KC Sinha: Exercise 21.1- Mathematics Solution Class 11 Chapter 21 दीर्घवृत्त

[mathjax]

उस दीर्घवृत्त का समीकरण निकाले जिसका:
(i) एक नाभि (-1,1) नियता x-y+3=0 तथा उत्केन्द्रता $\frac{1}{2}$ है ।
Sol:

माना दीर्घवृत्त का केन्द्र मूल बिन्दु है तथा जिसका दीर्घ अक्ष x-अक्ष पर है ।
2a=12
a=6 ,c=4
b²=
a²=6²-4²
=36-16
=20

दीर्घवृत्त का समीकरण

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

$\frac{x^2}{6^2}+\frac{y^2}{20}=1$

$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$

Question 4

दीर्घवृत्त का समीकरण निकाले जिसका केन्द्र (-2,3) है, तथा अर्ध अक्षो की लंबाइयाँ 3 तथा 2 है जब दीर्घ अक्ष y-अक्ष के समान्तर है ।
[Find the equation to the ellipse whose centre is (-2,3) and whose semi axes are 3 and 2 when the major axis is parallel to the y-axis]
Sol :
उस दीर्घवृत्त का समीकरण जिसका केन्द्र (?,ꞵ) है तथा दीर्घ अक्ष y-अक्ष के समानतर है ।

$\frac{(x-\alpha)^2}{b^2}+\frac{(y-\beta)^2}{a^2}=1$

∴$\frac{(x+2)^2}{2^2}+\frac{(y-3)^2}{3^2}=1$

$\frac{x^2+4x+4}{4}+\frac{y^2-6x+9}{9}=1$

$\frac{9x^2+36x+36+4y^2-24y+36}{36}=1$

9x²+4y²+36x-24y+72=36

9x²+4y²+36x-24y+36=0

Question 5

उस दीर्घवृत्त का समीकरण निकाले जिसके शीर्ष (0,±10) तथा उत्केन्द्रता $\frac{4}{5}$ है ।
[Find the equation of the eclipse having vertices (0,±10) and eccentricity $\frac{4}{5}$]
Sol :
शीर्ष (0,±10) ,$e=\frac{4}{5}$

माना दीर्घवृत्त का दीर्घअक्ष y-अक्ष पर है ।
तथा केन्द्र मूल बिन्दु है ।

a=10 , $e=\frac{4}{5}$

b²=a²(1-e²)
b²=10²
$\left[1-\left(\frac{4}{5}\right)^2\right]$

$b^2=100\left(1-\frac{16}{25}\right)$

$b^2=100\left(\frac{25-16}{25}\right)$

b²=4×9

b²=36
b=6

∴दीर्घवृत्त का समीकरण
$\frac{x^2}{6^2}+\frac{y^2}{10^2}=1$

$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{100}=1$

$\frac{25x^2+9y^2}{900}=1$

25x²+9y²=900

Question 6

दीर्घवृत्त का समीकरण निकाले
[Find the equation of the ellipse]

(i) जिसका शीर्ष (0,±3) तथा नाभियाँ (0,±5) पर है ।
[having vertices at (0,±13) and foci at (0,±5)]
Sol :
दीर्घवृत्त का दीर्घ अक्ष y-अक्ष पर होगा तथा केन्द्र मूल बिन्दु है ।
a=13 , c=5

b²=a²-c²
b²=13²-5²
b=12

दीर्घवृत्त का समीकरण
$\frac{x^2}{12^2}+\frac{y^2}{13^2}=1$

$\frac{x^2}{144}+\frac{y^2}{169}=1$

(ii) जिसका शीर्ष (±5,0) तथा नाभियाँ (±4,0) है ।
[having vertices (±5,0) and foci (±4,0)]
Sol :
दीर्घवृत्त का शीर्ष अक्ष x-अक्ष पर है तथा केन्द्र मूल बिन्दु है ।
a=5 ,c=4

b²=a²-c²

b²=5²-4²

b=3

दीर्घवृत्त का समीकरण

$\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{3^2}=1$

$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$

Question 7

दीर्घवृत्त का समीकरण निकाले ।
[Find the equation of the ellipse having ]

