KC Sinha: Exercise 20.1- Mathematics Solution Class 11 Chapter 20 परवलय

[mathjax]

Question 1

(i) परवलय का समीकरण निकाले जिसका नाभि (0,-2) तथा नियता y=2 है ।
[Find the equation of the parabola whose focus is (0,-2) and directrix is y=2]
Sol :

जब परवलय y-अक्ष के ऋणात्मक दिशा मे है ।
⇒x²=4(-2)y
⇒x²=-8y

Question 2

(i) परवलय का समीकरण निकाले जिसका नाभि (4,0) तथा नियता x=-4 है ।

[Find the equation of the parabola whose focus is (4,0) and directrix is x=-4]
Sol :

जब परवलय x-अक्ष के धनात्मक दिशा मे है ।

⇒y²=4(4)x
⇒y²=16x

Question 3

परवलय का समीकरण निकाले जिसका नाभि (-1,2) तथा नियता x-2y-15=0 है ।
[Find the equation of the parabola whose focus is (-1,2) and directrix is x-2y-15=0]

Sol :

माना P(x,y) परवलय पर स्थित एक बिन्दु है ।

परवलय का नाभि (-1,2) तथा नियता का समीकरण x-2y-15=0 है ।

PS=PM

$\sqrt{(x+1)^2+(y-2)^2}=\left|\frac{x-2y-15}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}\right|$

दोनो तरफ वर्ग करने पर,

⇒(x+1)²+(y-2)²$=\frac{(x-2y-15)^2}{15}$

⇒x²+2x+1+y²-4y+4$=\frac{x^2+(2y)^2+15^2-2.x.2y+2.2y.15-2.15.x}{5}$

⇒5x²+10x+5+5y²-20y+20=x²+4y²+225-4xy+60y-30x

⇒5x²+10x+5+5y²-20y+20-x²-4y²-225+4xy-60y+30x=0

⇒4x²+y²+4xy+40x-80y-200=0

Question 4

परवलय का समीकरण निकाले जो बिन्दु (2,3) से गुजरती है तथा जिसका शीर्ष मूल बिन्दु और अक्ष x-अक्ष है ।

[Find the equation of the parabola passing through (2,3) with vertex at the origin and axis along x-axis]

Sol :

उस परवलय का समीकरण जिसका शीर्ष मूल बिन्दु है तथा अक्ष x-अक्ष है ।

⇒y²=4ax

∵परवलय (2,3) से गुजर रहा है ।

⇒3²=4a×2

⇒$\frac{9}{8}=a$

∴परवलय का समीकरण $y^2=4\times \frac{9}{8}x$

Question 8

(i) परवलय का समीकरण निकाले जिसका शीर्ष (0,1) तथा नाभि (0,0) है ।

[Find the equation of the parabola having vertex at (0,1) and the focus at (0,0)]

Sol :

माना परवलय पर स्थित बिन्दु P(x,y) 

नाभि (0,0) शीर्ष (0,1)

∴नियता का समीकरण y-2=0

OP=PR

$=\sqrt{x^2+y^2=\left|\frac{y-2}{\sqrt{0^2+1^2}}\right|}$

दोनो तरफ वर्ग करने पर,

⇒x²+y²=(y-2)²

⇒x²+y²=y²-4y+4

Question 9

(i) परवलय का समीकरण निकाले जिसका नाभि (-6,-6) तथा शीर्ष (-2,2) है ।
[Find the equation of the parabola whose focus is (-6,-6) and vertex is (-2,2)]

Sol :

माना P(x,y) परवलय पर स्थित बिन्दु है ।
नाभि S(-6,-6) तथा शीर्ष A(-2,2)

नियता , अक्ष को B(?,ꞵ) बिन्दु पर काटती है ।

A, BS का मध्य बिन्दु होगा ।

$\left(\frac{\alpha -6}{2},\frac{\beta -6}{2}\right)=(-2,2)$

$\begin{array}{l|l}\frac{\alpha -6}{2}=-2&\frac{\beta -6}{2}=2\\ \alpha -6=-4 & \beta -6=4\\\alpha=2&\beta=10\end{array}$

