[mathjax]
Question 1
बिन्दु (3,4) से गुजरती हूई रेखा x+2y=3 के समान्तर रेखा का समीकरण निकाले ।
[Find the equation of the straight line parallel to x+2y=3 and passing through the point (3,4)]
Sol :
रेखा x+2y=3 के समांतर रेखा का समीकरण
x+2y+k=0
∵रेखा (3,4) से गुजर रही है ।
3+2(4)+k=0
3+8+k=0
k=-11
∴अभिष्ट रेखा का समीकरण
x+2y-11=0
Question 4
रेखा 3x-4y+6=0 के समान्तर तथा बिन्दुओ (2,3) तथा (4,-1) के मध्य बिन्दु से गुजरती हुई रेखा का समीकरण निकाले ।
[Find the equation to the straight line parallel to 3x-4y+6=0 and passing through the middle point of the join of points (2,3) and (4,-1)]
Sol :
बिन्दु (2,3) तथा (4,-1) का मध्य बिन्दु$=\left(\frac{2+4}{2},\frac{3-1}{2}\right)$
$=\left(\frac{1}{2},\frac{2}{2}\right)$
=(3,1)
रेखा 3x-4y+6=0 के समांतर रेखा का समीकरण
3x-4y+k=0
∵रेखा (3,1) से गुजरती है ।
3(3)-4(1)+k=0
k=-5
∴अभिष्ट रेखा का समीकरण
3x-4y-5=0
Question 5
बिन्दु (2,1) से जाती हुई रेखा का समीकरण निकाले जो बिन्दुओ (2,3) तथा (3,-1) को मिलानेवाली रेखा के समान्तर है ।
[Find the equation to the straight line passing through the point (2,1) and parallel to the joining the point (2,3) and (3,-1)]
Sol :
रेखा का ढाल $=\frac{-1-3}{3-2}=\frac{-4}{1}$
=-4
रेखा का समीकरण, m=-4
बिन्दु(2,1) है ।
y-1=-4(x-2)
y-1=-4x+8
4x+y-9=0
Question 7
उस रेखा का समीकरण निकाले जिसका y-अन्तः खण्ड 4 है तथा जो रेखा 2x-3y=7 के समान्तर है ।
[Find the equation of the line that has y-intercept 4 and is parallel to the line 2x-3y=7]
Sol :
रेखा 2x-3y=7 के समान्तर रेखा का समीकरण
2x-3y+k=0
∵रेखा का y-अक्ष पर अन्तः खण्ड 4 है अर्थात वह बिन्दु (0,4) से गुजरती है ।
2(0)-3(4)+k=0
k=12
∴रेखा का समीकरण 2x-3y+12=0
Question 9
रेखा 2x+3y+11=0 के समान्तर उस रेखा की समीकरण निकाले जिसका अक्षो पर अन्तः खण्डो का योग 15 है ।
[Find the equation of a straight line parallel to 2x+3y+11=0 and which is such that the sum of its intercepts on the axes is 15]
Sol :
रेखा 2x+3y+11=0 के समान्तर रेखा का समीकरण
2x+3y+k=0
यदि रेखा x-अक्ष पर प्रतिच्छेद करेगी तो y=0
2x+3(0)+k=0
2x=-k
$x=\frac{-k}{2}$
यदि रेखा y-अक्ष पर प्रतिच्छेद करेगी तो x=0
2(0)+3y+k=0
3y=-k
$y=\frac{-k}{3}$
∵अन्तः खण्ड का योग 15 है ।
$\frac{-k}{2}+\frac{-k}{3}=15$
$\frac{-3k-2k}{6}=15$
-5k=15×6
k=-18
∴रेखा का समीकरण
2x+3y-18=0
Question 10
बिन्दु (-2,-1) से जाती हूई रेखा y=x पर लम्ब रेखा का समीकरण निकाले।
[Find the equation of the line through point (-2,-1) and perpendicular to the line y=x]
Sol :
रेखा x-y=0 पर लंब रेखा का समीकरण
-x-y+k=0