(i) जिसके दीर्घ अक्ष की लम्बाई 26 तथा नाभियाँ (±5,0) है ।
[Length of major axis 26 and foci (±5,0)]
Sol :
दीर्घवृत्त का दीर्घ अक्ष x-अक्ष पर है तथा केन्द्र मूल बिन्दु है ।
2a=16
a=8

b²=a²-c²

(iv) जिसके लघु अक्ष की लम्बाई 16 तथा नाभियाँ (0,±6) है ।
[Length if minor axis 16 and foci (0,±6)]
Sol :
c=6

2b=16
b=8

a²=b²+c²

Question 8

उस दीर्घवृत्त का समीकरण निकाले जो बिन्दु (3,2) तथा (1,6) से गुजरता है तथा जिसका केन्द्र (0,0) है तथा दीर्घ अक्ष , y-अक्ष पर है ।
[Find the equation of the ellipse passing through the point (3,2) having centre at (0,0) and major axis on y-axis]
Sol :
दीर्घवृत्त का समीकरण जिसका दीर्घ अक्ष y-अक्ष पर है तथा केन्द्र मूल बिन्दु है ।
$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$

∵दीर्घवृत्त (3,2) से गुजर रहा है ।
$\frac{3^2}{b^2}+\frac{2^2}{a^2}=1$

$\frac{9}{b^2}+\frac{4}{a^2}=1$..(i)

∴दीर्घवृत्त (1,6) से गुजर रहा है ।
$\frac{1^2}{b^2}+\frac{6^2}{a^2}=1$

$\frac{1}{b^2}+\frac{36}{a^2}=1$..(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) से ,

$\begin{aligned}\frac{81}{b^2}+\frac{36}{a^2}=9\\ \frac{1}{b^2}+\frac{36}{a^2}=1\\ \hline \frac{80}{b^2}=8 \end{aligned}$
8b²=80
b²=10

समीकरण (ii) से,
$\frac{1}{10}+\frac{36}{a^2}=1$

$\frac{36}{a^2}=1-\frac{1}{10}$

$\frac{36}{a^2}=\frac{10-1}{10}$

$\frac{36}{a^2}=\frac{9}{10}$
a²=40

∴दीर्घवृत्त का समीकरण
$\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{40}=1$

Question 9

दीर्घवृत्त का समीकरण निकाले जिसके दीर्घ अक्ष के छोर (0,±√5) तथा अक्ष के छोर (±1,0) है ।
[Find the equation of the ellipse having ends of major axis (0,±√5) and ends of minor axis  (±1,0)]
Sol :
a=√5 , b=1

$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$

Question 10

यदि a अर्थ दीर्घ अक्ष की लम्बाई , b अर्ध लघु अक्ष की लम्बाई तथा c दीर्घवृत्त के एक नाभि की केन्द्र से दूरी है तो दीर्घवृत्त का समीकरण निकाले जिसके लिए केन्द्र (0,0) नाभि x-अक्ष पर, b=3 तथा c=4 है ।
[If a be the length of semi major axis , b the length of semi minor axis and c the distance of one focus from the centre of an ellipse then find the equation of the ellipse for which centre is (0,0) foci is on x-axis , b=3 and c=4]
Sol :

Question 11

एक दीरिघवृत्त के नाभियो के बीच की दूरी 10 तथा इसके नाभिलम्ब की लम्बाई 15 है , तो इसका समीकरण निकाले जबकि इसके अक्ष निर्देशांक अक्ष है ।
[The distance between the foci of an ellipse is 10 and its latus rectum is 15, find its equation referred to its axes if coordinates]
Sol :
नाभियो के बीच की दूरी=10
2c=10
c=5

नाभिलंम्ब की लम्बाई=15
$\frac{2b^2}{a}=15$

$\frac{2(a^2-c^2)}{a}=15$

2(a²-25)=15a
2a²-50=15a
2a²-15a-50=0
2a²-20a+5a-5a=0
2a(a-10)+5(a-10)=0
(2a+5)(a-10)=0