परवलय अक्ष का समीकरण

$y-2=\frac{-6-2}{-6-(-2)}(x+2)$

$y-2=\frac{-8}{-4}(x+2)$

y-2=2x+4

0=2x-y+6

नियता का समीकरण
-x-2y+k=0

नियता (2,10) से गुजर रही है ।
-2-2(10)+k=0
k=22

∴नियता का समीकरण
-x-2y+22=0

x+2y-22=0

SP=PM

$\sqrt{(x+6)^2+(y+6)^2}=\left|\frac{x+2y-22}{\sqrt{1^2+2^2}}\right|$

Question 10

(i) परवलय का समीकरण निकाले जो y-अक्ष के सापेक्ष सममित है तथा शीर्ष (0,0) है तथा (5,2) से गुजरता है ।
[Find the equation of the parabola passing through (5,2) having vertex at (0,0) and symmetric about y-axis]
Sol :

y-अक्ष के धनात्मक दिशा मे परवलय का समीकरण

⇒x²=4ay

परवलय (5,2) से गुजर रहा है ।
⇒5²=4a(2)
⇒$\frac{25}{8}=a$

∴परवलय का समीकरण
$x^2=4\left(\frac{25}{8}\right)y$

$x^2=\frac{25}{2}y$

(iii) परवलय का समीकरण निकाले जिसका नाभि (0,0) है तथा शीर्ष रेखा x+y=1 तथा x-y=3 का प्रतिच्छेद बिन्दु है ।
[Find the equation of the parabola whose focus is at (0,0) and vertex is at the intersection if the lines x+y=1 and x-y=3]
Sol :

माना परवलय पर स्थित P(x,y) एक बिन्दु है ।
नाभि (0,0)

दो रेखाओ का प्रतिच्छेद बिन्दु A परवलय का शीर्ष है ।

$\begin{aligned}x+y=&1\\x-y=&3\\ \hline 2x=4\end{aligned}$
x=2 , y=-1

A , BS का मध्य बिन्दु होगा ।

$\left(\frac{\alpha +0}{2},\frac{\beta +0}{2}\right)=(2,-1)$

$\left(\frac{\alpha}{2},\frac{\beta}{2}\right)=(2,-1)$

?=4, ꞵ=-2

BS  का समीकरण

$y-(-1)=\frac{0-(-1)}{0-2}(x-2)$

$y+1=\frac{1}{-2}(x-2)$

-2y-2=x-2

0=x+2y

x+2y=0

BS⟂नियता का समीकरण

नियता का समीकरण
2x-y+k=0

∴नियता (4,-2) से गुजर रही है ।
2(4)-(-2)+k=0
8+2+k=0
k=-10

∴नियता का समीकरण
2x-y-10=0

PS=PM

$\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}=\left|\frac{2x-y-10}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}\right|$

दोनो तरफ वर्ग करने पर
⇒x²+y²$=\frac{(2x-y-10)^2}{5}$

Question 11

साबित करे कि परवलय का समीकरण x²+y²+2xy-4x+4y-4=0 है , जिसका नाभि (0,0) है तथा शीर्ष पर स्पर्श रेखा x-y+1=0 है ।

[Prove that the equation of the parabola whose focus is (0,0) and tangent at the vertex is x-y+1=0 is x²+y²+2xy-4x+4y-4=0]

Sol :

माना परवलय P(x,y) से गुजरता है ।
नाभि S(0,0)
शीर्ष पर स्पर्श रेखा का समीकरण
x-y+1=0

