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Question 1
(a) निम्नलिखित फलनो के सभी स्थानीय उच्चतम और निम्नतम बिन्दुएँ , यदि कोई हो , तो ज्ञात कीजिए तथा संगत उच्चतम और निम्नतम मान निम्नतम मान जैसी हो , भी ज्ञात कीजिए ।
(i) f(x)=x3-6x2+9x+15
Sol :
Differentiating w.r.t x
f '(x)=3x2-12x+9
=3[x2-4x+3]
=3[x2-3x-x+3]
=3[x(x-3)-1(x-3)]
=3(x-1)(x-3)
∴f '(x)=0
3(x-1)(x-3)=0
x=1 , 3
f '(x) की चित्र योजना
Diagram
(i) x=1 पर , f '(x) +ve से -ve हो रहा है ।
x=1 =स्थानीय महन्तम बिंदु
स्ठानीय महान्नतम मान=f(1)=(1)3-6(1)2+9(1)+15
=1-6+9+15
=19
(ii) x=3 पर , f '(x) -ve से +ve हो रहा है ।
x=3=स्ठानिय निम्नतम बिंदु
स्ठानिय निम्नतम मान=f(3)=(3)3-6(3)2+9(3)+15
=27-54+27+5
=15
(iii) $f(x)=-\frac{3}{4}x^4-8x^3-\frac{45}{2}x^2+105$
Sol :
Differentiate w.r.t x
f '(x)=-3x3-24x2-45x
=-3x[x2+8x+15]
=-3x[x2+5x+3x+15]
=-3x[x(x++5)+3(x+5)]
=-3x(x+5)(x+3)
f '(x)=0
-3x(x+5)(x+3)=0
$\begin{array}{l|l}-3x=0& x+5=0 & x+3=0 \\x=0&x=-5&x=-3\end{array}$
f '(x) की चित्र योजना
Diagram
(i) x=-5,0, f '(x) , +ve से -ve हो रहा है ।
x=-5,0=स्थानीय उच्चतम बिंदु
स्थानीय महन्तम मान=f(-5)$=-\frac{3}{4}(-5)^4-8(-5)^3-\frac{45}{2}(-5)^2+105$
या f(0)$=-\frac{3}{4}(0)^4-8(0)^3-\frac{45}{2}(0)^2+105$
=105
(ii) x=-3 पर , f '(x) , -ve से +ve हो रहा है ।
x=-3=स्थानीय निम्ननतम बिन्दु
स्थानीय निम्ननतम मान=f(-3)$=-\frac{3}{4}(-3)^4-8(-3)^3-\frac{45}{2}(-3)^2+105$
$=-\frac{3}{4}(81)-8(27)-\frac{45}{2}(9)+105$
$=\frac{-243+864-810+420}{4}$
$=\frac{1284-1053}{4}=\frac{231}{4}$
(iv) f(x)=x4-62x2+120x+9
Sol :
Differentiating w.r.t x
f '(x)=4x3-124x+120
=4[x3-31x+30]
=4[x3-x2+x2-x-30x+30]
=4[x2(x+1)+x(x-1)-30(x-1)]
=(x-1)[x2+x-30x]
=4(x-1)(x2+6x-5x-30x)
=4(x-1)[x(x+6)-5(x+6)]
=4(x-1)(x-1)(x-5)(x+6)
∴f '(x)=0
4(x-1)(x-5)(x+6)=0
x=1 ,5 ,-6
∵f '(x)=4x3-124x+120
Again differentiating w.r.t x
f '(x)=12(1)2-124
=12-124
=-112<0
x=1=स्थानीय महन्नतम बिंदु
स्थानीय महन्नतम मान=f(1)=(1)4-62(1)2+120(1)+9
=1-62+120+9
=68
$=\frac{1284-1053}{4}=\frac{231}{4}$
At x=5 ,
f ''(5)=12(5)2-124
=300-124
=176>0
x=5=स्थानीय निम्ननतम बिंदु
स्थानीय निम्ननतम मान=f(5)=(5)4-62(5)2+120(5)+9
=625-1550+600+9
=-316
At x=-6,
f ''(-6)=12(-6)2-124
=432-124
=308>0
x=-6=स्थानीय निम्ननतम बिंदु
स्थानीय निम्ननतम मान=f(-6)=(-6)4-62(-6)2+120(-6)+9
=1296-2232-720+9
=1305-2952
=-1647
(v) f(x)=(x-1)(x+2)2
Sol :
Differentiating w.r.t x
f '(x)=1.(x+2)2+(x-1).2(x+2).1
=(x+2)(x+2+2x-2)
=(x+2)(3x)
∴f '(x)=0
(x+2)(3x)=0
$\begin{array}{l|l}x+2=0&3x=0\\x=-2&x=0\end{array}$
अब , f '(x)=3x(x+2)
f '(x)=3x2+6x
Again , Differentiating w.r.t x
f ''(x)=6x+6
At x=-2 पर ,
f ''(-2)=6(-2)+6
=-12+6
-6<0
x=-2=स्थानीय महन्नतम बिंदु
स्थानीय महन्नतम मान=f(-2)=(-2-1)(-2+2)2
=(-3)(0)2
=0
At x=0 ,
f ''(0)=6(0)+6
=6>.
x=0=स्थानीय निम्नतम बिंदु
स्थानीय निम्नतम मान=f(0)=(0-1)(0+2)2
=(1)(4)
=-4
(vii) $f(x)=\frac{2}{x}-\frac{2}{x^2}$ , x>0 or $2x^{-1}-2x^{-2}$
Sol :
Differentiate w.r.t x
f '(x)=-2x-2+4x-3
f '(x)$=\frac{-2}{x^2}+\frac{4}{x^3}$
f '(x)$=\frac{-2x+4}{x^3}$
∴f '(x)=0
$\frac{-2x+4}{x^3}=0$
-2x+4=0
-2x=-4
x=2
f '(x) की चित्र योजना
Diagram
x=2 पर , f '(x) , +ve से -ve हो रहा है ।
x=2=स्थानीय महन्तम बिंदु
स्थानीय महन्तम मान=f(2)$=\frac{2}{2}-\frac{2}{2^2}$
$=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
(viii) f(x)=(x-1)3(x+1)2
Sol :
Differentiating w.r.t x
f '(x)=3(x-1)2.1(x+1)2+(x-1)3.2(x+1).1
=(x-1)2(x+1)[3(x+1)+(x-1)2]
=(x-1)2(x+1)(3x+3+2x-2)
=(x-1)2(x+1)(5x+1)
∴f '(x)=0
(x-1)2(x+1)(5x+1)=0
x=1 , x=-1 , $x=-\frac{1}{5}$
f '(x) की चित्र योजना
Diagram
(i) x=-1 , पर, f '(x) +ve से -ve हो रहा है ।
x=-1=स्थानीय महन्तम बिंदु
स्थानीय महन्तम मान=f(-1)=(-1-1)3(-1+1)2=0
(ii) $x=-\frac{1}{5}$ पर , f '(x) -ve से +ve हो रहा है ।
$x=-\frac{1}{5}$=स्थानीय न्यूनतम बिंदु
स्थानीय न्यूनतम मान$f(-\frac{1}{5})=\left(-\frac{1}{5}-1\right)^3 \left(-\frac{1}{5}+1\right)^2$
$=\left(\frac{-1-5}{5}\right)^3 \left(\frac{-1+5}{5}\right)^2$
$=\left(\frac{-6}{5}\right)^3 \times \left(\frac{4}{5}\right)^2$
$=\frac{-216}{125} \times \frac{16}{25}$
$=\frac{-3456}{3125}$
(iii) x=1 पर , f '(x) का चिह्न ुपरिवर्तित नही हो रहा है ।
(xii) f(x)=x2
Sol :
Differentiating w.r.t. x
f '(x)=0
2x=0
x=0
f '(x)=2x
Again , differentiating w.r.t x
f ''(x)=2
At x=0 पर ,
f ''(0)=2<0
x=0=स्थानीय निम्नतम बिंदु
स्थानीय निम्नतम मान=f(0)
=02=0
(xiii) f(x)=x3-3x
Sol :
Differentiating w.r.t x
f '(x)=3x2-3
=3(x2-1)
=3(x-1)(x+1)
f '(x)=0
3(x-1)(x+1)=0
x=1 ,-1
अब, f '(x)=3x2-3
Again , Differentiating w.r.t x
f ''(x)=6(1)
=6>0
x=1=स्थानीय न्यून्तम बिंदु
स्थानीय न्यून्तम मान =f(1)=13-3(1)
=1-3=-2
A+x=-1 ,
f ''(-1)=6(-1)
=-6>0
x=-1=स्थानीय महान्तम बिंदु
स्थानीय महान्तम मान=f(-1)=(-1)3-3(-1)
=-1+3=2
(xiv) $f(x)=frac{x}{2}+\frac{2}{x}$ , x>0
Sol :
Differentiating w.r.t x
$f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{2}{x^2}$
∴f '(x)=0
$\frac{1}{2}-\frac{2}{x^2}=0$
$\frac{1}{2}=\frac{2}{x^2}$
x2=4
x=±2
x=2 ,-2
f '(x) की चित्र योजना
Diagram
(i) x=-2 पर , f '(x) , +ve से -ve हो रहा है ।
x=-2=स्थानीय महन्तम बिंदु
स्थानीय महन्तम मान=f(-2)$=\frac{-2}{2}+\frac{2}{-2}$
=-1-1
=-2
∴x>0 होना चाहिए अतः x=-2 स्थानीय
महन्तम बिंदु नही होगा ।
(ii) x=2 पर , f '(x) -ve से +ve हो रहा है ।
x=2=स्थानीय न्यूनतम बिंदु है ।
स्थानीय न्यूनतम मान $f(2)=\frac{2}{2}+\frac{2}{2}$
=2
(b) उन बिन्दुओ को ज्ञात कीजिए जिन पर f(x)=(x-2)4(x+1)3 द्वारा प्रदत्त फलन f का
(i) स्थानीय उच्चतम बिंदु है ।
(ii) स्थानीय निम्नतम बिंदु है ।
(iii) स्थानीय परिवर्तन बिंदु है ।
Sol :
f(x)=(x-2)4(x+1)3
Differentiating w.r.t x
f '(x)=4(x-2)3(x+1)3+(x-4)4.3(x+1)2.1
=(x-2)3(x+1)2[4(x+1)+3(x-2)]
=(x-2)2(x+1)2(4x+4+3x-6)
=(x-2)2(x+1)2(7x-2)
∴f '(x)=0
(x-2)2(x+1)2(7x-2)=0
x=2 ,-1 ,$\frac{2}{7}$
f '(x) की चित्र योजना
Diagram
Question 2
निम्नलिखित फलनो के उच्चतम या निम्नतम मान , यदि कोई हो ,तो ज्ञात कीजिए
[Find the maximum and minimum values if any of the following functions]
(i) x3-2x2+x+6
Sol :
माना f(x)=x3-2x2+x+6
Differentiating w.r.t x
f '(x)=3x2-4x+1
f '(x)=3x2-3x-x+1
=3x(x-1)-1(x-1)
f '(x)=(x-1)(3x-1)
∴f '(x)=0
(x-1)(3x-1)=0
x=1 , $x=\frac{3}{2}$
∴f '(x)=3x2-4x+1
Differentiating w.r.t x
f '(x)=6x-4
At x=1
f ''(1)=6(1)-4
=6-4
=2>0
Minimum value=f(1)=(1)3-2(1)2+1+6
=1-2+1+6
=6
At $x=\frac{1}{3}$ ,
$f''(\frac{1}{3})=6\left(\frac{1}{3}\right)-4$
=2-4
=-2<0
$x=\frac{1}{3}$ point of maxima
Maximum value$=\left(\frac{1}{3}\right)=\left\{\frac{1}{3}\right\}^3-2\left(\frac{1}{3}\right)^2+\frac{1}{3}+6$
$=\frac{1}{27}-\frac{2}{9}+\frac{1}{3}+6$
$=\frac{1-6+9+162}{27}=\frac{166}{27}$
(ii) (x-1)(x-2)2
Sol :
माना f(x)=(x-1)(x-2)2
Differentiating w.r.t x
f '(x)=1(x-2)2+(x-1)2(x-2)1
=(x-2)[x-2+(x-1)2]
=(x-2)[x-2+2x-2]
=(x-2)[3x-4]
∴ f '(x)=0
(x-2)(3x-4)=0
x=2 , $\frac{4}{3}$
f '(x)=(x-3)(3x-4)
Differentiating w.r.t x
f ''(x)=1(3x-4)+(x-2)3
f ''(x)=3x-4+3x-6
f ''(x)=6x-10
At x=2 ,
f ''(2)=6(2)-10
=2>0
x=2 , point of minima
Minimum value=f(2)=(2-1)(2-2)2
=0
At $x=\frac{4}{3}$
$f''(x)=\left(\frac{4}{3}\right)=6\left(\frac{4}{3}\right)-10$
=-2<0
$x=\frac{4}{3}$ point of maxima
maximum value$=f(\frac{4}{3})=\left(\frac{4}{3}-1\right)\left(\frac{4}{3}-2\right)^2$
$=\left(\frac{4-3}{2}\right)\left(\frac{4-6}{3}\right)^2$
$=\left(\frac{1}{3}\right)\left(-\frac{2}{3}\right)$
$=\frac{1}{3} \times \frac{4}{9}=\frac{4}{27}$
(iv) 3x4-10x3+6x2+5
Sol :
माना f(x)=3x4-10x3+6x2+5
Differentiating w.r.t x