$\begin{array}{l|l}2a+5&a-10=0\\a=-\frac{5}{2}&a=10\end{array}$

a=10
$\frac{2b^2}{a}=15$

$\frac{2b^2}{10}=15$

b²=75

दीर्घवृत्त का समीकरण
$\frac{x^2}{10^2}+\frac{y^2}{75}=1$

$\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{75}=1$

$\frac{3x^2+4y^2}{300}=1$

3x²+4y²=300

Question 12

दीर्घवृत्त का समीकरण मानक रुप मे निकाले जिसका लघु अक्ष नाभियो के बीच की दूरी के बराबर है तथा जिसका नाभिलम्ब 10 है।
[Find the equation of the ellipse in the standard form whose minor axis is equal tot he distance between the foci and whose latus rectum is 10]
Sol :
लघु अक्ष की लंम्बाई=नाभियो के बीच की दूरी
2b=2c
b=c

नाभिलम्ब=10

$\frac{2b^2}{a}=10$

∵a²=b²+c²
a²=b²+b²
a²=2b²

$\frac{a^2}{a}=10$
a=10

10²=2b²

$\frac{100}{2}=b^2$
b²=50
a²=50

दीर्घवृत्त का समीकरण
$\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{50}=1$

$\frac{x^2+2y^2}{100}=1$

x²+2y²=100

Question 13

किसी दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता $\frac{1}{2}$ है तथा नाभियो के बीच की दूरी 4 इकाई है । यदि दीर्घवृत्त का दीर्घ अक्ष तथा लघु अक्ष क्रमशः x-अक्ष तथा y-अक्ष के अनुदिश हो तो दीर्घवृत्त का समीकरण निकाले ।
Sol :
$e=\frac{1}{2}$ ,

2c=4
c=2

$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$
$\frac{2}{a}=\frac{1}{2}$

$b=\sqrt{a^2-c^2}$
$=\sqrt{4^2-2^2}$
$=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}$

$b=\sqrt{12}$

∴दीर्घवृत्त का समीकरण
$\frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{(\sqrt{12})^2}=1$

$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$

$\frac{3x^2+4y^2}{48}=1$

3x²+4y²=48

Question 14

(6,4) से जाते हुए दीर्घवृत्त का समीकरण निकाले जिसकी नाभियाँ y-अक्ष पर, केन्द्र मूल बिन्दु तथा उत्केन्द्रता $\frac{3}{4}$ है ।
[Find the equation of the ellipse passing through (6,4), foci on y-axis centre at the origin and having eccentricity $\frac{3}{4}$]
Sol :
रेखा दीर्घवृत्त का समीकरण जिसकी नाभी y-अक्ष पर तथा केन्द्र मूल बिन्दु है ।
$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$

∵दीखर्वृत्त (6,4) से गुजर रहा है ।
$\frac{6^2}{b^2}+\frac{4^2}{a^2}=1$

$\frac{36}{b^2}+\frac{4^2}{a^2}=1$..(i)

∵$e=\frac{3}{4}$

$\frac{c}{a}=\frac{3}{4}$
$\frac{c^2}{a^2}=\frac{9}{16}$

$\frac{a^2-b^2}{a^2}=\frac{9}{16}$

16a²-16b²=9a²
7a²-16b²=0
7a²=16b²

$a^2=\frac{16}{7}b^2$

समीकरण (i) से ,

$\frac{36}{b^2}+\frac{16}{}=1$

$\frac{36}{b^2}+\dfrac{16}{\frac{16}{7}b^2}=1$

$\frac{36}{b^2}+\frac{7}{b^2}=1$

$\frac{43}{b^2}=1$

b²=43

∴$a^2=\frac{16}{17}b^2$

$=\frac{16}{17}\times 43$

$a^2=\frac{688}{7}$

∴दीर्घवृत्त का समीकरण

$\frac{x^2}{43}+\dfrac{y^2}{\frac{688}{7}}=1$

$\frac{x^2}{43}+\frac{7y^2}{688}=1$

$\frac{16x^2+7y^2}{688}=1$

16x²+7y²=688

Question 15

(4,1) से जाते हुए दीर्खवृत्त का समीकरण निकाले जिसकी नाभियाँ (±3,0) है ।
[Find the equation of the ellipse passing through (4,1) with foci as (±3,0)]
Sol :
माना दीर्घवृत्त का समीकरण
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

