KC Sinha: Exercise 18.9 - Mathematics Solution Class 11 Chapter 18 सरल रेखा

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Question 1

जाँच करे कि बिन्दु (3,-4) तथा (2,6) रेखा 3x-4y=8 के समान या विपरीत पक्षो मे है ।
[Examine whether the points (3,-4) and (2,6) are on of the same or opposite sides of the line 3x-4y=8]
Sol :
रेखा 3x-4y=8 के सापेक्ष बिन्दु (3,-4) तथा (2,6) कि स्थिती

⇒3x-4y-8
⇒3(3)-4(-4)-8
⇒9+16-8
⇒17

⇒3x-4y-8
⇒3(2)-4(6)-8
⇒6-24-8
⇒-26

∴(3,-4) तथा (2,6) रेखा 3x-4y=8 के विपरित ओर है ।

Question 4

बिन्दु (-3,4) से रेखा 3x+4y-5=0 पर खीचे गए लम्ब की लम्बाई निकाले ।
[Find the length of the perpendicular from the point (-3,4) to the line 3x+4y-5=0]
Sol :

बिन्दु (-3,4) से रेखा 3x+4y-5=0 की लंम्बत दूरी

$d=\left|\frac{3(-3)+4(4)-5}{\sqrt{3^2+4^2}}\right|$

$=\left|\frac{-9+16-5}{\sqrt{9+16}}\right|$

$=\left|\frac{2}{\sqrt25}\right|$

$=\frac{2}{5}$ ईकाई

Question 6

रेखाओ 2x+3y=21 तथा 3x-4y+11=0 के प्रतिच्छेद बिन्दु से रेखा 8x+6y+5=0 की दूरी निकाले।
[Find the distance of the point of intersection of the line 2x+3y=21 and 3x-4y+11=0 from the line 8x+6y+5=0]
Sol :

Question 7

A(2,3) ,B(4,-1) तथा C(-1,2) शीर्षो वाले त्रिभुज मे शीर्ष A से ऊँचाई निकाले ।
[In the triangle with vertices A(2,3),B(4,-1) and C(-1,2). Find the length of the altitude from the vertex A]
Sol :

रेखा BC का समीकरण

$y-(-1)=\frac{2-(-1)}{-1-4}(x-4)$

Question 8

(i) x-अक्ष पर कौन से बिन्दु ऐसे है , जिनकी रेखा $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1$ से दूरी 4 इकाई है ।
[What are the points on the x-axis whose perpendicular distance from the line $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1$ is 4 units ?]
Sol :

माना x-अक्ष स्थित बिन्दु A का निर्देशांक (x,0) है , जो रेखा $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1$ से 4 इकाई दूरी पर है ।

रेखा का समीकरण

$\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1$

$\frac{4x+3y}{12}=1$

4x+3y-12=0

d=4

$\left|\frac{4x_1+3\times 0-12}{\sqrt{4^2+3^2}}\right|=4$

$\left|\frac{4x_1-12}{5}\right|=4$

$\begin{array}{l|l}\frac{4x_1-12}{5}=4&-\left(\frac{4x_1-12}{5}=4\right)\\4x_1-12=20&4x_1-12=-20\\4x_1=32&4x_1=-8\\x_1=8&x_1=-2\end{array}$

∴A का निर्देशांक (8,0) or (-2,0)

Question 10

रेखा 3x-4y=5 के समान्तर इससे इकाई दूरी पर दो रेखाओ के समीकरण निकाले ।
[Find the equation of the two straight lines parallel to 3x-4y=5 at a unit distance from it]
Sol :

माना रेखा पर स्थित बिन्दु (x₁,y₁) है ।
जिसकी दूरी रेखा 3x-4y=5 या
3x-4y-5=0 से 1 इकाई है ।

d=1

$\left|\frac{3x_1-4y_1 -5}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}\right|=\pm 1$

$\frac{3x_1-4y_1-5}{5}=\pm 1$

⇒3x₁-4y₁-5=±5
⇒3x₁-4y₁=5±5
⇒3x₁-4y₁=10,3x₁-4y₁=10

अतः रेखा का समीकरण
⇒3x-4y=10,3x-4y=10

Question 11

रेखाओ x-y+1=0 तथा 2x-3y+5=0 के प्रतिच्छेद बिन्दु से जाती हुई बिन्दु (3,2) से $\frac{7}{5}$ दूरी पर स्थित रेखा का समीकरण निकाले ।
[Find the equation of the straight line passing through the point of intersection of lines x-y+1=0 and 2x-3y+5=0 and at a distance $\frac{7}{5}$ from the point (3,2)]
Sol :