f '(x)=12x3-30x2+12x
=6x[2x2-5x+2]
=6x[2x2-4x-x+2]
=6x(x-2)(2x-1)
∴f '(x)=0
6x(x-2)(2x-1)=0
x=0 ,2 $\frac{1}{2}$
f '(x) की चित्र योजना
Diagram
(i) x=0,2
f '(x) -ve से +ve हो रहा है ।
x=0,2 point of minima
Minimum value=f(0)=3(0)4-10(0)3+6(0)2+5
=5
या f(2)=3(2)4-10(2)3+6(2)2+5
=48-80+24+5
=77-80
=-3
(ii) $x=\frac{1}{2}$ पर , f '(x) +ve से -ve हो रहा है ।
$x=\frac{1}{2}$ point of maxima
Maximum value$=f\left(\frac{1}{2}\right)=3\left(\frac{1}{2}\right)^4-10\left(\frac{1}{2}\right)^3+6\left(\frac{1}{2}\right)^2+5$
$=\frac{3}{16}-\frac{10}{8}+\frac{6}{4}+5$
$=\frac{3-20-24+80}{16}=\frac{87}{16}$
(v) (x+1)(x+2)(x+3)
Sol :
माना f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)
Differentiating w.r.t x
f '(x)=1(x+2)(x+3)+(x+1).1.(x+3)+(x+1)(x+2).1
=x2+5x+6+x2+4x+3+x2+3x+2
=3x2+12x+11
∴f '(x)=0
3x2+12x+11=0
$x=\frac{-12\pm \sqrt{(-12)^2-4\times 3\times 11}}{2\times 3}$
$=\frac{-12\pm \sqrt{144-132}}{6}$
$=\frac{12\pm \sqrt{12}}{6}$
$=\frac{-12\pm 2\sqrt{3}}{6}$
$=\frac{2(-6 \pm \sqrt{3}}{6}$
$x=\frac{-6+\sqrt{3}}{3}, \frac{-6-\sqrt{3}}{3}$
∵ f '(x)=3x2+12x+11
Differentiating w.r.t x
At $x=\frac{-6+\sqrt{3}}{3}$
$f''\left(\frac{-6+\sqrt{3}}{3}\right)=6\left(\frac{-6+\sqrt{3}}{3}\right)+12$
=-12+2√3+12
=2√3>0
$x=\frac{-6+\sqrt3}{3}$ Point of minima
Minimum value $f\left(\frac{-6+\sqrt{3}}{3}\right)$
$=\left(\frac{-6+\sqrt{3}}{3}+1\right)\left(\frac{-6+\sqrt{3}}{3}+2\right) \left(\frac{-6+\sqrt{3}}{3}+3\right)$
$=\left(\frac{-6\sqrt{3}+3}{3}\right)\left(\frac{-6+\sqrt{3}+6}{3}\right)\left(\frac{-6+\sqrt{3}+9}{3}\right)$
$=-\left(\frac{3-\sqrt{3}}{3}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\left(\frac{3+\sqrt{3}}{3}\right)$
$=-\frac{(3)^2-(\sqrt{3})^2}{9}\times \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) $
$=-\frac{6}{9} \times \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{-2}{3\sqrt{3}}$
At $x=\frac{-6+\sqrt{3}}{3}$
$f''\left(\frac{-6-\sqrt{3}}{3}\right)=6\left(\frac{-6-\sqrt{3}}{3}\right)+12$
=-12-2√3+12
=-2√3<0
$x=\frac{-6-\sqrt{3}}{3}$ Point of maxima
Maximum value $f\left(\frac{-6-\sqrt{3}}{3}\right)$
$=\left(\frac{-6-\sqrt{3}}{3}+1\right)\left(\frac{-6-\sqrt{3}}{3}+2\right)\left(\frac{-6-\sqrt{3}}{3}+3\right)$
$=\left(\frac{-6-\sqrt{3}+3}{3}\right)\left(\frac{-6-\sqrt{3}+6}{3}\right)\left(\frac{-6-\sqrt{3}+9}{3}\right)$
$=-\left(\frac{3+\sqrt{3}}{3}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\left(\frac{3-\sqrt{3}}{3}\right)$
$=\frac{(3)^2-(\sqrt{3})^2}{9} \times \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$
$=\left(\frac{6}{9} \times \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$
$=\frac{2}{3\sqrt{3}}$
(vi) $\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-6x+8$
Sol :
माना f(x)$=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-6x+8$
Differentiating w.r.t x
f '(x)=x2-x-6
f '(x)=x2-3x+2x-6
=x(x-3)+2(x-3)
=(x-3)(x+2)
∴f '(x)=x2-x-6
Differentiating w.r.t x
f ''(x)=2x-1
At x=3
f ''(3)=2(3)-1
=6-1
=5>0
Minimum value=f(3)
$=\frac{3^3}{3}-\frac{3^2}{3}-6(3)+8$
$=9-\frac{9}{2}-18+8$
$=-1-\frac{9}{2}-\frac{-11}{2}$
At x=-2
f ''(x)=2(-2)-1
=-4-1
=-5<0
Maximum value$f(-2)=\frac{(-2)^3}{3}-\frac{(-2)^2}{2}-6(-2)+8$
$=\frac{-8}{3}-2+12+8$
$=\frac{-8}{3}+18$
$=\frac{-8+54}{3}=\frac{46}{3}$
(vii) $\frac{x^2-x-11}{x-5}$
Sol :
माना $f(x)=\frac{x^2-x-11}{x-5}$
Differentiating w.r.t x
$f'(x)=\frac{(2x-1)(x-5)-(x^2-x-11)}{(x-5)^2}$
$f'(x)=\frac{2x^2-10x-x+5-x^2+x+11}{(x-5)^2}$
$f'(x)=\frac{x^2-10x+16}{(x-5)^2}$
∴f '(x)=0
$\frac{x^2-10x+16}{(x-5)^2}=0$
x2-10x+16=0
x2-8x-2x+16=0
x(x-8)-2(x-8)=0
(x-8)(x-2)=0
x=2,8
f '(x) की चित्र योजना
Diagram
(i) x=2 पर, f '(x) +ve से -ve हो रहा है ।
∴x=2 point of maxima
Maximum value$f(x)=\frac{(2)^2-2-11}{2-5}$
$=\frac{4-2-1}{-3}=\frac{-9}{-3}$
=3
(ii) x=8 पर , f '(x) -ve से +ve हो रहा है ।
x=8 point of minima
Minimum value$f(8)=\frac{8^2-8-11}{8-5}$
$=\frac{64-19}{3}=\frac{45}{3}$
=15
(x) f(x)=x+1 , x∈(-1,1)
Sol :
Differentiating w.r.t x
f '(x)=1
अतः (-1,1) k , f(1) का कोई महन्तम या न्यूनतम मान नही है।
(xi) f(x)=x3+1
Sol :
Differentiating w.r.t x
f '(x)=3x2
∴f '(x)=0
3x2=0
x=0
f '(x) की चित्र योजना
Diagram
x=0 पर f '(x) का चिन्ह परिवर्तित नही हो रहा है ।
अतः f(x) मे कोई महन्तम या न्यूनतम मान नही है।
(xii) f(x)=(2x-1)2+3
Sol :
Differentiating w.r.t x
f '(x)=2(2x-1).2+0
f '(x)=4(2x-1)
∴f '(x)=0
4(2x-1)=0
2x-1=0
$x=\frac{1}{2}$
∵f '(x)=4(2x-1)
या f '(x)=8x-4
Again , differentiating w.r.t x
f ''(x)=8
At $x=\frac{1}{2}$ , $f''\left(\frac{1}{2}\right)=8>0$
$x=\frac{1}{2}$ point of minima
Minimum value $f\left(\frac{1}{2}\right)=\left(2\times \frac{1}{2}-1\right)^2+3$
=(0)2+3
=3
Question 3
(i) Find the maximum value of $\frac{\log x}{x}$ का मान्तम मान निकाले ।
Sol :
माना $f(x)=\frac{\log x}{x}$
Differentiating w.r.t x
$f'(x)=\dfrac{\frac{1}{x}\times x-\log x . 1}{x^2}$
$f''(x)=\frac{1-\log x}{x^2}$
∴f '(x)=0
$\frac{1-\log x}{x^2}=0$
1-logx=0
-logx=-1
x=e
f '(x) की चित्र योजना
Diagram
x=e पर , f '(x) +ve से -ve हो रहा है ।
x=e point of maxima
Maximum value$f(e)=\frac{\log e}{e}=\frac{1}{e}$
(ii) Find the minimum value of xx का न्यूनतम मान निकाले ।
Sol :
माना f(x)=xx
Taking log both sides
log f(x) =log xx
log f(x)=xlog x
Differentiating w.r.t x
$\frac{1}{f(x)}\times f'(x)=1.log x+x \times \frac{1}{x}$
f '(x)=f(x) [log x+1]
∴f '(x)=0
xx [log x+1]=0
log x+1=0
log x=-1
x=e-1
$x=\frac{1}{e}$
f '(x) की चित्र योजना
Diagram
$x=\frac{1}{e}$ पर ,f '(x) -ve से +ve हो रहा है ।
$x=\frac{1}{e}$ point of minima
Minimum value $f\left(\frac{1}{e}\right)=\left(\frac{1}{e}\right)^{\frac{1}{e}}$
Question 4
निम्नलिखित फलनो का उच्चतम और निम्नतम मान निकाले , यदि कोई हो
[Find the maximum and minimum value , if any of the following functions given by]
(i) f(x)=3+|x|
Sol :
|x|≥0
दोनो तरफ 3 जोड़ने पर ,
3+|x|≥3
f(x)≥3
Minimum value=3; at x=0
(ii) f(x)=-|x+1|+3
Sol :
|x+1|≥0
-|x+1|≤0
दोनो तरफ 3 जोड़ने पर ,
-|x+1|+3≤3
f(x)≤3
Maximum value=3
at x=-1
(iii) f(x)=|x-1|
|x-1|≥0
f(x)≥0
Minimum value=0
at x=1
Question 5
यदि लाभ फलन P(x)=41-24x-18x2 से प्रदत्त है तो किसी कंपनी द्वारा अर्जित उच्चतम लाभ ज्ञात कीजिए ।
Sol :
P(x)=41-24x-18x2
Differentiating w.r.t x
P'(x)=-24-36x
∴P'(x)=0
-24-36x=0
-36x=24
$x=\frac{24}{36}=-\frac{2}{3}$
∵f '(x)=-24-36x
Again , differentiating w.r.t x
f ''(x)=-36
At $x=-\frac{2}{3}$
$f''\left(-\frac{2}{3}\right)=-36<0$
∴$x=-\frac{2}{3}$ point of maxima
Maximum Profit$P\left(-\frac{2}{3}\right)=41-24\left(-\frac{2}{3}\right)-18\left(-\frac{2}{2}\right)^2$
=41+16$-18\left(\frac{4}{9}\right)$
=41+16-8
=49
Question 6
निम्नलिखित फलनो के स्थानीय उच्चतम औऱ निम्नतम बिन्दुएँ यदि कोई हो तो निकाले । स्थानीय उच्चतम और निम्नतम मान भी निकाले ।
(i) f(x)=sin2x-x , $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$
Sol :
Differentiating w.r.t x
f '(x)=2cos2x-1
∴ f '(x)=0
2cos2x-1=0
$cos2x=\frac{1}{2}$
$\cos 2x=\cos \frac{\pi}{3}$
[यदि cosθ=cos⍺ हो , θ=2πr±⍺ , n∈z]
2x=2nπ±$\frac{\pi}{3}$,n∈z
$x=\pm \frac{\pi}{6}$
$x=-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}$
∵f '(x)=2cos2x-1
Again , Differentiating w.r.t x
f ''(x)=-4sin2x
at $x=-\frac{\pi}{6}$
$f''\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-4sin2\left(-\frac{\pi}{6}\right)$
$=4\sin \frac{\pi}{3}$