दीर्घवृत्त (4,1) से गुजर रहा है ।

$\frac{4^2}{a^2}+\frac{1^2}{b^2}=1$

$\frac{16}{a^2}+\frac{1^2}{b^2}=1$..(i)

नाभियाँ(±3,0)
c=3
a²=b²+c²
a²=b²+3²

a²=b²+9

समीकरण (i) से
$\frac{16}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$

$\frac{16}{b^2+9}+\frac{1}{b^2}=1$

$\frac{16b^2+b^2+9}{b^2(b^2+9)}=1$

$\frac{17b^2+9}{b^4+9b^2}=1$

b⁴+9b²=17b²+9

b⁴+9b²-17b²-9=0
b⁴-8b²-9=0
b⁴-9b²+b²-9=0

b²(b²-9)+1(b²-9)=0

(b²-9)(b²+1)=0

$\begin{array}{l|l}b^2-9=0& b^2+1=0\\b^2=9&b^2=-1\end{array}$

∵a²=b²+9

a²=9+9

=18

∴दीर्घवृत्त का समीकरण 

$\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{9}=1$

Question 16

उन सभी बिन्दुओ के समुच्चय निकाले जिसकी (0,4) से दूरियाँ उनकी रेखा y=9 से दूरियो का $\frac{2}{3}$ है।
[Find the equation of the set of all points whose distances from (0,4) are $\frac{2}{3}$ of their distances from the line y=9]

Sol :

माना दीर्घवृत्त उन सभी बिन्दुओ का समीकरण है ।
माना P(x,y) दीर्घवृत्त पर स्थित बिन्दु है ।

$PS=\frac{2}{3}\times PM$

$\left| \sqrt{(x-0)^2+(y-4)^2}=\frac{2}{3}\times \left$|\frac{y-9}{\sqrt{0^2+1^2}}\right|$

$\sqrt{x^2+(y-4)^2}=\frac{2}{3}\left|y-9\right|$

दोनो तरफ वर्ग करने पर ,

x²+(y-4)²=$\frac{4}{9}(y-9)^2$

x²+y²-8y+16=$\frac{4}{9}(y^2-18y+81)$

9x²+9y²-72y+144=4y²-72y+324

9x²+5y²=324-144

9x²+5y²=180

Question 17

उस दीर्घवृत्त का समीकरण निकाले जिसकी नाभियाँ (4,0) तथा (-4,0) तथा उत्केन्द्रता $\frac{1}{3}$ है ।
[Find the equation to the ellipse whose foci are (4,0) and (-4,0) and eccentricity is $\frac{1}{3}$]
Sol :

Question 19

यदि किसी दीर्घवृत्त के नाभियो को इसके लघु अक्ष के एक छोर से मिलाने वाली रेखाओ के बीच का कोण 90° है , तो इसका उत्केन्द्रता निकाले । दीर्घवृत्त का समीकरण भी निकाले यदि इसका दीर्घ अक्ष 2√2 है ।
[If the angle between the line joining the foci of any ellipse to an extremity of the minor axis is 90° , find the eccentricity. Find also the equation of the ellipse if the major axis is 2√2]
Sol :
माना दीर्घवृत्त की नाभियाँ S' तथा S है ।

∠SBS'=90°

∠S'BD=$\frac{1}{2}\times 90$
=45°

tan45°=$\frac{c}{b}$
$1=\frac{c}{b}$
b=c

a²=b²+c²
a²=b²+b²
a²=2b²

दीर्घ अक्ष की लंबाई=2√2
2a=2√2

2=2b²
b=±1

b=1 , c=1

$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

दीर्घवृत्त का समीकरण
$\frac{x^2}{(\sqrt{2})^2}+\frac{y^2}{1^2}=1$

Question 20

दीर्घवृत्त 9x²+16y²=144 के लिए दीर्घ अक्ष तथा लघु अक्ष की लम्बाइयाँ , उत्केन्द्रता, नाभियो के निर्देशांक शीर्ष तथा नियताओ के समीकरण निकाले ।
[For the ellipse 9x²+16y²=144 , find the length of the major and minor axes, the eccentricity , the coordinates of the foci, the vertices and the equations of the directrices]
Sol :
दीर्घवृत्त का समीकरण
9x²+16y²=144