माना रेखा l : रेखाओ x-y+1=0 तथा
2x-3y+5=0 के प्रतिच्छेद बिन्दु से गुजरती है ।

जो बिन्दु (3,2) से $\frac{7}{5}$ इकाई दूरी पर है ।

रेखाओ का प्रतिच्छेद बिन्दु:
x-y+1=0..(i)×3
2x-3y+5=0..(ii)×1

$\begin{aligned}{l|l}3x-3y+3=&0\\2x-3y+5=&0\\ \hline x-2=0\end{aligned}$
x=2 , y=3

माना रेखा l का ढाल=m

रेखा l का समीकरण

y-3=m(x-2)
y-3=mx-2m
0=mx-y+3-2m

$d=\frac{7}{5}$

$\left|\frac{m\times 3-2+3-2m}{\sqrt{m^2+(-1)^2}}\right|=\frac{7}{5}$

$\left|\frac{m+1}{\sqrt{m^2+1}}\right|=\frac{7}{5}$

दोनो तरफ वर्ग करने पर,

$\frac{(m+1)^2}{(\sqrt{m^2+1})^2}=\left(\frac{7}{5}\right)^2$

$\frac{m^2+2m+1}{m^2+1}=\frac{49}{25}$

49m²+49=25m²+50m+25
49m²+49=25m²-50m-25=0
24m²-50m+24=0
2(12m²-25m+12=0)
12m²-25m+12=0
12m²-16m-9m+12=0
4m(3m-4)-3(3m-4)=0
(3m-4)(4m-3)=0

$m=\frac{4}{3},\frac{3}{4}$

जब $m=\frac{4}{3}$

∴रेखा l का समीकरण
mx-y+3-2m=0

$\frac{4}{3}x-y+3-2\left(\frac{4}{3}\right)=0$

$\frac{4x-3y+9-8}{3}=0$

4x-3y+1=0

Question 12

यदि बिन्दु (1,1) से रेखा ax-by+c=0 पर लम्ब की लम्बाई 1 है तो दिखाएँ कि
[If the length of the perpendicular from the point (1,1) to the line ax-by+c=0 be 1 , show that]

$\frac{1}{c}+\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{c}{2ab}$ Sol :

d=1

$\left|\frac{a\times 1-b \times 1+c}{\sqrt{a^2+(-b)^2}}\right|=\pm 1$

$\left|\frac{a-b+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|=\pm 1$

दोनो तरफ वर्ग करने पर,

$\frac{(a-b+c)^2}{a^2+b^2}=1$

a²+b²+c²-2ab-2bc+2ca=a²+b²

c²=2ab+2bc-2ca

दोनो तरफ 2abc से भाग देने पर,

$\frac{c^2}{2abc}=\frac{2abc}{2abc}+\frac{2bc}{2abc}-\frac{2ca}{2abc}$

$\frac{c}{2ab}=\frac{1}{c}+\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$

Question 13

मूल बिन्दु से बिन्दुओ (cosθ,sinθ) और (cosϕ,sinϕ) को मिलाने वाली रेखा की लांबिक दूरी ज्ञात कीजिए ।
[Find the length of the perpendicular from the origin to the line joining two points whose coordinates are (cosθ,sinθ) and (cosϕ,sinϕ)]
Sol :

Question 14

(i) साबित केर कि रेखाओ 4x+3y=11 तथा 8x+6y=15 के बीच की लम्बवत दूरी $\frac{7}{10}$ है ।
[Prove that the perpendicular distance between the lines
4x+3y=11 and 8x+6y=15 is $\frac{7}{10}$]
Sol :
रेखा ⇒4x+3y=11
⇒8x+6y=15
⇒$4x+3y=\frac{15}{2}$

दो समांतर रेखाओ के बीच की दूरी $=\left|\dfrac{11-\frac{15}{2}}{\sqrt{4^2+3^2}}\right|$

$=\left|\dfrac{\frac{22-15}{2}}{5}\right|$

$=\frac{7}{5}$ इकाई

Question 15

यदि एक चर बिंदु P(x,y) की रेखाओ x+y-5=0 और 3x-2y+7=0 से लांबिक दूरियो का योग सदैव 10 रहे तो दर्शाइए कि P अनिवार्य रुप से एक रेखा पर गमन करता है ।
[If the sum of the perpendicular distance of a variable point P(x,y) from the lines x+y-5=0 and 3x-2y+7=0 is always 10, show that P must move on a line]
Sol :
$\left|\frac{x+y-5}{\sqrt{1^2+1^2}}\right|+\left|\frac{3x-2y+7}{\sqrt{3^2+2^2}}\right|=10$

