an angle 30° will the positive direction of y-axis measured anti-clockwise]
Sol :

रेखा l द्वारा x-अक्ष पर,

झूकाव=90°+36
=120°

m(l)=tan120°
=tan(90°+30°)
=-cot30°
=-√3

Question 9

उस रेखा की ढ़ाल निकाले जो मूल बिन्दु A(0,-4) और B(8,0) के मध्य बिंदु से गुजरती है ?
[Find the slope of a line , which passes through the origin and the mid-point of the line segment joinning the points A(0,-4) and B(8,0)]
Sol :

माना मूल बिंदु O(0,0) है ।

C,AB का मद्धय बिंदु है ।

C का निर्देशांक $=\left(\frac{0+8}{2},\frac{-4+0}{2}\right)$

$=\left(\frac{8}{2},\frac{-4}{2}\right)$

=(4,-2)

रेखा OC का ढ़ाल $=\frac{-2-0}{4-0}=\frac{-2}{4}$

$=-\frac{1}{2}$

Question 10

x-अक्ष तथा बिन्दुओ (3,-1) तथा (4,-2) को मिलाने वाली रेखा के बीच का कोण निकाले ।
[Find the angle between the x-axis and the line joining the joining the points (3,-1) and (4,-2)]
Sol :
माना x-अक्ष तथा बिन्दुओ (3,-1) तथा (4,-2) को मिलाने वाली रेखा θ कोण बनती है ।

रेखा AB का ढ़ाल $=\frac{-2-(-1)}{4-3}$

tanθ$=\frac{-2+1}{1}$

tanθ=-1

tanθ=-tan45°

tanθ=tan(90°+45°)

tanθ=tan135°

θ=135°

Question 11

एक रेखा (x₁,y₁) तथा (h,k) से गुजराती है । यदि रेखा की ढाल m है तो दिखाएँ कि
[A Line passes through (x₁,y₁) and (h,k). If slope of the line is m , show that]
k-y₁=m(h-x₁)
Sol :
माना बिंदु A(x₁,y₁) तथा B(h,k) से गुजरने वाली रेखा AB का ढाल m है ।

$m=\frac{k-y_1}{h-x_1}$

m(h-x₁)=k-y₁

Question 12

ढाल का प्रयोग करते हुई दिखाएँ कि (1,1),(2,3) तथा (3,5) संरेख है ।
[Using slopes , show that the points (1,1),(2,3) and (3,5) are collinear]
Sol :
माना A(1,1),B(2,3) तथा C(3,5) तीन बिंदुएँ है ।

m(AB)$=\frac{3-1}{2-1}=\frac{2}{1}$
=2

m(BC)$=\frac{5-3}{3-2}=\frac{2}{1}$
=2

m(AC)$=\frac{5-1}{3-1}=\frac{4}{2}$
=2

m(AB)=m(BC)=m(AC)

∴A(1,1),B(2,3),C(3,5) संरेख है ।

Question 13

A(3,4), B(-3,0) तथा C(7,-4) किसी त्रिभुज के शीर्ष है । दिखाएँ कि AB तथा AC के मध्य बिन्दुओ को मिलाने वाली रेखा BC के समान्तर तथा आधी है ।
[A(3,4) ,B(-3,0) and C(7,-4) are the vertices of a triangle . Show that the line joining the mid-points of AB and AC is parallel to BC and is half of it]
Sol :

माना ΔABC मे , AB तथा AC का मध्य बिंदु क्रमश D तथा E है ।

तो सिद्ध करना है ः

∵D तथा E क्रमशः AB तथा AC का मध्य बिंदु है ।

D का निर्देशांक$=\left(\frac{-3+3}{2},\frac{0+4}{2}\right)$
$=\left(\frac{0}{2},\frac{4}{2}\right)$
=(0,2)

D का निर्देशांक$=\left(\frac{7+3}{2},\frac{-4+4}{2}\right)$

$=\left(\frac{10}{2},\frac{0}{2}\right)$

=(5,0)

m(DE)$=\frac{0-2}{5-0}=-\frac{2}{5}$

m(BC)$=\frac{-4-0}{7-(-3)}=\frac{-4}{10}$
$=-\frac{2}{5}$

m(DE)=m(BC)
DE||BC

DE$=\sqrt{(5-0)^2+(0-2)^2}$
$=\sqrt{25+4}=\sqrt{25}$

BC$=\sqrt{(-4-0)^2+(7-(-3))^2}$
$=\sqrt{16+100}=\sqrt{116}$
$=\sqrt{2\times 2\times 29}=2\sqrt{29}$