$=4\times \frac{\sqrt{3}}{2}$
=2√3>0
∴$-x=-\frac{\pi}{6}$ स्थानीय निम्नतम बिंदु है ।
स्थानीय निम्नतम मान$=f\left(-\frac{\pi}{6}\right)$
$=\sin 2 \left(-\frac{\pi}{6}\right)-\left(-\frac{\pi}{6}\right)$
$=-\sin \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}$
$=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{6}$
At $x=\frac{\pi}{6}$
$f''\left(\frac{\pi}{6}\right)=-4\sin 2\left(\frac{\pi}{6}\right)$
$=-4\times \frac{\sqrt{3}}{2}$
=-2√3<0
∴$x=\frac{\pi}{6}$ स्थानीय महन्तम बिन्दु है ।
स्थानीय महन्तम मान$=f\left(\frac{\pi}{6}\right)$
$=\sin 2\left(\frac{\pi}{6}\right)-\frac{\pi}{6}$
$=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi}{6}$
(ii) f(x)=2sinx-x ,$-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$
Sol :
Differentiating w.r.t x
f '(x)=2cosx-1
∴f '(x)=0
2cosx-1=0
$\cos x=\frac{1}{2}$
$\cos x=\cos \frac{\pi}{3}$
[यदि cosθ=cos⍺ हो , θ=2πr±⍺ , n∈z]
x=2nπ±$\frac{\pi}{3}$,n∈z
n=0 पर,
$x=-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}$
∵f '(x)=2cosx-1
Again , differentiating w.r.t x
f ''(x)=-2sinx
At $x=-\frac{\pi}{3}$
$f''\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-2\sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)$
$=2\sin \frac{\pi}{3}$
$=2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
=√3>0
$x=-\frac{\pi}{3}$ Local point of minima
Local minimum value $=f\left(-\frac{\pi}{3}\right)=2\sin \left(-\frac{\pi}{3}\right) -\left(-\frac{\pi}{3}\right)$
$=-2\sin \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}$
$=-2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{3}$
$=-\sqrt{3}+\frac{\pi}{3}$
At $x=\frac{\pi}{3}$
$f''\left(\frac{\pi}{3}\right)=-2\sin \frac{\pi}{3}$
$=-2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
=-√3<0
$x=\frac{\pi}{3}$ Local point of maxima
Local maximum value $=f\left(\frac{\pi}{3}\right)$
$=2\sin \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}$
$=2\times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi}{3}$
$=\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}$
(iii) f(x)=sinx(1+cosx); $0\leq x \leq \frac{\pi}{2}$
Sol :
Differentiating w.r.t x
f '(x)=cosx(1+cosx)+sinx(-sinx)
=cosx+cos2x-sin2x
=cosx+cos2x
∴f '(x)=0
cos2x+cosx=0
$2\cos \frac{3x}{2}\cos \frac{x}{2}=0$
$\begin{array}{l|l}\cos \frac{3x}{2}=0& \cos \frac{x}{2}=0\end{array}$
[यदि cosθ=0 हो , θ=$(2n+1)\frac{\pi}{2}$ , n∈z]
$\frac{3x}{2}=(2n+1)\frac{\pi}{2}$ ,n∈z
$x=(2n+1)\frac{\pi}{3}$ ,n∈z
$\frac{\pi}{2}=(2n+1)\frac{\pi}{2}$ ,n∈z
x=(2x+1)π , n∈z
n=0 पर ,
x=π∉$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$
n=0 पर ,
$x=\frac{\pi}{3}$
∵f '(x)=cos2x+cosx
Differentiating w.r.t x
f ''(x)=-2sin2x-sinx
At $x=\frac{\pi}{3}$
$f''\left(\frac{\pi}{3}\right)=-2\sin2\left(\frac{\pi}{3}\right)-\sin \frac{\pi}{3}$
$=-2\sin \left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$=-2 \sin \frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$=-2\times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$=\frac{-3\sqrt{3}}{2}<0$
∴$x=\frac{\pi}{3}$ Local point of maxima
Local maximum value $=f\left(\frac{\pi}{3}\right)$
$=\sin \frac{\pi}{3} \left(1+\cos \frac{\pi}{3}\right)$
$=\frac{\sqrt{3}}{2} \left(1+ \frac{1}{2}\right)$
$=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}$
$=\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$
(iv) f(x)=sinx+cosx , $0<x<\frac{\pi}{2}$
Sol :
Differentiating w.r.t x
f '(x)=cosx-sinx
∴f '(x)=0
cosx-sinx=0
-sinx=-cosx
tanx=1
$\tan x=\tan \frac{\pi}{4}$
[यदि tanθ=tan⍺ हो , θ=nπ+⍺ , n∈z]
$x=n\pi+\frac{\pi}{4}$ ,n∈z
n=0 पर , $x=\frac{\pi}{4}$
∵f '(x)=cosx-sinx
Again ,differentiating w.r.t x
f ''(x)=-sinx-cosx
At $x=\frac{\pi}{4}$
$f''\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\sin \frac{\pi}{4}-\cos \frac{\pi}{4}$
$=-\frac{1}{\sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}}$
$=-\frac{2}{\sqrt{2}}$<0
$x=\frac{\pi}{4}$ स्थानीय महन्तम बिंदु है ।
स्थानीय महन्तम मान$=f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin \frac{\pi}{4}+\cos \frac{\pi}{4}$
$=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}$
=√2
(v) f(x)=sinx-cosx,0<x<2π
Sol :
Differentiating w.r.t x
f '(x)=cosx+sinx
∴f '(x)=0
cosx+sinx=0
sinx=-cosx
tanx=-1
$\tan x=\tan \left(-\frac{\pi}{4}\right)$
[यदि tanθ=tan⍺ हो , θ=nπ+⍺ , n∈z]
$x=2\pi +\left(-\frac{\pi}{4}\right)$, n∈z
या $x=n\pi-\frac{\pi}{4}$, n∈z
$\begin{array}{l|l}n=1&n=2\\x=\frac{3\pi}{4}&x=\frac{7\pi}{4}\end{array}$
∵f '(x)=cosx+sinx
Again , differentiating w.r.t x
f ''(x)=-sinx+cosx
At $x=\frac{3\pi}{4}$
$f''\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\sin \frac{3\pi}{4}+\cos \frac{3\pi}{4}$
$=-\sin \left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)+\cos \left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)$
$=-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{2}{\sqrt{2}}$
=√2<0
∴$x=\frac{3\pi}{4}$ point of local maxima
Local maximum value $=f\left(\frac{3\pi}{4}\right)\sin\frac{3\pi}{4}-\cos \frac{3\pi}{4}$
$=\sin \left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)-\cos\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)$
$=\sin \frac{\pi}{4}+\cos \frac{\pi}{4}$
$=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}$
=√2
At $x=\frac{7\pi}{4}$
$f''\left(\frac{7\pi}{4}\right)=-\sin \frac{7\pi}{4}+\cos \frac{7\pi}{4}$
$=\sin \left(2\pi-\frac{\pi}{4}\right)+\cos \left(2\pi-\frac{\pi}{4}\right)$
$=\sin \frac{\pi}{4}+\cos \frac{\pi}{4}$
$=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}$
$=\frac{2}{\sqrt{2}}$
=√2>0
∴$x=\frac{7\pi}{4}$ Point of local minima
Local minimum value $=f\left(\frac{7\pi}{4}\right)$
$=\sin \frac{7\pi}{4}-\cos \frac{7\pi}{4}$
$=\sin \left(2\pi-\frac{\pi}{4}\right)-\cos \left(2\pi-\frac{\pi}{4}\right)$
$=-\sin \frac{\pi}{4}-\cos \frac{\pi}{4}$
$=-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{-2}{\sqrt{2}}$
=-√2
(vi) f(x)=sinx+5, 0<x<π
Sol :
Differentiating w.r.t x
f '(x)=2cos2x
2cos2x=0
cos2x=0
[यदि cosθ=0 हो , θ=$(2n+1)\frac{\pi}{2}$ , n∈z]
$2x=(2n+1)\frac{\pi}{2}$,n∈z
$x=(2n+1)\frac{\pi}{4}$,n∈z
n=0 पर,
$x=\frac{\pi}{4}$
∵f '(x)=2cos2x
Differentiating w.r.t x
f ''(x)=-4sin2x
At $x=\frac{\pi}{4}$
$f''\left(\frac{\pi}{4}\right)=-4sin 2 \left(\frac{\pi}{4}\right)$
=-4(1)
=-4<0
∴$x=\frac{\pi}{4}$ point of local maxima
Local maximum value$f\left(\frac{\pi}{4}\right)$
$=\sin 2\left(\frac{\pi}{4}\right)+5$
=1+5
=6
Question 7
दिखाएँ कि निम्नलिखित फलनो के न तो महन्तम मान है और ना न्यूनतम मान है ।
[Show that the following functions have neither maximum nor minimum values]
(i) e-x
Sol :
Let f(x)=e-x
Differentiating w.r.t x
f '(x)=-e-x
∴f '(x)=0
-e-x=0
e-x=0
x∉R
∴f (x) does not have a maximum or minimum value
(ii) ex
(iii) $\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}x+5$
Sol :
माना $f(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}x+5$
Differentiating w.r.t x
f '(x)=x2-x+1
∴f '(x)=0
x2-x+1=0
$x=\frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\times 1\times 1}}{2\times 1}$
$=\frac{1\pm \sqrt{-3}}{2}$∉R
∴f(x) does not have any maximum or minimum value .
(iv) loge(x+1)
Sol :
माना f(x)=loge(x+1)
Differentiating w.r.t x
$f'(x)=\frac{1}{x+1}$
∴f '(x)=0
$\frac{1}{x+1}=0$
x∉R
∴f(x) does not have any maximum or minimum value .