∵रेखा (-2,-1) से गुजक रही है ।
-(-2)-(-1)+k=0
3+k=0
k=-3
∴रेखा का समीकरण
-x-y-3=0
or x+y+3=0
Question 11
(i) बिन्दु (2,5) से जाती हुई तथा रेखा 2x+5y=31 पर लम्ब रेखा का समीकरण निकाले ।
[Find the equation of the straight line passing through the point (2,5) and perpendicular to the line 2x+5y=31]
Sol :
रेखा 2x+5y=31 पर लंब रेखा का समीकरण
5x-2y+k=0
Question 12
मूल बिन्दु से जाती हुई रेखा 7x+2y+7=0 पर लम्ब रेखा का समीकरण निकाले।
[Find the equation of the straight line perpendicular to the line 7x+2y+7=0 and passing through the origin]
Sol :
7x+2y+7=0 पर लम्बं रेखा का समीकरण
2x-7y+k=0
∵रेखा (0,0) से गुजर रही है ।
2(0)-7(0)+k=0
k=0
∴रेखा का समीकरण
2x-7y=0
Question 14
बिन्दु (acosθ,bsinθ) से जाती हुई रेखा $\frac{x}{a}\cos \theta+\frac{y}{b}\sin \theta =1$ पर लम्ब रेखा का समीकरण निकाले।
[Find the equation of the straight line through (acosθ,bsinθ) perpendicular to the line $\frac{x}{a}\cos \theta+\frac{y}{b}\sin \theta =1$]
Sol :
$\frac{x}{a}\cos \theta+\frac{y}{b}\sin \theta =1$ पर लंम्ब रेखा का समीकरण
$\frac{x}{b}\sin \theta -\frac{y}{a}\cos \theta+k=0$
∵रेखा (acosθ,bsinθ) से गुजर रहा है ।
$\frac{a\cos \theta \sin \theta}{b}-\frac{b\sin \theta \cos \theta}{a}+k=0$
$k=\frac{b\sin \theta \cos \theta}{a}-\frac{a\cos \theta \sin \theta}{b}$
$k=\sin \theta \cos \theta \left(\frac{b}{a}-\frac{a}{b}\right)$
$k=\sin \theta \cos \theta \left(\frac{b^2-a^2}{ab}\right)$
∴रेखा का समीकरण
$\frac{x}{b}\sin \theta -\frac{y}{a}\cos \theta+\sin \theta \cos \theta \left(\frac{b^2-a^2}{ab}\right)=0$
$\frac{ax\sin \theta -by\cos \theta}{ab}=-\sin \theta \cos \theta \left(\frac{b^2-a^2}{ab}\right)$
$\frac{ax\sin \theta}{\sin \theta \cos \theta}-\frac{by\cos \theta}{\sin \theta \cos \theta}=a^2-b^2$
axsecθ-bycosecθ=a2-b2
Question 15
बिन्दु (-4,-3) से जाती हुई बिन्दुओ (1,3) तथा (2,7) को मिलानेवाली रेखा पर लम्ब रेखा का समीकरण निकाले ।
[Find the equation to the line through the point (-4,-3) and perpendicular to the joining the points (1,3) and (2,7)]
Sol :
माना रेखा AD , बिन्दु A(-4,-3) से गुजर रही है , जो B(1,3) तथा C(2,7) को मिलानेवाली रेखा BC पर लम्ब है ।
AD⟂BC
m(AD)×m(BC)=-1
$m(AD)\times \left(\frac{7-3}{2-1}\right)=-1$
m(AD)×4=-1
$m(AD)=-\frac{1}{4}$
Question 16
मूल बिन्दु तथा (4,6) को मिलाने वाली रेखा के लम्ब अर्धक का समीकरण निकाले ।
[Find the equation of the perpendicular bisector of the line segment joining the origin and the point (4,6)]
Sol :