परवलय अक्ष का समीकरण
-x-y+k=0

∵अक्ष (0,0) से गुजरता है ।
-0-0+k=0
k=0

परवलय अक्ष का समीकरण
-x-y=0
x+y=0

दोनो रेखाओ (परवलय अक्ष तथा स्पर्श रेखा) का प्रतिच्छेद बिन्दु
x-y+1=0
x+y=0

2x+1=0

$x=-\frac{1}{2}, y=\frac{1}{2}$

A , BS का मध्य बिन्दु है ।

$\left(\frac{\alpha +0}{2},\frac{\beta +0}{2}\right)=\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$

$\left(\frac{\alpha }{2},\frac{\beta}{2}\right)=\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$

(?,ꞵ)=(-1,1)

परवलय अक्ष का समीकरण
x+y=0

निसता का समीकरण
x-y+k=0

∵नियता  (-1,1) से गुजर रही है ।
-1-1+k=0
k=2

∴नितया का समीकरण
x-y+2=0

Question 13

उस परवलय का समीकरण निकाले जिसका अक्ष, x-अक्ष है तथा जो बिन्दुओ (3,2) तथा (-2,-1) से गुजरता है ।
[Find the equation of the parabola which has its axis along the x-axis and which passes through the point (3,2) and (-2,-1)]
Sol :

x-अक्ष के अनुदिश परवलय का समीकरण
⇒y²=4a(x-?)

∵परवलय (3,2) से गुजरता है ।
⇒2²=4a(3-?)
⇒4=4a(3-?)
⇒$a=\frac{1}{3-\alpha}$

∵परवलय (-2,-1) से गुजरता है ।

⇒(-1)²=4a(-2-?)
⇒1=4a(-2-?)
⇒$a=\frac{1}{4(-2-\alpha)}$

∴$\frac{1}{3-\alpha}=\frac{1}{4(-2-\alpha)}$

3-?=-8-4?

-?+4?=-8-3

3?=-11

$\alpha =-\frac{11}{3}$

$\alpha =-\dfrac{11}{3+\frac{11}{3}}$

$\alpha =\frac{3}{20}$

∴परवलय का समीकरण
$y^2=4\left(\frac{3}{20}\right)\left(x+\frac{11}{3}\right)$

⇒5y²=3x+11

Question 14

निम्नलिखित मे से प्रत्येक परवलय के लिए शीर्ष के निर्देशांक नियता का समीकरण तथा नाभिलम्ब की लम्बाई निकाले ।
[For each of the following parabolas, find the coordinates of the focus , the equation of the directrix and the length of the latus rectum]

(i) x²=6y
Sol :
∴परवलय y-अक्ष के अनुदिश धनात्मक दिशा मे होगा तथा शीर्ष (0,0) होगा ।
(x²=6y)

∴4a=6
$a=\frac{3}{2}$

(i) नाभि $\left(0,\frac{3}{2}\right)$

(ii) नियता का समीकरण $y=-\frac{3}{2}$

(iii) नाभिलम्ब$=4a=4\times \frac{3}{2}=6$

(ii) y²=8x
Sol :

Question 15

परवलय 4y²+12x-20y+67=0 का शीर्ष , नाभि,अक्ष ,नियता तथा नाभिलम्ब निकाले ।
[Find the vertex ,focus,axis and latus rectum of the parabola 4y²+12x-20y+67=0]

Sol :
4y²+12x-20y+67=0

4 से भाग देने पर,
y²+3x-5y+$\frac{67}{4}$=0

y²-5y=-3x-$\frac{67}{4}$

y²-2.y.$\frac{5}{2}+\left(\frac{5}{2}\right)^2$=-3x-$\frac{67}{4}+\left(\frac{5}{2}\right)^2$