Question 8
(i) ऐसी दो धन संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 15 है और जिनके वर्गो का योग न्यूनतम है ।
Sol :
माना पहली धन संख्या x है ।
दूसरी धन संख्या=15-x
प्रशन से,
दोनो धन संख्याओ मे वर्गो कायोग
P=x2-x+1=0
Differentiating w.r.t x
$\frac{dP}{dx}=2x+2(15-x)(-1)$
$\frac{dP}{dx}=2x-30+2x$
$\frac{dP}{dx}=4x-30$
∴$\frac{dP}{dx}=0$
4x-30=0
4x=30
$x=\frac{30}{4}=\frac{15}{2}$
∵$frac{dP}{dx}=4x-30$
Again , differentiating w.r.t x
$\frac{d^2P}{dx^2}=4$
At $x=\frac{15}{2}$
$x=\frac{15}{2}$ point of minima
पहली संख्या $=\frac{15}{2}$
दूसरी संख्या=15-x
$=15-\frac{15}{2}=\frac{15}{2}$
(ii) ऐसी दो धन संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 16 है और जिनके घनो का योग न्यूनतम हो ।
Sol :
माना पहली धन संख्या=x
दूसरी धन संख्या=16-x
प्रश्न से ,
दोनो संख्याओ के घनो का योग
P=x3+(11-x)3
Differentiate w.r.t x
$\frac{dP}{dx}=3x^2+3(16-x)^2(-1)$
$\frac{dP}{dx}=3x^2-3(16^2-2.16.x+x^2)$
$\frac{dP}{dx}=3x^2-768+96x-3x^2$
$\frac{dP}{dx}=96x-768$
∴$\frac{dP}{dx}=0$
96x-768=0
96x=768
$x=\frac{768}{96}$
x=8
∵$\frac{dP}{dx}=96x-768$
Differentiating w.r.t x
$\frac{d^2p}{dx^2}=96$
At x=8
$\frac{d^2P}{dx^2}=96>0$
x=8 point of minima
पहली संख्या=8 ,
दूसरी संख्या=16-x
=16-8
=8
(iii) ऐसी दो धन संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए ताकि x+y=60 और xy3
उच्चतम हो ।
Sol :
x+y=60
y=60-x..(i)
माना, P=xy3
P=x(60-x)3 (समीकरण (i) से)
Differentiating w.r.t x
$\frac{dP}{dx}=1(60-x)^3+x.3(60-x)^2.(-1)$
=(60-x)2[60-x-3x]
$\frac{dP}{dx}=(60-x)^2(60-4x)$
∴$\frac{dP}{dx}=0$
=(60-x)2[60-4x]=0
$\begin{array}{l|l}(60-x)^2=0&60-4x=0\\x=60&x=15\end{array}$
x=60 लेने पर y=0 होगा ।
∴x=15
$\frac{dP}{dx}=(60-x)^2(60-4x)$
Again , Differentiating w.r.t x
$\frac{d^2P}{dx^2}=2(60-x)(-1)(60-4x)+(60-x)^2(-4)$
$\frac{d^2P}{dx^2}=-2(60-x)[60-4x+2(60-x)]$
$\frac{d^2P}{dx^2}=-2(60-x)(180-6x)$
At x=15
$\frac{d^2P}{dx^2}=-2(60-15)(180-6\times 15)$
=-2×45×90<0
x=15 point of maxima
x=15
∴y=60-15
=45
(iv) ऐसी दो धन संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 24 है और जिनके गुणनफल उच्चतम हो ।
Sol :
माना पहली संख्या=x
दूसरी संख्या=24-x
प्रश्न से ,
दोनो संख्याओ का गुणंनफल
P=x(24-x)
P=24x-x2
Differentiating w.r.t x
$\frac{dP}{dx}=24-2x$
∴$\frac{dP}{dx}=0$
24-2x=0
x=12
$\frac{dP}{dx}=24-2x$
Again , differentiating w.r.t x
$\frac{d^2P}{dx^2}=-2$
At, x=12
$\frac{d^2P}{dx^2}=-2<0$
x=12 point of maxima
पहली संख्या=12
दूसरी संख्या=24-x
=24-12
=12
(v) ऐसी दो धन संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए जिनका योग 35 हो और गुणनफल x2y5 उच्चतम हो ।
Sol :
Question 9
ऐल्यूमिनियम का 3m×8m का आयताकार चादर के प्रत्येक कोने से समान वर्ग काटने पर बने एल्यूमिनियम के फलको को मोड़कर ढक्कन रहित एक संदूक बनाना है । इस प्रकार बने संदूक का अधिकतम आयतन ज्ञात कीजिए ।
Sol :
Diagram to be added
माना ऐल्यूमिनियम के आयताकार चादर के प्रत्येक कोने से x m भुजा वाला वर्ग काटा गया है ।
संदूक की विमाएँ ;
लंबाइ , l=(3-2x)m
चाैड़ाई ,b=(8-2x)m
ऊँचाई, h=x m
संदूक का आयतन, v=l×b×h
=(3-2x)(8-2x)x
Differentiating w.r.t x
$\frac{dv}{dx}=-2(8-2x)+(3-2x)(-2)x+(3-2x)(8-2x)$
$\frac{dv}{dx}=-16x+4x^2-6x+4x^2+24-6x-16x+4x^2$
$\frac{dv}{dx}=12x^2-44x+24$
∴$\frac{dv}{dx}=0$
12x2-44x+24=0
4(3x2-11x+6=0)
3x2-11x+6=0
3x2-9x-2x+6=0
3x(x-3)-2(x-3)=0
(x-3)(3x-2)=0
$\begin{array}{l|l}x-3=0&3x-2=0\\x=3&x=\frac{2}{3}\end{array}$
x=3 लेने पर संदूक बनाना संभव नही है ।
$x=\frac{2}{3}$
$\frac{dv}{dx}=12x^2-44x+24$
Differentiating w.r.t x
$\frac{d^2v}{dx^2}=24x-44$
$x=\frac{2}{3}$
$\frac{d^2v}{dx^2}=24\left(\frac{2}{3}\right)-44$
=16-44
=-28<0
$x=\frac{2}{3}$ point of maxima
महन्तम आयतन , v=(3-2x)(8-2x)x
$v=\left[3-2\left(\frac{2}{3}\right)\right]\left[8-2\left(\frac{2}{3}\right)\right]\times \frac{2}{3}$
$=\left[\frac{9-4}{3}\right]\left[\frac{24-4}{3}\right]\frac{2}{3}$
$=\frac{5}{3}\times \frac{20}{3}\times \frac{2}{3}$
$=\frac{200}{27}cm^3$
Question 10
18cm भूजा के टिन के किसी वर्गाकार टुरड़े से प्रत्येक कोने पर समान वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बने टिन के फलको को मोड़ कर ढक्कन रहित एक संदूक बनाना है । काटे जाने वाले वर्ग की भुजा कितनी होगी जिससे संदूक का आयतन उच्चतम हो ।
Sol :
Diagram to be added
18cm भुजा कोने से काटे गए वर्ग की भुजा x cm है ।
संदूक की विमाएँ,
लंबाइ , l=(18-2x)m
चाैड़ाई ,b=(18-2x)m
ऊँचाई, h=x m
संदूक का आयतन, v=l×b×h
=(18-2x)(18-2x)x
=(18-2x)2x
Differentiating w.r.t x
$\frac{dy}{dx}=2(18-2x)(-2)x+(18-2x)^2$
$\frac{dy}{dx}=(18-2x)[-4x+18-2x]$
$\frac{dv}{dx}=(18-2x)(18-6x)$
∴$\frac{dv}{dx}=0$
(18-2x)(18-6x)=0
$\begin{array}{l|l}18-2x=0&18-6x=0\\x=9&x=3\end{array}$
x=9 लेने पर संदूक बनाना संभव नही है ।
x=3
$\frac{dv}{dx}=(18-2x)(18-6x)$
Again , differentiating w.r.t x
$\frac{d^2v}{dx^2}=-2(18-6x)+(18-2x)-6$
=-36+12x-108+12x
$\frac{d^2v}{dx^2}=144+24x$
At ,x=3
$\frac{d^2v}{dx^2}=-144+24(3)$
=-144+72
=-72<0
x=3 point of maxima
प्रत्येक कोने से काटे गए वर्ग की भुजा=3cm
Question 11
45cm×24cm की टन की आयताकार चादर के कोनो पर समान वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बने टिन के फल्को को मोड़कर ढक्कन रहित एक संदूक बनाना है । काटे जाने वाले की भुजा कितनी रहगी जिससे संदूक का आयतन उच्चतम हो ?