माना रेखा l , O(0,0) तथा A(4,6) को मिलाने वाली रेखा का लम्ब अर्धक है ।
∴B, OA का मध्य बिन्दु होगा ।
B का निर्देशांक $=\left(\frac{0+4}{2},\frac{0+6}{2}\right)$
$=\left(\frac{4}{2},\frac{6}{2}\right)$
=(2,3)
m(l)×m(OA)=-1 (l⟂A)
$m(l) \times \left(\frac{6-0}{4-0}\right)=-1$
$m(l) \times \frac{6}{9}=-1$
$m(l)=-\frac{2}{3}$
रेखा l का समीकरण
$y-3=-\frac{2}{3}(x-2)$
3y-9=-2x+4
2x+3y=13
Question 17
(i) बिन्दु P(1,-2) से रेखा 2x-y+1=0 पर खीचे गए लम्ब के पद के निर्देशांक निकाले ।
[Find the coordinates of the foot of the perpendicular drawn from the point P(1,-2) on the line 2x-y+1=0]
Sol :
2x-y+1=0..(i)
माना रेखा 2x-y+1=0 पर लम्ब रेखा PD है तथा D लम्ब पाद बिन्दु है ।
-x-2y+k=0
∵रेखा PD (1,-2) से गुजर रही है ।
∴-1-2(-2)+k=0
-1+4+k=0
k=-3
∴रेखा PD का समीकरण
-x-2y-3=0
or x+2y+3=0..(ii)
समीकरण (i) मे 2 से तथा (ii) मे 1 से गुणा करने पर,
$\begin{aligned}4x-2y+2=&0\\x+2y+3=&0\\ \hline 5x+5=&0\end{aligned}$
x=-1
2x-y+1=0
-2-y+1=0
-y-1=0
y=-1
∴x का निर्देशांक (-1,-1)
Question 18
बिन्दु (1,0) का बिन्दुओ P(-1,2) तथा Q(5,4) को मिलाने वाली रेखा पर विक्षेप निकाले।
[Find the projection of the point (1,0) on the line joining the points P(-1,2) and Q(5,4)]
Sol :
रेखा PQ का समीकरण
$y-2=\frac{4-2}{5-(-1)}(x+1)$
$y-2=\frac{2}{6}(x+1)$
3y-6=x+1
0=x-3y+7..(i)
Question 19
(i) बिन्दु (1,-2) का रेखीय दर्पण 2x-y+1=0 मे प्रतिबिम्ब निकाले ।
[Find the image of the point (1,-2) in the line mirror 2x-y+1=0]
Sol :
माना दर्पण l के सापेक्ष बिन्दु P का प्रतिबिम्ब P'(x,y) है ।
रेखा 2x-y+1=0 के लंम्ब रेखा की समीकरण
-x-2y+k=0
∵रेखा (1,-2) से गुजर रही है ।
-1-2(-2)+k=0
-1+4+k=0
k=-3
∴रेखा PD का समीकरण
-x-2y-3=0
x+2y+3=0..(ii)
समीकरण (i) मे 2 से तथा समीकरण (ii) मे 1 से गुणा करने पर,
$\begin{aligned}4x-2y+2=&0\\x+2y+3=&0\\ \hline 5x+5=0\end{aligned}$
x=-1
∵2x-y+1=0
-2-y+1=0
y=-1
DPP' का मध्य होगा ।
$\left(\frac{1+x}{2},\frac{-2+y}{2}\right)=(-1,-1)$
$\begin{array}{l|l}\frac{1+x}{2}=-1&\frac{-2+y}{2}=-1\\x=-3&y=0\end{array}$
∴P' का निर्देशांक=(-3,0)
Question 20
यदि बिन्दु (2,1) का किसी रेखीय दर्पण मे प्रतिबिम्ब (5,2) है । तो दर्पण का समीकरण निकाले ।
[If the image of the point (2,1) with respect to a line mirror be (5,2) , find the equation of the mirror]
Sol :
माना एक दर्पण l है ।
बिन्दु P(2,1) का प्रतिबिंब P'(5,2) है ।
D, PP' का मध्य बिन्दु है ।
(∴ वस्तु दूरी प्रतिबिम्ब दूरी के बराबर होती है ।)
D का निर्देशांक$=\left(\frac{2+5}{2},\frac{1+3}{2}\right)$
$=\left(\frac{7}{2},\frac{3}{2}\right)$
∴PP' ⟂ l