$DE=\frac{1}{2}BC$

Question 14

तीन बिन्दु A(x₁,y₁) ,B(x₂,y₂) तथा C(x,y) संरेख है तो साबित करे कि
[Three points A(x₁,y₁) ,B(x₂,y₂) and C(x,y) are collinear. Prove that (x-x₁)(y₂-y₁)=(x₂-x₁)(y-y₁)
Sol :
दिया है(Given)

A(x₁,y₁) ,B(x₂,y₂) तथा C(x,y) संरेख है

m(AC)=m(AB)

$\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_2-y_!}{x_2-x_1}$

(x-x₁)(y₂-y₁)=(x₂-x₁)(y-y₁)

Question 15

ढाल की अवधारणा का प्रयोग करते हुए दिखाएँ कि (-2,-1),(4,0),(3,3) तथा (-3,2) एक समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष है ।
[By using the concept of slope, show that (-2,-1),(4,0),(3,3) and (-3,2) are the vertices of a parallelogram]
Sol :
माना A(-2,-1) ,B(4,0),C(3,3) तथा D(-3,2) चार बिंदु है ।

m(AB)$=\frac{0-(-1)}{4-(-2)}=\frac{1}{6}$

m(BC)$=\frac{3-0}{3-4}=\frac{3}{-1}$
=-3

m(CD)$=\frac{2-3}{-3-3}=\frac{-1}{-6}=\frac{1}{6}$

m(AD)$=\frac{2-(1)}{-3-(-2)}=\frac{3}{-1}$

=-3

$\begin{array}{l|l}m(AB)=m(CD)&m(BC)=m(AD)\\AB||CD&BC||AD\end{array}$

∴ABCD एक समांतर चतुर्भुज है ।

A(-2,-1),B(4,0),C(3,3) तथा D(-3,2) समांतर चतुर्भुज के शीर्ष है ।

Question 16

एक चतुर्भुज के शीर्ष (4,1),(1,7),(-6,0) तथा (-1,-9) है । दिखाएँ कि इस चतुर्भुज के मध्य बिन्दु एक समान्तर चतुर्भुज बनाते है ।
[A quadrilateral has vertices (4,1),(1,7),(-6,0) and (-1,-9). Show that the mid-points of the sides of sides of this quadrilateral form a parallelogram]
Sol :

माना A(4,1),B(1,7),C(-6,0) and D(-1,-9) चतुर्भुज ABCD के शीर्ष है ।

माना P,Q,R तथा S क्मशः चतुर्भुज ABCD के भुजाओ AB,BC,CD तथा AD के मध्य बिंदु है ।

तो साबित करना है ः PQRS एक समांतर चतुर्भुज है ।

प्रमाण
P,Q,R and S क्रमशः AB,BC,CD तथा AD के मध्य बिंदु है ।

P का निर्देशांक $=\left(\frac{4+1}{2},\frac{1+7}{2}\right)$
$=\left(\frac{5}{2},\frac{8}{2}\right)$
$=\left(\frac{5}{2},2\right)$

Q का निर्देशांक $=\left(\frac{1-6}{2},\frac{7+0}{2}\right)$
$=\left(-\frac{5}{2},\frac{7}{2}\right)$

R का निर्देशांक $=\left(-\frac{-1+(-6)}{2},\frac{-9+0}{2}\right)$
$=\left(\frac{-3}{2},\frac{-9}{2}\right)$