Sol :
Question 13
साबित करे कि नियत आयतन वासा बेलन जो उपर से खुला है का संपूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल न्यूनतम होता है यदि इसकी ऊँचाई इसके आधार की त्रिज्या के बराबर है ।
Sol :
Diagram to be added
माना बेलन की त्रिज्या r तथा ऊँचाई h है ।
बेलन का आयतन=k
πr2h=k
$h=\frac{k}{\pi r^2}$..(i)
बेलन का संपूर्ण क्षेत्रफल S=2πrh+πr2
$S=2\pi r \left(\frac{k}{\pi r^2}\right)+\pi r^2$
$S=\frac{2k}{r}+\pi r^2$
Differentiating w.r.t r
$\frac{ds}{dr}=-\frac{2k}{r^2}+2\pi r$
∴$\frac{ds}{dr}=0$
$-\frac{2k}{r^2}+2\pi r=0$
$2\pi r=\frac{2k}{r^2}$
πr3=k
$r=\left(\frac{k}{\pi}\right)^{\frac{1}{3}}$
∵$\frac{ds}{dr}=-\frac{2k}{r^2}+2\pi r$
Again , Differentiating w.r.t x
$\frac{d^2 s}{dr^2}=\frac{4k}{r^3}+2\pi$
At , $r=\left(\frac{k}{\pi}\right)^\frac{1}{3}$
$\frac{d^2 s}{sr^2}=\frac{4k}{\left(\frac{k}{\pi}\right)^{\frac{1}{3}\times 3}}+2\pi$
=6π>0
∴$r=\left(\frac{k}{\pi}\right)^{\frac{1}{3}}$ point of minima
$r=\left(\frac{\pi r^2 h}{\pi}\right)^{\frac{1}{3}}$
r3=r2h
r=h
Question 14
समकोण त्रिभुज की भुजाओ से a और b दूरी पर त्रिभुज के कर्ण पर स्थित एक बिन्दु है । सिद्ध कीजिए कि कर्ण की न्यूनतम लंबाई $\left(a^{2/3}+b^{2/3}\right)^{\frac{3}{2}}$ है ।
Sol :
Diagram
माना समकांण त्रिभुज ABC का कोण B समकोण है ।
P कर्ण AC पर स्थित एक बिंदु है । जो भुजा BC तथा AB से क्रमशः a तथा b दूरी पर है ।
माना ∠A=θ
∠CPS=∠A (संगत कांण)
ΔARP मे ,
$\sin \theta =\frac{b}{AP}$
$AP=\frac{b}{\sin \theta}=b \text{cosec} \theta$
ΔCPS मे ,
$\cos \theta =\frac{a}{CP}$
$CP=\frac{a}{\cos \theta}=a \sec \theta$
कर्ण AC=AP+CP
AC=bcosecθ+asecθ
Differentiating w.r.t θ
$\frac{d(AC)}{d\theta}=-b\text{cosec} \theta . \cot \theta+a\sec \theta . \tan \theta$
$=-b\frac{1}{\sin \theta}\times \frac{\cos \theta}{\sin \theta}+a\times \frac{1}{\cos \theta }\times \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
$=\frac{-b \cos^3 \theta +a \sin^3 \theta}{sin^2 \theta \cos ^2 \theta}$
∴$\frac{d(AC)}{d\theta}=0$
$\frac{-b\cos^3 \theta+a\sin^3 \theta}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta}=0$
-bcos3θ+asin3θ=0
asin3θ=bcos3θ
$\frac{\sin ^3 \theta}{\cos ^3 \theta}=\frac{b}{a}$
$\tan ^3 \theta =\frac{b}{a}$
$\tan \theta =\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{3}}$
∵ $\frac{d(AC)}{d\theta}=-b\text{cosec} \theta \cot \theta +a \sec \theta \tan \theta$
Differentiating w.r.t x
$\dfrac{d^2(AC)}{d\theta ^2}=$-b[-cosecθcotθ.cotθ+cosecθ(-cosec2θ)]+a[secθtanθ.tanθ+secθ.sec2θ]
=bcosecθcot2θ+bcosec3θ+asecθtan2θ+asec3θ
At $\tan \theta =\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{3}}$
$\frac{d^2(AC)}{d\theta ^2}=0$
$\tan \theta =\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{3}}$ पर कर्ण (AC) निम्नतम होगा ।
AC=bcosecθ+asecθ
$=b\sqrt{1+\cot ^2 \theta}+a\sqrt{1+\tan^2 \theta}$
$=b\sqrt{1+\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{2}{3}}}+a\sqrt{1+\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{2}{3}}}$
$=b\sqrt{\frac{b^{\frac{2}{3}}+a^{\frac{2}{3}}}{b^{\frac{2}{3}}}}+a\sqrt{\frac{a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}}}$
$=b\dfrac{\left(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{3}}}+a\dfrac{\left(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{3}}}$
AC$=b^{\frac{2}{3}}\left(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}+a^{\frac{2}{3}}\left(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}$
AC$=\left(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}\left(b^{\frac{2}{3}}+a^{\frac{2}{3}}\right)^{1}$
AC$=\left(a^{frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}$
Question 15
100cm3 आयतन वाले डिब्बे सभी बंद बेलनाकार(लंब वृत्तीय) डिब्बो मे से न्यूनतम पृष्ठ क्षेत्रफल वाले डिब्बे की विमाएँ ज्ञात कीजिए ।
Sol :
Diagram to be added
माना बेलन की त्रिज्या r तथा ऊचाई h है ।
बेलन का आयतन, v=100cm3
πr2h=100cm3
$h=\frac{100}{\pi r^2}$..(i)
बेलन का पृष्टीय क्षेत्रफल S=2πrh+2πr2
$S=2\pi r\left(\frac{100}{\pi r^2}\right)+2\pi r^2$
$S=\frac{200}{r}+2\pi r^2$
Differentiating w.r.t r
$\frac{ds}{dr}=\frac{-200}{r^2}+4\pi r$
∴$\frac{ds}{dr}=0$
$-\frac{200}{r^2}+4\pi r=0$
$4\pi r=\frac{200}{r^2}$
4πr3=200
$r^3=\frac{50}{\pi}$
$r=\left(\frac{50}{\pi}\right)^{\frac{1}{3}}$
∵$\frac{ds}{dr}=-\frac{200}{r^2}+4\pi r$
Again , differentiating w.r.t r
$\frac{d^2 s}{dr^2}=\frac{400}{r^3}+4\pi$
At $r=\left(\frac{50}{\pi}\right)^{\frac{1}{3}}$
$\frac{d^2s}{dr^2}=\frac{400}{\left(\frac{50}{\pi}\right)^{\frac{1}{3}\times 3}} +4\pi$
=12π>0
$r=\left(\frac{50}{\pi}\right)^{\frac{1}{3}}$
पर पृष्टीय क्षेत्रफल निम्नतम होगा ।
त्रिज्या , $r=\left(\frac{50}{\pi}\right)^{\frac{1}{3}}$
∴$h=\frac{100}{\pi r^2}$ from (i)
Question 16
(i) आयत के ऊपर बने अर्धवृत्त वाली एक खिड़की है । यदि खिड़की का संपूर्ण परिमाप p cm है । दिखाएँ कि खिड़की से महत्तम प्रकाश आयेगा तभी अर्धवृत की त्रिज्या $\frac{p}{\pi +4}cm$ है ।
Sol :
माना ABCDE एक खिड़की है ।
AB=2x , BC=2y
खिड़की का परिमाप=p cm
2x+2y+πx+2y=p cm
2x+4y+πx=p cm
4y=p-2x-πx..(i)
खिड़की का क्षेत्रफल ,A=2x.2y+$\frac{1}{2}$πx2
A=4xy+$\frac{1}{2}$πx2
A=x(P-2x-πx)+$\frac{1}{2}$πx2
A=Px-2x2-πx2+$\frac{1}{2}$πx2
A=Px-2x2-$\frac{1}{2}$πx2
Differentiating w.r.t x
$\frac{dA}{dx}=P-4x-\pi r$
P-4x-πx=0
P=x(4+π)
$x=\frac{P}{\pi+4}$
∵$\frac{dA}{dx}=P-4x-\pi x$
Again , differentiating w.r.t x
$\frac{d^2 A}{dx^2}=-4-\pi$
=-(4+π)
At $x=\frac{P}{\pi+4}$
$\frac{d^2 A}{dx^2}=-(4+\pi)<0$
$x=\frac{P}{\pi +4}$ point of maxima
$x=\frac{P}{\pi +4}$ पर खिड़की से प्रकाश अधिक जाएगा खिड़की की त्रिज्या $=\frac{P}{\pi +4}$cm
(ii) किसी आयत के उपर बने अर्धवृत्त के आकार वाली खिड़की है । खिड़की का संपूर्ण परिमाप 10m है । महत्तम प्रकाश आने के लिए खिड़की की विमाएँ ज्ञात कीजिए ।
Sol :
Diagram to be added
माना ABCD एक खिड़की है ।
AB=2x , BC=2
खिड़की का परिमाप=10m
2x+2y+πx+2y=10m
2x+4y+πx=10m
4y=10-2x-πx..(i)
खिड़की का क्षेत्रफल
A=2x.2y+$\frac{1}{2}$πx2
A=4xy+$\frac{1}{2}$πx2
A=x(10-2x-πx)+$\frac{1}{2}$πx2
A=10x-2x2-πx2+$\frac{1}{2}$πx2
A=10x-2x2-$\frac{1}{2}$πx2
Differentiating w.r.t x
$\frac{dA}{dx}=10-4x-\pi x$
∴$\frac{dA}{dx}=0$
10-4x-πx=0
10=πx+4x
10=(π+4)x
$x=\frac{10}{π+4}$
∵$\frac{dA}{dx}=10-4x-\pi x$
Again , differentiating w.r.t x
$\frac{d^2A}{dx^2}=-4-\pi $
=-(4+π)
At $x=\frac{10}{\pi +4}$
$\frac{d^2A}{dx^2}=-4-\pi <0$
$x=\frac{10}{\pi +4}$ point of maxima
$x=\frac{10}{\pi +4}$ पर , खिड़की से प्रकाश अधिक गुजरेगा ।
त्रिज्या$=\frac{10}{\pi +4 }$ m
लंबाई=2x
$=2\times \frac{10}{\pi +4}$
$=\frac{20}{\pi +4}$ m
चौड़ाई=2y
$=2\times \frac{1}{4} (10-2x-\pi x)$
$=\frac{1}{2}[10-(2+\pi)x]$
$=\frac{1}{2}\left[10-(2+\pi)\times \frac{20}{2(\pi +4)}\right]$
$=\frac{1}{2}\left[\frac{10\pi +40-20-20 \pi}{\pi +4}\right]$
$=\frac{1}{2}\left[\frac{20}{\pi +4}\right]$ m
$=\frac{10}{\pi +4}$ m
Question 17
(i) दिखाएँ कि r त्रिज्या के वृत के अन्तर्गत महतम परिमित वाला आयत r√2 भुजा वाला एक वर्ग होता है ।
Sol :
Diagram to be added
माना आयत की लंबाई x तथा चौड़ाई y है ।
वृत की त्रिज्या =r
AC=वृत की व्यास=2r
ΔABC मे,
AB2+BC2=AC2
x2+y2=(2r)2
y=√4r2-x2..(i)
आयत का परिमाप ,P=2(x+y)
P=2(x+√4r2-x2)
Differentiating w.r.t x
$\frac{dP}{dx}=2\left(1+\frac{1}{2\sqrt{4r^2-x^2}}\right) \times -2x$
$\frac{dP}{dx}=2\left(\frac{\sqrt{4r^2-x^2}-x}{\sqrt{4r^2-x^2}}\right)$
∴$\frac{dP}{dx}=0$
$2\left(\frac{\sqrt{4r^2-x^2}-x}{\sqrt{4r^2-x^2}}\right)=0$
$\sqrt{4r^2-x^2}-x=0$
$\sqrt{4r^2-x^2}=x$
दोनो तरफ वर्घ करने पर ,
4r2-x2=x2
2x2=4r2
x2=2r2
x=$\sqrt{2}$r
∵$\frac{dP}{dx}=2\left(\frac{\sqrt{4r^2-x^2}-x}{\sqrt{4r^2-x^2}}\right)$
Again , differentiating w.r.t x
$\frac{d^2P}{dx^2}=2\left[\dfrac{\left\{\frac{1}{2\sqrt{4r^2-x^2}}\times (-2x)-1 \right\} \sqrt{4r^2-x^2}-(4r^2-x^2-x^2)\times \frac{1}{\sqrt{4r^2-x^2}}\times (-2x)}{(\sqrt{4r^2-x^2})^2}\right]$
$=2\left[\dfrac{\left\{\frac{-x-\sqrt{4r^2-x^2}}{\sqrt{4r^2-x^2}}\right\}\sqrt{4r^2-x^2}+\frac{(\sqrt{4r^2-x^2})x}{\sqrt{4r^2-x^2}}}{4r^2-x^2}\right]$