m(PP')×m(l)=-1
$\left(\frac{2-1}{5-2}\right)\times m(l)=-1$
$\frac{1}{3}\times m(l)=-1$
m(l)=-3
रेखा l का समीकरण
$y-\frac{3}{2}=-3\left(x-\frac{7}{2}\right)$
$\frac{2y-3}{2}=-3\left(\frac{2x-7}{2}\right)$
2y-3=-6x+21
6x+2y-24=0
2(3x+y-12)=0
3x+y-12=0
Question 21
बिन्दु (2,-6) और रेखाओ 5x-2y+14=0 तथा 2y=8-7x के प्रतिच्छेद बिन्दु से जाती हुई रेखा का समीकरण निकाले ।
[Find the equation of the straight line passing through the point (2,-6) and the point of intersection of the line 5x-2y+14=0 and 2y=8-7x]
Sol :
माना रेखा l बिन्दु A(x,-6) तथा बिन्दु B , जो दो रेखाओ p तथा q के प्रतिच्छेद बिन्दु से गुजरती है ।
$\begin{aligned}5x-2y+14=&0..(i)\\7x+2y-8=&0..(ii)\\ \hline 12x+6=0\end{aligned}$
$x=-\frac{1}{2}$
x का मान समीकरण (i) मे रखने पर,
5x-2y+14=0
$5\left(-\frac{1}{2}\right)-2y+14=0$
$-\frac{5}{2}+14-2y=0$
$\frac{-5+28}{2}=2y$
$\frac{23}{4}=y$
रेखा AB का समीकरण
$y-(-6)=\dfrac{\frac{23}{4}-(-6)}{-\frac{1}{2}-2}(x-2)$
$y+6=\dfrac{\frac{23+24}{4}}{\frac{-1-4}{2}}(x-2)$
$y+6=\dfrac{\frac{47}{2}}{\frac{-5}{1}}(x-2)$
$y+6=\frac{47}{-10}(x-2)$
-10y-60=47x-94
47x+10y-94+60=0
47x+10y-34=0
Question 22
रेखाएँ x+2y-3=0 तथा 4x-y+7=0 के प्रतिच्छेद बिन्दु से गुजरती हुई उस रेखा का समीकरण निकाले जो 5x+4y-20=0 के समान्तर है ।
[Find the equation of the line through the intersection of the line x+2y-3=0 and 4x-y+7=0 and which is parallel to 5x+4y-20=0]
Sol :
माना रेखा p तथा q के प्रतिच्छेद बिन्दु से रेखा r गुजर रही है ।
जो रेखा s के समाँतर है ।
x+2y-3=0..(i) ×1
4x-y+7=0..(ii) ×2
$\begin{aligned}x+2y-3=&08x-2y+14=&0\\ \hline 9x+11=0\end{aligned}$
$x=-\frac{11}{9}$
x का मान समीकरण (i) मे रखने पर,
$-\frac{11}{9}+2y-3=0$
$2y=\frac{11}{9}+3$
$2y=\frac{11+27}{9}$
$y=\frac{38}{2\times 9}=\frac{19}{9}$
रेखा s: 5x+4y-20=0 के समान्तर रेखा r का समीकरण
5x+4y-20=0
∵रेखा $\left(-\frac{11}{9},\frac{19}{9}\right)$ से गुजर रही है ।
$5\left(-\frac{11}{9}\right)+4\left(\frac{19}{9}\right)+k=0$
$k=\frac{55}{9}-\frac{76}{9}$
$k=\frac{55-76}{9}$
$k=-\frac{21}{9}=-\frac{7}{3}$
∴ रेखा r का समीकरण
$5x+4y-\frac{7}{3}=0$
$\frac{15x+12y-7}{3}=0$
15x+12y-7=0
Question 23
(i) रेखाओ x+2y=5 तथा 3x+7y=17 के प्रतिच्छेद बिन्दु से गुजरती हुई तथा 3x+4y=10 पर लम्ब रेखा का समीकरण निकाले ।
[Find the equation to the straight line which passes through the point of intersection of the straight line x+2y=5 and 3x+7y=17 and is perpendicular to the straight line 3x+4y=10]
Sol :
माना रेखा r : रेखाओ p तथा q के प्रतिच्छेद बिन्दु से गुजरती है ।