$\frac{x+y-5}{\sqrt{2}}+\frac{3x-2y+7}{\sqrt{13}}=10$

Question 16

समानंतर रेखाओ 9x+6y-7=0 और 3x+2y+6=0 से समदूरस्थ रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिए ।
[Find the equation of the line midway between the parallel lines 9x+6y-7=0 and 3x+2y+6=0]
Sol :

रेखाओ का समीकरण
9x+6y-7=0 तथा 3x+2y+6=0

$3x+2y-\frac{7}{3}=0$

रेखाओ $3x+2y-\frac{7}{3}=0$ तथा 3x+2y+6=0 के समदूरस्थ रेखा का समीकरण

$3x+2y+\dfrac{\left(-\frac{7}{3}+6\right)}{2}=0$

$3x+2y+\dfrac{-\frac{7+18}{3}}{2}=0$

$3x+2y+\frac{11}{6}=0$

$\frac{18x+12y+11}{6}=0$

18x+12y+11=0

Question 17

रेखाओ y=mx+c तथा y=mx+d के बीच की दूरी निकाले ।
[Find the distance between the line y=mx+c and y=mx+d]
Sol :
mx-y+c=0 तथा mx-y+d=0 के बीच की दूरी

$=\left|\frac{c-d}{\sqrt{m^2+(-1)^2}}\right|$

$=\left|\frac{c-d}{\sqrt{m^2+1}}\right|$

Question 18

किसी वर्ग की भुजाँए 5x-12y-65=0 तथा 5x-12y+26=0 है । वर्ग का क्षेत्रफल निकाले।
[Sides of a square lie on the line 5x-12y-65=0 and 5x-12y+26=0 . Find the area of the square]
Sol :

माना ABCD एक वर्ग हो जिसकी दो समांतर भुजा AB तथा CD का समीकरण क्रमश:
5x-12y-65=0
5x-12y+26=0

AD$=\left|\frac{-65-26}{\sqrt{5^2+(-12)^2}}\right|$

$=\left|\frac{-51}{13}\right|$

=7 इकाई

वर्ग का समीकरण =7²
=49 वर्ग इकाई

Question 19

25 वर्ष इकाई क्षेत्रफल वाले वर्ग की दो भुजाएँ 3x-4y=0 तथा 4x+3y=0 है । अन्य दो भुजाओ के समीकरण निकाले सभी संभव उत्तर लिखे।
[The equation of two sides of a square whose area is 25 square units are 3x-4y=0 and 4x+3y=0. Find the equation of the other two sides of the square. Give all possible answer.]
Sol :

वर्ग का क्षेत्रफल =25 वर्ग इकाई

(भुजा)²=25
भुजा=5 इकाई

माना AB के समांतर रेखा का समीकरण
3x-4y+k=0

बिंदु B से रेखा CD की दूरी

$\left|\frac{3\times 0-4 \times 0+k}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}\right|=\pm 5$

$\frac{k}{5}= \pm 5$

k=±25

∴रेखा CD का समीकरण 3x-4y±25=0

Question 20

साबित करे कि रेखाओ $\sqrt{3}x+y=0$ ,$\sqrt{3}y+x=0$ , $\sqrt{3}x+y=1$ तथा

$\sqrt{3}y+x=1$ से बने समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर है ।
[Prove that the diagonals of the parallelogram formed by the lines $\sqrt{3}x+y=0$ ,$\sqrt{3}y+x=0$ , $\sqrt{3}x+y=1$ and $\sqrt{3}y+x=1$ are at right angles]

Sol :

Question 21

दिखाएँ कि रेखाओ ax+by+c=0 ,a₁x+b₁y+c=0,ax+by+c₁=0 तथा a₁x+b₁y+c=0 एक समचतुर्भुज बनाते है यदि a²+b²=a₁²+b₁²
[Show that the parallelogram formed by ax+by+c=0,a₁x+b₁y+c=0,ax+by+c₁=0 and a₁x+b₁y+c=0 will be a rhombus if a²+b²=a₁²+b₁²]
Sol :

माना ABCD एक समचतुर्भुज है ,

D+AB , BN⟂AD

$DM=\left|\frac{c_1-c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|$

$DM=\left|\frac{c_1-c}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}\right|$