$=2\left[\dfrac{\frac{(-x-\sqrt{4r^2-x^2})\sqrt{4r^2-x^2}+(\sqrt{4r^2-x^2})x}{\sqrt{4r^2-x^2}}}{4r^2-x^2}\right]$
$\frac{d^2P}{dx^2}=2\left[\frac{-x\sqrt{4r^2-x^2}-4r^2-x^2+x\sqrt{4r^2-x^2}-x^2}{(4r^2-x^2)\sqrt{4r^2-x^2}}\right]$
$\frac{d^2P}{dx^2}=\frac{-8r^2}{(4r^2-x^2)^{3/2}}$
At $x=\sqrt{2}r$
$\frac{d^2P}{dx^2}=\frac{-8r^2}{(4r^2-x^2)^{3/2}}$
$=\frac{-8r^2}{(2r^2)^{3/2}}<0$
$x=\sqrt{2}r$ पर , परिमाप महत्तम होगा ।
∵$y=\sqrt{4r^2-x^2}$ (from (i))
$y=\sqrt{4r^2-2r^2}$
$=\sqrt{2r^2}=\sqrt{2}r$
x=y$=\sqrt{2}r$
अतः ABCD एक वर्ग है ।
(iii) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के अंतर्गत उस समद्विबाहु त्रिभुज का महत्तम क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका शीर्ष दीर्घ अक्ष का एक सिरा है ।
Sol :
Diagram to be added
माना ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है । जिसका शीर्ष A दीर्घ अक्ष का सिरा है । A का निर्देशांक=(acosθ,bsinθ)
∴C का निर्देशांक=(acosθ ,-bsinθ)
ΔABC का क्षेत्रफल $A=\frac{1}{2}\times BC \times AM$
$A=\frac{1}{2}\times 2b\sin \theta \times (a-a\cos \theta)$
A=absinθ(1-cosθ)
A=ab(sinθ-sinθcosθ)
Differentiating w.r.t θ
$\frac{dA}{d\theta}=ab[\cos \theta -{\cos \theta .\cos theta +\sin \theta (- \sin \theta)}]$
$\frac{dA}{d\theta }=ab[\cos \theta -(\cos ^2 \theta -\sin ^2 \theta)]$
$\frac{dA}{d\theta}=ab[\cos \theta -\cos 2\theta]$
∴$\frac{dA}{d\theta}=0$
ab[cosθ-cos2θ]=0
cosθ-cos2θ=0
$2\sin \frac{\theta +2\theta}{2}\sin \frac{2\theta -\theta }{2}=0$
$\sin \frac{3\theta }{2}\sin \frac{\theta }{2}=0$
[यदि sinθ=0 , तो θ=nπ , n∈Z]
$\begin{array}{l|l}\sin \frac{3\theta }{2}=0& \frac{\sin \theta}{2}=0\\ \frac{3\theta}{2}=n\pi , n\in z & \frac{\theta}{2}=n\pi , n\in z\\ \theta=\frac{2n\pi}{3} ,n\in z&\theta =2n\pi , n\in z \\ \theta=\frac{2\pi}{3}& \theta \neq 2\pi \end{array}$
∵ $\theta =\frac{2\pi}{3}$
∵ $\frac{dA}{d\theta}=ab(\cos \theta-\cos 2\theta)$
Again ,differentiating w.r.t θ
$\frac{d^2A}{d\theta ^2}=ab(-\sin \theta +2\sin 2\theta)$
At $\theta =\frac{2\pi}{3}$
$\frac{d^2A}{d\theta^2}=ab\left[-\sin \frac{2\pi}{3}+2\sin 2\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right]$
$=ab\left[-\sin \left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)+2\sin \left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)\right]$
$=ab\left[-\sin \left(\frac{\pi}{3}\right)+2\sin \left(\frac{\pi}{3}\right)\right]$
$=ab\left(-3\sin \frac{\pi}{3}\right)$
$=ab\left(-3\sin \frac{\pi}{3}\right)$
$=ab\left(-3 \times \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$=\frac{-3\sqrt{3}}{2}ab<0$
$\theta =\frac{2\pi}{3}$ Point of maxima
Maximum Area ,A=absinθ(1-cosθ)
$=ab\times \sin \frac{2\pi}{3}\left(1-\cos \frac{2\pi}{3}\right)$
$=ab \sin \frac{\pi}{3}\left[1+\cos \frac{\pi}{3}\right]$
$=ab \times \frac{\sqrt{3}}{2}\left[1+\frac{1}{2}\right]$
$=ab \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$=\frac{3\sqrt{3}}{4}ab$
Question 18
दिखाएँ कि दिए हुए कर्ण वाले समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल महत्तम होता है जब त्रिभुज समद्विबाहू हो ।
Sol :
Diagram to be added
माना समकोण त्रिभुज का कर्ण a है ।
तथा अन्य दो भुजाएँ क्रमशः x तथा y है ।
ΔABC मे ,
AB2+BC2=AC2
x2+y2=a2
$y=\sqrt{a^2-x^2}$
समकोण ΔABC का क्षेत्रफल ,$A=\frac{1}{2}yx$
$A=\frac{1}{2}\sqrt{a^2-x^2}.x$
$A=\frac{1}{2}x\sqrt{a^2-x^2}$
Differentiating w.r.t x
$\frac{dA}{dx}=\frac{1}{2}\left[1.\sqrt{a^2-x^2+x.\frac{1}{2\sqrt{a^2-x^2}}\times (-2x)}\right]$
$\frac{dA}{dx}=\frac{1}{2}\left[\frac{a^2-2x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\right]$
∴$\frac{dA}{dx}=0$
$\frac{1}{2}\left[\frac{a^2-2x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\right]=0$
a2-2x2=0
-2x2=-a2
x2=$\frac{a^2}{2}$
$x=\sqrt{\frac{a^2}{2}}$
$x=\frac{a}{\sqrt{2}}$
$\frac{dA}{dx}=\frac{1}{2}\left[\frac{a^2-2x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\right]$
Again , differentiating w.r.t x
$\frac{d^2A}{dx^2}=\frac{1}{2}\left[\dfrac{-4x.\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{1}-(a^2-2x^2).\frac{1}{2\sqrt{a^2-x^2}}\times (-2x)}{(\sqrt{a^2-x^2})^2}\right]$
$\frac{d^2A}{dx^2}=\frac{1}{2}\left[\dfrac{\frac{-4x(a^2-x^2)+x(a^2-2x^2)}{\sqrt{a^2-x^2}}}{a^2-x^2}\right]$
$\frac{d^2A}{dx^2}=\frac{1}{2}\left[\frac{-4a^2x+4x^3+a^2x-2x^3}{(a^2-x^2)\sqrt{a^2-x^2}}\right]$
$\frac{d^2A}{dx^2}=\frac{1}{2}\left[\frac{-3a^2x+2x^3}{(a^2-x^2)\sqrt{a^2-x^2}}\right]$
At $x=\frac{a}{\sqrt{2}}$
$\frac{d^2A}{dx^2}=\frac{1}{2}\left[\dfrac{-3a^2\frac{a}{\sqrt{2}}+2\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^3}{\left(a^2-\frac{a^2}{2}\right)\sqrt{a^2-\frac{a^2}{2}}}\right]$
$\dfrac{d^2A}{dx^2}=\frac{1}{2}\left[\dfrac{\frac{-3a^3}{\sqrt{2}}+\frac{2a^3}{2\sqrt{2}}}{\frac{a^2}{2}\sqrt{\frac{a^2}{2}}}\right]$
$\frac{d^2A}{dx^2}=\frac{1}{2}\left[\dfrac{\frac{-2a^3}{\sqrt{2}}}{\frac{a^3}{2\sqrt{2}}}\right]$
$=\frac{1}{2}\times (-4)$
=-2<0
$x=\frac{a}{\sqrt{2}}$ पर क्षेत्रफल महन्तम होगा ।
$y=\sqrt{a^2-x^2}$
$=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{2}}$
$=\sqrt{\frac{a^2}{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}}$
∴x=y
अतः समकोण ΔABC का क्षेत्रफल महन्तम होगा यदि वह समद्विबाहु हो ।
Question 19
एक आयत r त्रिज्यावाले एक अर्धवृज के अन्तर्गत है जिसका एक भुजा अर्धवृत के व्यास पर है । आयत के विमा निकाले ताकि इसका क्षेत्रफल महत्तम हो । इसका क्षेत्रफल भी निकाले ।
Sol :
माना वृत्त की त्रिज्या r है तथा केन्द्र पर आयत के एक शीर्श द्वारा बना कोण θ है ।
ΔBOC मे ,
$\cos \theta =\frac{OB}{OC}$
$\cos theta =\frac{OB}{r}$
OB=rcosθ
$\sin \theta =\frac{BC}{DC}$
$\sin \theta =\frac{BC}{r}$
BC=rsinθ
आयत का क्षेत्रफल
A=AB×BC
A=2rcosθ.rsinθ
A=2r2cosθ.sinθ
Differentiating w.r.t θ
$\frac{dA}{d\theta }=2r^2\left[-\sin \theta \sin \theta +\cos \theta \cos \theta\right]$
$\frac{dA}{d\theta }=2r^2 \cos 2\theta$
∴$\frac{dA}{d\theta}=0$
2r2cosθ=0
cos2θ=0
$\cos 2\theta =\cos \frac{\pi}{2}$
$2\theta =\frac{\pi}{2}$
$\theta =\frac{\pi}{4}$
$\frac{dA}{d\theta}=2r^2\cos 2\theta$
Again , differentiating w.r.t θ
$\frac{d^2A}{d\theta ^2}=-2r^2\sin 2\theta \times 2$
$\frac{d^2A}{d\theta ^2}=-4r^2 \sin 2\theta $
At $\theta =\frac{\pi}{4}$
$\frac{d^2A}{d\theta ^2}=-4r^2 \sin 2\left(\frac{\pi}{4}\right)$
=-4r2<0
∴$\theta =\frac{\pi}{4}$ पर , क्षेत्रफल महत्तम होगा ।
लंबाई , AB=2rcosθ
$=2r\cos \frac{\pi}{4}$
$=2r \times \frac{1}{\sqrt{2}}$
$=\sqrt{2}r$
चौड़ाई , BC=rsinθ
$=r \sin \frac{\pi}{4}$
$=r \times \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{r}{\sqrt{2}}$
क्षेत्रफल=AB×BC
$=\sqrt{2}r \times \frac{r}{\sqrt{2}}$
=r2
Question 20
r cm के गोले के अन्तर्गत बेलन का महत्तम आयतन निकाले ।
Sol :
Diagram to be added
माना गोले को त्रिज्या r cm है ।
∠AOC=θ
ΔAOC मे,
$\cos \theta =\frac{OA}{DC}$
$\cos \theta =\frac{OA}{r}$
OA=rcosθ
AB=2×OA
=2rcosθ
$\sin \theta =\frac{AC}{OC}$
$\sin \theta =\frac{AC}{r}$
AC=rsinθ
बेलन का आयतन , V=π(AC)2.AB
V=π(rsinθ)2.(2rcosθ)
V=2πr3sin2θ.cosθ
Differentiating w.r.t θ
$\frac{dv}{d\theta}=2\pi r^3 \left[2\sin \theta . \cos \theta +\sin ^2 \theta (-\sin \theta)\right]$
$\frac{dv}{d\theta}=2\pi r^3 .\sin \theta (2\cos ^2 \theta -\sin ^2 \theta)$
∴$\frac{dv}{d\theta}=0$
2πr3sin2θ.cosθ(2cos2θ-sin2θ)
$\begin{array}{l|l}\sin \theta =0 &2\cos^2 \theta -\sin^2 \theta =0\\\theta =0 & -\sin ^2 \theta =-2\cos ^2 \theta \\ & \tan ^2 \theta =2\\& \tan \theta =\frac{\sqrt{2}}{1}\end{array}$
θ=0 पर आयतन भी 0 हो जाएगा ।
Diagram to be added
$\sin \theta =\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ , $\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{3}}$
∵$\frac{dv}{d\theta}=2\pi r^3 \sin \theta (2 \cos ^2 -\sin ^2 \theta )$
Again , differentiating w.r.t θ
$\frac{d^2v}{d \theta^2}=2\pi r^3 \left[\cos \theta (2\cos ^2 \theta -\sin ^2 \theta)+\sin \theta (4\cos \theta (-\sin \theta )-2\sin \theta .\cos \theta )\right]$
$\frac{d^2v}{d \theta^2}=2\pi r^3 \left[2\cos ^3 \theta -\sin^2 \theta \cos \theta -4\sin ^2 \theta \cos \theta -2 \sin ^2 \theta \cos theta \right]$