तथा जो रेखा s पर लम्ब है ।
x+2y=5..(i)×3
3x+7y=17..(ii)×1
$\begin{aligned}3x+6y=&15\\3x+7y=&17\\ \hline -y=-2\\\end{aligned}$
y=2
y का मान समीकरण (i) मे रखने पर
x+2(2)=5
x=1
रेखा s पर (3x+4y=10) लम्ब रेखा r का समीकरण
4x-3y+k=0
∵रेखा (1,2) से गुजर रही है ।
4(1)-3(2)+k=0
4-6+k=0
k=2
∴रेखा r का समीकरण
4x-3y+2=0
Question 24
एक व्यक्ति समीकरणो 2x-3y+4=0 और 3x+4y-5=0 से निरुपित सरल रेखीय पथो के संधि बिंदु (junction/crossing) पर खड़ा है और समीकरण 6x-7y+8=0 से निरुपित पथ पर न्यूनतम समय मे पहुँचना चाहता है । उसके द्वारा अनुसरित पथ का समीकरण ज्ञात कीजिए ।
Sol :
Question 25
2x+3y+1=0 तथा 3x-5y-5=0 के प्रतिच्छेद बिन्दु से जाती हुई तथा अक्षो से समान झुकी हुई रेखा का समीकरण निकाले ।
[Find the equation of the straight line passing through the point of intersection of 2x+3y+1=0 and 3x-5y-5=0 and equally inclined to the axes]
Sol :
अक्षो पर समान रुप से झूकी हुई रेखा का ढाल 1 तथा -1 होता है ।
रेखा 2x+3y+1=0 तथा 3x-5y-5=0 का प्रतिच्छेद बिन्दु
y-y1=m(x-x1)
Question 27
किसी समान्तर चतुर्भुज ABCD की भुजाएँ AB और AD क्रमशः 2x-y+1=0 तथा x+3y-10=0 है तथा C बिन्दु (-1,-2) है । विकर्ण AC तथा BD का समीकरण निकाले ।
[The sides AB and AD of a parallelogram ABCD are : 2x-y+1=0 and x+3y-10=0 respectively and C is the point (-1,-2). Find the equation of the diagonals AC and BD]
Sol :
माना ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है ।
AB का समीकरण 2x-y+1=0 ..(i)
AD का समीकरण x+3y-10=0..(ii)
समीकरण (i) तथा (ii)
2x-y+1=0..(i)×3
x+3y-10=0..(ii)×1
$\begin{aligned}6x-3y+3=&0\\x+3y-10=&0\\7x-7=0\end{aligned}$
x=1 ,y=3
A का निर्देशांक (1,3)
रेखा AD के समांतर रेखा BC का समीकरण x+3y+k=0
रेखा (-1,-2) से गुजर रही है ।
-1+3(-2)+k=0
k=7
∴BC की समीकरण x+3y+7=0
Question 29
रेखाओ 2x+3y-4=0 तथा x-5y=7 के प्रतिच्छेद बिन्दु से जाती हुई उस रेखा का समीकरण निकाले जिसका x-अन्तः खण्ड -4 है ।
[Find the equation of the line through the intersection of the lines 2x+3y-4=0 and x-5y=7 that has its x-intercept equal to -4]
Sol :
Question 30
साबित करे कि x(1+λ)+y(2-λ)+5=0 से निरुपित रेखाएँ एक निश्चित बिन्दु से जाती है । इस निश्चित बिन्दु को बी निकाले ।
[Prove that the line represented by x(1+λ)+y(2-λ)+5=0 λ being arbitrary , pass through a fixed point . Also find the fixed point]
Sol :
x(1+λ)+y(2-λ)+5=0
x+λx+2y-λy+5=0
λ(x-y)+(x+2y+5)=λ(0)+0
x-y=0
x=y
x+2y+5=0
y+2y+5=0
3y=-5
$y=-\frac{5}{3}$
$x=-\frac{5}{3}$
निश्चित बिन्दु $\left(-\frac{5}{3},-\frac{5}{3}\right)$