∵समचतुर्भुज के शीर्ष एंम बराबर होते है ।

DM=BM

$\left|\frac{c_1-c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|=\left|\frac{c_1-c}{\sqrt{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}}\right|$

a²+b²=a₁²+b₁²

Question 22

दिखाएँ कि रेखाओ $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ ,  $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=-1$ , $\frac{x}{b}+\frac{y}{a}=-1$ से बने समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लम्ब है ।
[Prove that the diagonals of the parallelogram formed by the four lines $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ ,  $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=-1$ , $\frac{x}{b}+\frac{y}{a}=-1$ are perpendicular to each other.]
Sol :

माना ABCD एक समांतर चतुर्भुज है ।

D+AB , BN⟂AD

$DM=\left|\frac{ab+ab}{\sqrt{b^2+a^2}}\right|$

$DM=\left|\frac{2ab}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|$

$BN=\left|\frac{ab+ab}{\sqrt{b^2+a^2}}\right|$

$BN=\left|\frac{2ab}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|$

D=BN

∴ABCD एक समचतुर्भुज है ।

हम जानते है कि समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लंम्ब होते है ।

Question 23

किसी आयत की एक भुजा 3x-4y-10=0 है तथा इसके दो शीर्षो के निर्देशांक (-2,1) तथा (2,4) है । आयत का क्षेत्रफल निकाले तथा इसके उस विकर्ण का समीकरण निकाले जो बिन्दु (2,4) से जाती है ।
[The equation of one side of a rectangle is 3x-4y-10=0 and the co-ordinates of two of its vertices are (-2,1) and (2,4). Find the area of the rectangle and the equation of that diagonal of the rectangle which passes through the point (2,4)]
Sol :

माना ABCD एक आयत है ।
AB का समीकरण , 3x-4y-1=0

$AD=\left|\frac{-2\times 3+1\times (-4)-10}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}\right|$

$=\left|\frac{-6-4-10}{5}\right|$

$=\left|\frac{-20}{5}\right|$
=4 इकाई

$CD=\sqrt{\sqrt{(2+2)^2+(4-1)^2}}$
$=\sqrt{16+9}$
=5

आयत का क्षेत्रफल=5×4
=20 वर्ग इकाई

AD का समीकरण
-4x-3y+k=0

रेखा (-2,1) से गुजर रही है ।
-4(-2)-3(1)+k=0
8-3+k=0
k=-5

∴रेखा AD का समीकरण
-4x-3y-5=0
4x+3y+5=0

AB: 3x-4y-10=0..(i)×3
AD: 4x+3y+5=0..(ii)×4

$\begin{aligned}9x-12y-30=&0\\16x+12y+20=&0\\ \hline  25x-10=0\end{aligned}$

$x=\frac{10}{25}$
$x=\frac{2}{5}$

4x+3y+5=0

$4\left(\frac{2}{5}\right)+3y+5=0$

$3y=-\frac{8}{5}-5=\frac{-8-25}{5}$

$y=\frac{-33}{5\times 3}=\frac{-11}{5}$

Question 24

साबित करे कि रेखाएँ ax±by±c=0 एक समचतुर्भुज बनाते है जिसका क्षेत्रफल $\frac{2c^2}{|ab|}$ है ।
[Prove that the line ax±by±c=0 enclose a rhombus whose area is $\frac{2c^2}{|ab|}$ ]
Sol :

माना ABCD एक चतुर्भुज है ।

DM⟂AB ,BN⟂AD

$DM=\left|\frac{c+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|$

$=\left|\frac{2c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|$

$BN=\left|\frac{c+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|$

$=\left|\frac{2c}{\sqrt{a^2+(-b)^2}}\right|$

DM=BN

ABCD एक समचतुर्भुज है ।

Area$=\frac{|c_2-c_1||k_2-k_1|}{|a_2b_1-a_1b_2|}$

Area of rhombus ABCD$=\frac{|c+c||c+c|}{|a\times (-b)-b\times a |}$

$=\frac{|2c||2c|}{|-2ab|}$

$=\frac{4c^2}{2ab}=\frac{2c^2}{ab}$

Question 25

दिखाइए कि $(\sqrt{a^2-b^2},0)$ और $(-\sqrt{a^2-b^2},0)$ बिन्दिुओ से रेखा $\frac{x}{a}\cos \theta+\frac{y}{b}\sin \theta=1$ पर खीचे गये लम्बो की लम्बांईयो का गुणनफल b² है ।
Sol :

$PR=\left|\frac{b\sqrt{a^2-b^2}\cos \theta+0-1}{\sqrt{b^2\cos ^2 \theta+a^2 \sin^2 \theta}}\right|$

$=\left|\frac{b\sqrt{a^2-b^2}\cos \theta -1}{\sqrt{b^2\cos^2 \theta +a^2 \sin^2 \theta}}\right|$

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