$\frac{d^2v}{d \theta^2}=2\pi r^3 \left[2\cos ^3 \theta -5 \sin ^2 \theta \cos \theta \right]$
At $\sin \theta =\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ , $\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{3}}$
$\frac{d^2v}{d \theta^2}<0$
∴$\sin \theta =\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ , $\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{3}}$ पर आधनन महत्तम होगा ।
आयतन=2πr3sin2θ.cosθ
$=2\pi r^3 \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2.\frac{1}{\sqrt{3}}$
$=2\pi r^3 \frac{2}{3}\times \frac{1}{\sqrt{3}}$
$=\frac{4\pi r^3}{3\sqrt{3}}cm^3 $
Question 21
सिद्ध कीजिए कि न्यूनतम पृष्ठ के लंब वृत्तीय शंकु का आयतन , गोले के आयतन $\frac{8}{27}$ होता है ।
Sol :
Diagram to be added
माना OB=x cm
$BC=\sqrt{OC^2-OB^2}$
$=\sqrt{R^2-x^2}$
शंकु की ऊँचाई , AB=OA+OB
=R+x
शंकु की आयतन, $v=\frac{1}{3}\pi (BC)^2 (AB)$
$v=\frac{1}{3}\pi (\sqrt{R^2-x^2}).(R+x)$
$v=\frac{1}{3}\pi (R^2-x^2)(R+x)$
$v=\frac{1}{3}\pi (R^3+R^2x-Rx^2-x^3)$
Differentiating w.r.t x
$\frac{dv}{dr}=\frac{1}{3}\pi (R^2-2Rx-3x^2)$
∴$\frac{dv}{dx}=0$
$\frac{1}{3}\pi (R^2-2Rx-3x^2)=0$
R2-2Rx-3x2=0
R(R-3x)+x(R-3x)=0
(R-3x)(R+x)=0
$\begin{array}{l|l}R-3x=0& R+x=0\\x=\frac{R}{3}&x=-R\\&x=-R\end{array}$
∴$x=\frac{R}{3}$
∵$\frac{dv}{dx}=\frac{1}{3}\pi (R^2-2Rx-3x^2)$
Again , differentiating w.r.t x
$\frac{d^2v}{dx^2}=\frac{1}{3}\pi (-2R-6x)$
$=-\frac{1}{3}\pi (2R+6x)$
$=-\frac{1}{3}\pi (2R+6 \times \frac{R}{3})$
$=-\frac{4}{3}\pi R<0$
∴$x=\frac{R}{3}$ पर आयतन महत्तम है ।
शंकु का आयतन$=\frac{1}{3}\pi (R^2-x^2)(R+x)$
$=\frac{1}{3}\pi \left(R^2-\frac{R^2}{9}\right) \left(R+\frac{R}{3}\right)$
$=\frac{1}{3}\pi \frac{8}{9}R^2 \times \frac{4}{3}R$
शंकु का आयतन$=\frac{8}{27} \times \frac{4}{3} \pi R^3$
शंकु का आयतन$=\frac{8}{27}\times $ गाले का आयतन
Question 22
सिद्ध कीजिए कि अर्धशीष कोण 𝛼 और ऊँचाई h के लंबे वृत्तीय शंकु के अंतर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊँचाई , शंकु के ऊँचाई की एक-तिहाई है और बेलन का अधिकतम आयतन $\frac{4}{27}\pi h^3 \tan^2 \alpha$
Sol :
Diagram to be added
माना शंकु की ऊँचाई h है तथा शीर्ष का अर्द्ध कोण 𝛼 है ।
ΔDAB मे ,
$\tan \alpha =\frac{AB}{OA}$
$\tan \alpha =\frac{AB}{h}$
AB=htan𝛼
माना बेलन की त्रिज्या x है ।
ΔOAB≅ΔDCB
$\frac{OA}{DC}=\frac{AB}{BC}$
$\frac{h}{DC}=\frac{htan \alpha}{htan\alpha-x}$
$DC=\frac{h(h\tan \alpha -x)}{h \tan \alpha}$
बेलम का आयतन ,v=π(AC)2×DC
$v=\pi x^2 \frac{h(t \tan \alpha -x)}{h \tan \alpha}$
$v=\frac{\pi}{\tan \alpha} (h \tan \alpha . x^2 -x^3)$
Differentiating w.r.t x
$\frac{dv}{dx}=\frac{\pi}{\tan \alpha} (2h \tan \alpha . x-3x^2)$
∴$\frac{dv}{dx}=0$
$\frac{\pi}{\tan \alpha}(2h \tan \alpha x-3x^2)=0$
-3x2=-2htan𝛼 x
3x=-2htan𝛼
$x=\frac{2h \tan \alpha}{3}$
∵$\frac{dv}{dx}=\frac{\pi}{\tan \alpha}(2h \tan \alpha x-3x^2)$
Again differentiating w.r.t
$\frac{d^2v}{dx^2}=\frac{\pi}{\tan \alpha}(2h\tan \alpha-6x)$
At $x=\frac{2h \tan \alpha}{3}$
$\frac{d^2v}{dx^2}=\frac{\pi}{\tan \alpha}(2h\tan \alpha-6 \times \frac{2h\tan \alpha}{3})$
$=\frac{\pi}{\tan \alpha} (-2h\tan \alpha)$
=2πh<0
∴$x=\frac{2h\tan \alpha}{3}$ पर आयतन महत्तम होगा ।
बेलन की ऊँचाई$=\frac{h\tan \alpha -x}{\tan \alpha}$
$=\dfrac{h \tan \alpha -\frac{2h\tan \alpha}{3}}{\tan \alpha}$
$=\dfrac{\tan \alpha \left(\frac{3h-2h}{3}\right)}{\tan \alpha}$
बेलन की ऊँचाई$=\frac{h}{3}$
बेलन की ऊँचाई$=\frac{1}{3}\times $ शंकु की ऊँचाई
बेलन की आयतन$=\frac{\pi}{\tan \alpha}(h\tan \alpha x^2-x^3)$
$=\frac{\pi}{\tan \alpha}\left(h \tan \alpha \times \frac{4h^2 \tan ^2 \alpha}{9}-\frac{8h^2\tan ^3 \alpha}{27}\right)$
$=\frac{\pi}{\tan \alpha}\left[\frac{12h^3 \tan ^3 \alpha -8h^3 \tan^3 \alpha}{27}\right]$
$=\frac{4}{27}\times \frac{\pi}{\tan \alpha} h^3 \tan ^3 \alpha$
$=\frac{4}{27} \pi h^3 \tan ^2 \alpha$
Question 23
दिखाएँ कि 12cm त्रिज्यावाले किसी गोले के अन्तर्गत महत्तम आयतन वाले शंकु की ऊँचाई 16cm है ।
Sol :
Diagram to be added
$BC=\sqrt{OC^2-OB^2}$
$=\sqrt{12^2-x^2}$
AB=OA+OB
Ab=(12+x)cm
शंकु का आयतन$=\frac{1}{3}\pi (BC)^2 \times AB$
$=\frac{1}{3}\pi \sqrt{144-x^2}^2 \times (12+x)$
$=\frac{1}{3}\pi (144-x^2) \times (12+x)$
Question 24
दिखाएँ कि $5\sqrt{3}$cm त्रिज्या के गोले के अन्तर्गत बेलन का महत्तम आयतन 500π cm3 है ।
Sol :
माना ∠AOC=θ
ΔAOC मे
$\sin \theta =\frac{AC}{OC}$
$\sin \theta =\frac{AC}{5\sqrt{3}}$
AC=5√3sinθ
$\cos \theta =\frac{OA}{OC}$
$\cos \theta =\frac{OA}{5\sqrt{3}}$
OA=5√3cosθ
AB=2×OA
=2×5√3cosθ
=10√3cosθ
बेलन का आयतन, v=π(AC)2×AB
v=π(5√3sinθ)2×(10√3cosθ)
v=750√3π×sin2θcosθ
Differentiating w.r.t θ
$\frac{dv}{d\theta}=750\sqrt{3}\pi [2\sin \theta \cos \theta \cos \theta +\sin ^2 \theta (-\sin \theta)]$
$\frac{dv}{d\theta}=750\sqrt{3}\pi \sin (2 \cos^2 \theta -\sin ^2 \theta)$
∴$\frac{dv}{d\theta}=0$
750√3π×sinθ(2cos2θ-sin2θ)=0
$\begin{array}{l|l}\sin \theta & 2\cos ^2 \theta -\sin ^2 \theta =0\\\theta =0& -\sin^2 \theta =-2\cos^2 \theta &\tan ^2 \theta =2\\ & \tan \theta =\sqrt{2}\end{array}$
Diagram to be added
$\sin \theta =\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ , $\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{3}}$
∵$\frac{dv}{d\theta }=750 \sqrt{3} \pi \sin \theta (2\cos ^2 \theta -\sin ^2 \theta)$
Again , differentiating w.r.t θ
$\frac{d^2 v}{d \theta ^2}=750 \sqrt{3} \pi \left[\cos \theta (2 \cos ^2 \theta -\sin ^2 \theta )+\sin \theta \left\{4\cos \theta (-\sin \theta)\right\}-2\sin \theta \cos \theta \right]$
750√3π[2cos3θ-sin2θcosθ-4sin2θcosθ-2sin2θcosθ]
$\frac{d^2v}{d\theta ^2}=750\sqrt{3}\pi [2\cos ^3 \theta -7 \sin ^2 \theta \cos \theta]$
AT $\sin \theta =\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ , $\cos \theta =\frac{1}{\sqrt {3}} $
$\frac{d^2v}{d\theta ^2}=750 \sqrt{3}\pi \left[2 \times \frac{1}{3\sqrt{3}} -7 \times \frac{2}{3}\times \frac{1}{\sqrt{3}}\right]$
$=750\sqrt{3}\pi \left(\frac{-12}{3\sqrt{3}}\right)$
=-3000π<0
∴$\sin \theta =\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ , $\cos \theta =\frac{1}{\sqrt {3}} $ पर आयतन महत्तम है बे लन का आयतन
=750√3π $\times \frac{2}{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}}$
=500π cm3
Question 25
एक उत्पादक x इकाईयो को (250-x) रूपये प्रति इकाई बेच सकता है । x इकाईयो के उत्पादन मे कुल लागत 2x2-50x+12 है । इकाईयो का संख्या निकाले ताकि वह महत्तम लाभ प्राप्त कर सके ।
Sol :
कुल विक्य मूल=x(250-x)
=250x-x2
x इकाईयो का लागत =2x2-50x+12
लाभ , P=(250x-x2)-(2x2-50x+12)
P=250x-x2-2x2+50x-12
P=-3x2+300x-12
Differentiating w.r.t x
$\frac{dP}{dx}=-6x+300$
∴$\frac{dP}{dx}=0$
-6x+300=0
-6x=-300
x=50
∵$\frac{dP}{dx}=-6x+300$
Again , differentiating w.r.t x
$\frac{d^2P}{dx^2}=-6$
At x=50
$\frac{d^2P}{dx^2}=-6<0$
अतः x=50 पर लाभ महत्तम होगा ।
इकाईयो की संख्या =50
Question 26
आयताकार आधार व आयाताकार दीवारो की 2m गहरी और 8m3 आयतन की एक बिना ढ़क्कन की टंकी का निर्माण करना है । यदि टंकी के निर्माण मे आधार के लिए 70/m2और दीवारो पर 45/m2 व्यय आता है तो निम्नतम खर्च से बनी टंकी की लागत क्या है ?
Sol :
Diagram to be added
माना टंकी की लंबाई x तथा चौड़ाई y है ।
टंकी का आयतन=8m3
x×y×2m=8m3
$y=\frac{4}{x}$m
टंकी का कुल क्षेत्रफल =A=xy+2(x+y)×2
$A=x\times \frac{4}{3} +2\left(x+\frac{4}{x}\right) \times 2$
A=4+4x+$\frac{16}{x}$
Differentiating w.r.t x
$\frac{dA}{dx}=4-\frac{16}{x^2}$
∴$\frac{dA}{dx}=0$
$4-\frac{16}{x^2}=0$
$-\frac{16}{x^2}=-4$
4x2=16
x2=4
x=2
$\frac{dA}{dx}=4-\frac{16}{x^2}$
Differentiating w.r.t x
$\frac{d^2A}{dx^2}=\frac{32}{x^3}$
At x=2
$\frac{d^2A}{dx^2}=\frac{32}{2^3}=\frac{32}{8}$
=4>0
अतः x=2 पर पृष्ठीय क्षेत्रफल न्यूनतम होगा ।
टंकी बनाने मे लगा न्यूनतम खर्च
=2×2×70+2(2+2)×2×45
=280+720
=1000
Question 27
एक 28cm लम्बे तार को दो टुकड़ो मे विभक्त किया जाता है । एक टुकड़े मे विभक्ती किया जाता है । एक टुकड़े से वर्ग तथा दूसरे से वर्ग तथा दूसरे से वृत बनाया जाता है । दोनो टुकड़ो की लंबाई कितनी होनी चाहिए जिससे वर्ग एंव वृत का सम्मिलित क्षेत्रफल न्यूनतम हो ?