S का निर्देशांक $=\left(-\frac{-1+4}{2},\frac{-9+1}{2}\right)$
$=\left(\frac{3}{2},\frac{-8}{2}\right)$
$=\left(\frac{3}{2},-4\right)$

m(PQ)$=\dfrac{\frac{7}{2}-4}{-\frac{5}{2}-\frac{5}{2}}$
$=\dfrac{\frac{7-8}{2}}{\frac{-5-5}{2}}$
$=\frac{-1}{-10}=\frac{1}{10}$

m(QR)$=\dfrac{\frac{-9}{2}-\frac{7}{2}}{-\frac{7}{2}-\left(-\frac{5}{2}\right)}$
$=\dfrac{\frac{-16}{2}}{\frac{-2}{2}}$
=8

m(RS)$=\dfrac{\frac{-9}{2}-4}{-\frac{7}{2}-\frac{3}{2}}$
$=\dfrac{\frac{-9+8}{2}}{\frac{-7-3}{2}}$
$=\frac{-1}{-10}=\frac{1}{10}$

m(PS)$=\dfrac{4-(-4)}{-\frac{5}{2}-\frac{3}{2}}$
$=\dfrac{8}{\frac{2}{2}}$
=8

$\begin{array}{l|l}m(PQ)=m(RS)&m(QR)=m(PS)\\PQ||RS&QR||PS\end{array}$

∴PQRS एक समांतर चतुर्भुज है ।

Question 17

साबित करे कि समबाहु त्रिभुज की माध्यिका संगत भुजा पर लम्ब होती है ।
[Prove that a median of an equilateral triangle is perpendicular to the corresponding side of the triangle]
Sol :

माना ABC एक समबाहु त्रिभुज है ।

जहाँ AB=BC=AC=2a

जिसकी भुजा BC x-अक्ष पर है ।

माना O,BC का मध्य बिंदु है । जो निर्देशांक अक्षो के मूल बिंदु है ।

AB=AC=2a

माना A का निर्देशांक=(p.q)

AB=AC
AB²=AC²
(p+a)²+(q.0)²=(p-a)²+(q-0)²
p²+a²+2pa=p²+a²-2pa
4pa=0
p=0

अतः A y-अक्ष पर स्थित है ।

OA=$\sqrt{AC^2-OC^2}$
$=\sqrt{(2a)^2}-a^2$
$q=\sqrt{3}a$

माना BE तथा CF क्रमश
B तथा C शिर्ष से खिची जाने वाली माध्मिक है ।

∴E तथा F क्रमशः AC तथा AC मध्य बिंदु है ।

E का निर्देशांक$=\left(\frac{a+0}{2},\frac{\sqrt{3}a+0}{2}\right)$
$=\left(\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}a}{2}\right)$

F का निर्देशांक$=\left(\frac{-a+0}{2},\frac{0+\sqrt{3}a}{2}\right)$
$=\left(\frac{-a}{2},\frac{\sqrt{3}a}{2}\right)$

m(BE)$=\left(\dfrac{\frac{\sqrt{3}a}{2}-0}{\frac{a}{2}-(-a)}\right)$
$=\dfrac{\frac{\sqrt{3}a}{2}}{\frac{a+2a}{2}}$
$=\frac{\sqrt{3}a}{3a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

m(AC)$=\frac{\sqrt{3}a-0}{0-a}=\frac{\sqrt{3}a}{-a}$
=-√3

m(BE)×m(AC)$=\frac{\sqrt{3}}{3}\times (-\sqrt{3})$
$=\frac{-3}{3}=-1$

∴BE⟂AC

अतः माध्यिका BE ΔABC की भुजा AC पर लंब है ।

Question 18

साबित करे कि किसी विषमकोण समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लम्ब है ।
[Prove that the diagonals of a rhombus are at right angels]
Sol :

माना OABC एक विषमकोण समचतुर्भुज है , जिसकी प्रत्येक भुजा a है ।

O मूल बिंदु है तथा OA x-अक्ष पर है । समचतुर्भुज की ऊँचाई b है ।

माना CE तथा BF लंब है x-अक्ष पर ,

माना OE=C

ΔCOE⩭ΔBAF (R.H.S)
OE=AF=C

O का निर्देशांकृ(0,0) ,

A का निर्देशांकृ=(a,0)

B का निर्देशांक=(a+c,b)

C का निर्देशांक=(c,b)

ΔCOE मे ,

OC²=OE²+CE²
a²=c²+b²

m(OB)$=\frac{b-0}{a+c-0}$
$=\frac{b}{a+c}$

m(AC)$=\frac{b-0}{c-a}$
$=\frac{b}{c-a}$

m(OB)×m(AC)$=\frac{b}{c+a}\times \frac{b}{c-a}$
$=\frac{b^2}{c^2-a^2}=\frac{b^2}{-b^2}$

∴विषमकोण समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लंब होते है ।