$\left(y-\frac{5}{2}\right)^2=-3x-\frac{67}{4}+\frac{25}{4}$

$\left(y-\frac{5}{2}\right)^2=-3x-\frac{42}{4}$

$\left(y-\frac{5}{2}\right)^2=-3\left(x-\frac{7}{2}\right)$

परवलय का समीकरण
y²=-4ax

$Y=y-\frac{5}{2}$ ,

-4a=-3
$a=\frac{3}{4}$

$X=x+\frac{7}{2}$

शीर्षः x=0 , y=0

$x+\frac{7}{2}=0$ ,$y-\frac{5}{2}=0$

$x=-\frac{7}{2},y=\frac{5}{2}$

शीर्ष $\left(-\frac{7}{2},\frac{5}{2}\right)$

नाभि: X=a, Y=0

$x+\frac{7}{2}=-\frac{3}{4}$
$x=-\frac{3}{4}-\frac{7}{2}$
$=\frac{-3-14}{4}=-\frac{17}{4}$

$y-\frac{5}{2}=0$
$y=\frac{5}{2}$

नाभि :$\left(-\frac{17}{4},\frac{5}{2}\right)$

नियता का समीकरण : X=a

$x+\frac{7}{2}=\frac{3}{4}$
$x=\frac{3}{4}-\frac{7}{2}$
$=\frac{3-14}{4}$
$x=-\frac{11}{4}$

अक्ष का समीकरण : Y=0
$y-\frac{5}{2}=0$
$y=\frac{5}{2}$

नाभिलम्ब=4a
$=4\left(\frac{3}{4}\right)=3$

Question 16

निम्नलिखित पवलय के शीर्ष ,नाभि,अक्ष,नियता तथा नाभिलम्ब निकाले ।
[Find the vertex,focus,axis,directrix and latus rectum of the following parabolas]
(i) (y-2)²=3(x+1)
Sol :
परवलय x-णक्ष के अनुदिश है ।

Y²=4aX

X=x+1 ,

4a=3
$a=\frac{3}{4}$

Y=y-2

(i) शीर्षः
X=0,Y=0
x+1=0 ,y-2=0
x=-1,y=2

 शीर्षः(-1,2)

(ii) नाभिः
X=a ,Y=0
x+1=$\frac{3}{4}$ ,y-2=0

$x=-\frac{1}{4}$ ,y=2

नाभि $\left(-\frac{1}{4},2\right)$

(iii) अक्षः
Y=0
y-2=0
y=2

(iv) नियताः
X=-a
x+1=$-\frac{3}{4}$

$x=-\frac{7}{4}$

4x=-7
4x+7=0

(v) नाभिलंब=4a
$=4\left(\frac{3}{4}\right)$
=3

(ii) y²+4x+4y-3=0
Sol :
y²+4y=-4x+3

y²+2.y.2+2²=-4x+3+2²

(y+2)²=-4$\left(x-\frac{7}{4}\right)$

Y²=-4aX

Question 20

उस वृत्त का समीकरण निकाले जिसका एक व्यास के छोर परवलय x²=4ay तथा y²=4a(x-a) के नाभि है ।
[Find the equation of the circle described on the line segment joining the foci of the parabolas x²=4ay and y²=4a(x-a)]
Sol :

परवलय का समीकरण x²=4ay
नाभि (0,0)
परवलय का समीकरण: y²=4a(x-a)

परवलय का समीकरण : x अक्ष के अनुदिश है ।
Y²=4aX
नाभि X=a ,Y=0

x-a=a ,y=0

x=2a

वृत्त का समीकरण (x-2a)(x-0)+(y-0)(y-a)=0
(x-2a)x+y(y-a)=0
x²-2ax+y²-ay=0
x²+y²-2ax-ay=0

Question 21

एक समबाहु त्रिभुज परवलय y²=4ax के अन्तर्गत है जिसका शीर्ष परवलय का शीर्ष है । इसकी भुजा की लम्बाई निकाले ।
[An equilateral triangle is inscribed in the parabola y²=4ax whose vertex is at the vertex of the parabola. Find the length of its sides ]
Sol :

माना OAB एक समबाहु त्रिभुज है ।
माना OA=l
समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° का होता है ।