Sol :
Diagram to be added
माना तार का पहला टुकड़ा x cm तथा दूसरा (28-x) cm है ।
वर्ग का परिमाप=4x cm
वृत का परिधि=(28-x)cm
वर्ग का परिमाप=x cm
4×भुजा = x cm
भुजा =$\frac{x}{4}$cm
2πr=(28-x)
$r=\frac{28-x}{2\pi}$
वर्ग तथा वृत्त के क्षेत्रफल का योग $A=\left(\frac{x}{4}\right)^2+\pi \left(\frac{28-x}{2\pi}\right)^2$
$A=\frac{x^2}{16}+\frac{\pi(28-x)^2}{4\pi ^2}$
$A=\frac{1}{16}x^2+\frac{1}{4}(28-x)^2$
Differentiating w.r.t x
$\frac{dA}{dx}=\frac{1}{8}x+\frac{1}{2\pi}(28-x)(-1)$
$\frac{dA}{dx}=\frac{1}{8}x-\frac{1}{2\pi}(28-x)$
∴$\frac{dA}{dx}=0$
$\frac{1}{8}x-\frac{1}{2\pi}(28-x)=0$
$\frac{1}{8}x-\frac{14}{\pi}+\frac{x}{2\pi}=0$
$x\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{2\pi}\right)=\frac{14}{\pi}$
$x\left(\frac{\pi+4}{8\pi}\right)=\frac{14}{\pi}$
$x=\frac{112}{\pi +4}$
∵$\frac{dA}{dx}=\frac{1}{8}\pi-\frac{1}{2\pi}(28-x)$
Differentiating w.r.t x
$\frac{d^2A}{dx^2}=-\frac{1}{2\pi}(-1)$
At $x=\frac{112}{\pi+4}$
$\frac{d^2A}{dx^2}=\frac{1}{2\pi}>0$
अतः $x=\frac{112}{\pi +4}$ पर क्षेत्रफल न्यूनतम है ।
पहले टुकड़े का लंबाई$=\frac{112}{\pi +4}$ cm
दुसरे टुकड़े का लंबाई$=28-\frac{112}{\pi+4}$
$=\frac{28\pi+112-112}{\pi+4}$
$=\frac{28\pi}{\pi +4}$
Question 28
वक्र y2=4x पर बिन्दु निकाले जो बिंदु (2,-8 ) के निकटतम है ।
[Find the point on the curve y2=4x which is nearest to the point (2,-8)]
Sol :
माना बिंदु P(t2,2t) परवलय पर स्थित है ।
जो बिंदु A(2,-8) के निकट है ।
AP2=(t2-2)2+(2t+8)2
माना y=AP2
y=(t2-2)2+(2t+8)2
Differentiating w.r.t. x
$\frac{dy}{dt}=2(t^2-2)2t+2(2t+8).2$
$\frac{dy}{dt}=4[t^3-2t.2t+8]$
$\frac{dy}{dt}=4(t^3+8)$
∴$\frac{dy}{dt}=0$
4(t3+8)=0
t3+8=0
t3=-8
t3=(-2)3
t=-2
t3+23=0
(t+2)(t2-2t+4)=0
∵$\frac{dy}{dx}=4(t^3+8)$
Again , differentiating w.r.t x
$\frac{d^2y}{dt^2}=12t^2$
At $t=-2$
$\frac{d^2y}{dt^2}=12(-2)^2$
=48>0
t=-2 पर , AP न्यूनतम है य़
∴P का निर्देशांक=(t2,2t)
=(4,-4)
Question 30
शत्रु का एक आपचे हेलिकाँपटर वक्र y=x2+7 के अनुदिश प्रदत्त पथ पर उड़ रहा है । बिन्दु (3,7) पर स्थित एक सैनिक अपनी स्थिति से न्यूनतम दूरी पर उस हेलिकाँप्तर को गोली मारना चाहता है । सैनिक और हेलिकाँप्टर के बिच का न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए ।
Sol :
माना P(t,t2+7) वक्र y=x2+7 पर स्थित है ।
AP2=(t-3)2+(t2+7-7)2
AP2=t2-6t+9+t4
AP2=t4+t2-6t+9
माना y=AP2
y=t4+t2-6t+9
Differentiating w.r.t t
$\frac{dy}{dt}=4t^3+2t-6$
∴$\frac{dy}{dt}=0$
4t3+2t-6=0
2t3+t-3=0
2t3-2t2+2t2-2t+3t-3=0
2t2(t-1)+2t(t-1)+3(t-1)=0
(t-1)(2t2+2t+3)=0
$\begin{array}{l|l}t-1=0& 2t^2+2t++3=0\\t=1 & t=\frac{-2 \pm \sqrt{(2)^2-4\times 2\times 3}\not \in R}{2\times 2}\end{array}$
∵$\frac{dy}{dx}=4t^2+2t-6$
Again , differentiating w.r.t x
$\frac{d^2y}{dt^2=8t+2}$
At t=1
$\frac{d^2 y}{dt}=8(1)+2$
=10>0
∴t=1 , दूरा AP न्यूनतम होगा ।
AP दूरी$=\sqrt{(t-3)^2+(t^4)}$
$=\sqrt{(1-3)^2+1^4}$
$=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$
Question 31
प्रदत्त अन्तरालो मे निम्नलिखित फलनो के निरपेक्ष उच्चतम मान और निरपेक्ष निम्नतम मान ज्ञात कीजिए ।
(i) f(x)=x50-x20 (in) [0,1] मे
Sol :
Differentiating w.r.t x
f '(x)=50x49-20x19
∴f '(x)=0
50x49-20x19=0
10x19(5x30-2)=0
$\begin{array}{l|l}10x^{19}=0&5x^{30}-2=0\\x=0& x^{30}=\frac{2}{5}\\&x=\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{1}{30}}\end{array}$
x=0 , $\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{1}{30}}$ ,1
f(0)=050-020=0
$f\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{1}{30}}=\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{1}{30}\times 30}-\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{1}{30}\times 30}$
$=\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{5}{3}}-\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{2}{3}}$
f(1)=150-120=0
A.M.V=0
Absolute maximum value$=\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{5}{3}}-\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{2}{3}}$
(ii) $f(x)=4x-\frac{x^2}{2}$(in)$\left[-2,\frac{9}{2}\right]$ मे
Sol :
Differentiating w.r.t x
f'(x)=4-x
4-x=0
x=4
f(-2)=$4(-2)-\frac{(-2)^2}{2}$
$=-8-\frac{4}{2}$
=-10
f(4)=$4(4)-\frac{4^2}{2}$
=16-8
=8
$f\left(\frac{9}{2}\right)=4\left(\frac{9}{2}\right)-\dfrac{\left(\frac{9}{2}\right)^2}{2}$
$=18-\frac{81}{8}$
=18-10.1
=7.9
Absolute maximum value=8
Absolute minimum value=-10
(v) f(x)=2sinx-x (in) [0,2π] मे
Sol :
Differentiating w.r.t x
f '(x)=2cosx-1
∴f '(x)=0
2cosx-1=0
2cosx=1
$\cos x=\frac{1}{2}$
$\cos x=\cos \frac{\pi}{3}$
$x=2n\pi\pm \frac{\pi}{3} $n∈Z
$x=\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$
f(0)=2sin0-0
=0
$f\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\sin \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}$
$=\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}$
$f\left(\frac{5\pi}{3}\right)=2\sin \frac{5\pi}{3}-\frac{5\pi}{3}$
$=-2\sin \frac{\pi}{3}-\frac{5\pi}{3}$
$=\sqrt{3}-\frac{5\pi}{3}$
f(2π)2sin2π-2π
Absolute maximum value$=\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}$
Absolute minimum value $=-\sqrt{3}-\frac{5\pi}{3}$
(xi) f(x)=3x4-8x3+12x2-48x+25 (in) [0,3] मे
Sol :
Differentiating w.r.t x
f(x)=12x3-24x2+24x-48
=12[x3-2x2+2x-4]
=12[x2(x-2)+2(x-2)]
=12(x-2)(x2+2)
∴f '(x)=0
12(x-2)(x2+2)=0
$\begin{array}{l|l}x-2=0&x^2+2=0\\x=2& x^2=-2\\&x=\pm \sqrt{-2} \not \in R\end{array}$
f(0)=3(0)4-8(0)3+12(0)2-48(0+25)
=25
f(2)=
f(3)=
Question 32
अन्तराल [0,2π] के किन बिन्दुओ पर फलन sin2x अपना उच्चतम मान प्राप्त करता है ?
Sol :
Let f(x)=sin2x
Differentiating w.r.t x
f '(x)=2cos2x
∴f '(x)=0
2cos2x=0
cos2x=0
$2x=(2n+1)\frac{\pi}{2}$ , n∈Z
$x=(2n+1)\frac{\pi}{4}$ , n∈Z
$x=\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}$
f(0)=sin2(0)
=0
$f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin 2\left(\frac{\pi}{4}\right)$
=1
$f\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\sin 2\left(\frac{3\pi}{4}\right)$
$=\sin \frac{3\pi}{2}=-1$
$f\left(\frac{5\pi}{4}\right)=\sin 2\left(\frac{5\pi}{4}\right)$
=1
$f\left(\frac{7\pi}{4}\right)=\sin 2\left(\frac{7\pi}{4}\right)$
=-1
f(2π)=sin(2π)
=sin4π
=0
sin2x का [0,2π] मे $\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}$ पर उच्चतम मान होगा ।
Question 33
किसी वस्तु के x इकाई के लिए लागत फलन तथा आय फलन क्रमशः $C(x)=x^3-\frac{75}{2}x^2$ तथा R(x)=50x-x2 से प्रदत्त है । ज्ञात करे कि वस्तु के कितने इकाई का उत्पादन और विक्रय किया जाय ताकि महत्तम लाभ हो । महत्तम लाभ भी निकाले।
Sol :
लाभ , P(x)=R(x)-C(x)
P(x)=(500x-x2)-(x3-$\frac{75}{2}$x2)
P(x)=500x-x2-x3+$\frac{75}{2}$x2)
P(x)=-x3+$\frac{73}{2}$x2+50x
Differentiating w.r.t x
P'(x)=-3x2+73x+50
=-3x2+75x-2x+50
=-3x(x-25)-2(x-25)
=(x-25)(3x-2)
∴P'(x)=0
(x-25)(-3x-2)=0
$\begin{array}x-25=0&-3x-2=0\\x-25=0&x=\frac{-2}{3}\end{array}$
∵इकाईया धनात्मक होगी।
∴x=25
P'(x)=-3x2+73x+50
Again differentiating w.r.t x
P''(x)=-6x+73
At x=25
P''(x)=-6(25)+73<0
∴x=25 पर लाभ महत्तम होगा ।
इकाईयो की संख्या=25
महत्तम लाभ$=-(25)^3+\frac{73}{2}(25)^2+50(25)$
$=-15625+\frac{73}{2}(625)+1250$
$=-15625+\frac{45625}{2}+1250$
=156256+22812.50+1250
=8437.5060
Question 34
किसी वस्तु के उत्पादन मे लागत C(x)=300x-10x2+$\frac{x^3}{3}$ से प्रदत्त है जहाँ x उत्पादित इकाईयो की संख्या है । इकाईयो की संख्या निकाले जिसके लिए औस्त लागत न्यूनतम है ।
Sol :