∠AOD=∠BOD$=\frac{1}{2}\times 60$
=30°

$\sin 30^{\circ}=\frac{AD}{l}$
$AD=\frac{l}{2}$

$\cos 30^{\circ}=\frac{OD}{l}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{OD}{l}$
$OD=\frac{\sqrt{3}}{2}l$

परवलय का समीकरण
y²=4ax

$\left(\frac{l}{2}\right)=4a\left(\frac{\sqrt{3}}{2}l\right)$

$\frac{l^2}{4}=2\sqrt{3}al$

l=8a√3

समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा=8a√3

Question 22

परवलय x²=12y के शीर्ष को इसके नाभिलम्ब के छोरो को मिलाने से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल निकाले ।
[Find the area of the triangle formed by the lines joining the vertex of the parabola x²=12y to the ends of its latus rectum]
Sol :

परवलय का समीकरण
x²=12y

जो y-अक्ष के धनातमक दिशा मे है ।

जिसका शीर्ष (0,0) है ।
4a=12
a=3

नाभिलम्ब=4a=12

त्रिभुज का क्षेत्रफल$=\frac{1}{2}\times 12\times 3$
=18 वर्ग इकाई

Question 23

PQ परवलय y²=4ax का अभिलम्ब जीवा (double ordinate) है । इसके समत्रिभाग करने वाले बिन्दु का बिन्दुपथ निकाले ।
[PQ is a double ordinate of a parabola y²=4ax . Find the locus of its points of trisection]
Sol :

माना बिन्दु R तथा S , अभिलंब जीवा PQ को समविभाजीत करना है ।

माना बिन्दु R का निर्देशांक=(h,k)

OL=h,
RL=k ,LS=k

RS=k+k=2k

PR=RS=SQ=2k

PL=2k+k=3k

परवलय का समीकरण
y²=4ax
(3k)²=4ah
9k²=4ah

बिन्दु का बिन्दुपध 9y²=4ax जहाँ (x,y)=(h,k)

Question 24

किसी परवलयाकर दर्पण का नाभि इसके शीर्ष से 6 सेमी दूर है जैसा चित्र मे दिखाया गया है । यदि दर्पण 20 सेमी गहरा है, तो LM निकाले ।
[The focus of a parabolic mirror as shown in the figure is at a distance of 6cm from its vertex. If the mirror is 20cm deep. Find LM]

Sol :

परवलय का नाभि (6,0)

परवलय का समीकरण
root√
y²=4×6x

y²=24x

∵परवलय पर स्थित एक बिन्दु
(20,LN) है।

LN²=24×20

LN=√24×20
LN=√6×2×2×2×2×5

LM=2×LN
=2×4√30
=8√30cm

Question 25

परवलयाकार के रुप मे झूलते हुए किसी पुल का मीनार के शीर्ष सड़क से 30 मीटर ऊँचाई पर परस्पर 200 मीटर अलग है । यदि केबिल पुल के केन्द्र पर सड़क पथ से 5 मीटर ऊपर है , तो मध्य से 30 मीटर दूर सड़क पथ से जुड़े समर्थक तार की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
[The tower of a bridge , hung in the form of a parabola , have their tops 30 metres above the road way and are 200 metres apart. If the cable is 5 metres above the roadway at the centre of the bridge, find the length of the vertical supporting cable 30 metres from the centre]
Sol :

माना मध्य से 30cm दूरी पर सड़क से जुडे समर्थक तार की लंम्बाई=l

y-अक्ष के अनुदिशा परवलय का समीकरण
x²=4a(y-5)

∵परवलय (100,30) से गुजर रहा है ,
(100)²=4a(30-5)
10000=100a
a=100

a का मान रखने पर,
x²=400(y-5)

∵D(30,l) परवलय पर स्थित बिन्दु है ।
(30)²=400(l-5)

900=400(l-5)

$\frac{9}{4}=l-5$

$\frac{9}{4}+5=l$

$l=\frac{29}{4}=7\frac{1}{4}$