$\frac{9x^2}{144}+\frac{16y^2}{144}=1$

$\frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{3^2}=1$

अतः दीर्घवृत्त का दीर्घअक्ष x-अक्ष होगा तथा केन्द्र , मूल बिन्दु होगा ।
a=4 ,b=3 ,
$c=\sqrt{a^2-b^2}$
$c=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$

दीर्घ अक्ष की लंम्बाई=2a
=2×4=8

लघु अक्ष की लम्बाई=2b
=2×3=6

$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{7}}{4}$
नाभि(±√7,0)

शीर्ष (±4,0)

नियता का समीकरण
$x=\pm \frac{a}{e}$

$x=\pm \dfrac{4}{\frac{\sqrt{7}}{4}}$

$x=\pm \frac{16}{\sqrt{7}}$

Question 23

साबित करे कि निम्नलिखित समीकरण एक दीर्घवृत्त को निरूपित करता है । इसका केन्द्र और उत्केन्द्रता निकाले ।
[Show that the following equation represents an ellipse and find its centre and eccentricity]
8x²+6y²-6x+12y+13=0
Sol :
⇒8x²-6y²+6x+12y=-13

⇒8[x²-2x]+6[y²-2y]=-13

⇒8[x²-2.x.1+1²]+6[y²+2.y.1+1²-1²]=-13

⇒8(x²-1)-8+6(y²+1)-6=-13

⇒8(x-1)²+6[y-(-1)]²=11

⇒$\dfrac{(x-1)^2}{\frac{1}{8}}+\dfrac{[y-(-1)]^2}{\frac{1}{6}}=1$

⇒$\dfrac{(x-1)^2}{\frac{1}{\left(\sqrt{8}\right)^2}}+\dfrac{[y-(-1)]^2}{\frac{1}{\left(\sqrt{6}}\right)}=1$

$a=\frac{1}{\sqrt{6}},b=\frac{1}{\sqrt{8}}$

केन्द्र (1,-1)

समीकरण दीर्घवृत्त को निरुपीत करता है ।

$C=\sqrt{a^2-b^2}$

$=\sqrt{\frac{1}{6}-\frac{1}{8}}$

$=\sqrt{\frac{4-3}{24}}=\sqrt{\frac{1}{24}}$

$e=\frac{c}{a}=\dfrac{\frac{1}{\sqrt{24}}}{\frac{1}{\sqrt{6}}}$
$=\frac{1}{2}$

Question 24

निम्नलिखित दीर्घवृत्त का केन्द्र अक्षो की लम्बाईयाँ तथा उत्केन्द्रता निकाले ।
[Find the centre, the lengths of the axes and the eccentricity of the ellipse ]
2x²+3y²-4x-12y+13=0

Sol :

⇒2x²+3y²-4x-12y=-13

⇒2[x²-2x]+3(y²-4y)=-13

⇒2[x²-2.x.1+1²-1²]+3[y²-2.y.2+2²-2²]=-13

⇒2(x²-1)²-2+3(y-2)²-12=-13

⇒2(x-1)²+3(y-2)²=1

⇒$\dfrac{(x-1)^2}{\frac{1}{2}}+\dfrac{(y-2)^2}{\frac{1}{3}}=1$

⇒$\dfrac{(x-1)^2}{\left(\frac{1}{2}\right)^2}+\dfrac{(y-2)^2}{\left(\frac{1}{3}\right)^2}=1$

⇒$a=\frac{1}{\sqrt{2}}$ ,$b=\frac{1}{\sqrt{3}}$

दीर्घवृत्त x-अक्ष के अनुदीश है।

केन्द्र (1,2)

दीर्घ अक्ष का लम्बाई $=2\times \frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

लघु अक्ष की लम्बाई $=2b=2\times \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$

$c=\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}$

$=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$

$e=\frac{c}{a}=\dfrac{\frac{1}{\sqrt{6}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}$

$=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Question 27

दीर्घवृत्त का उत्केन्द्रता निकाले यदि इसका नाभिलंब इसके दीर्घ अक्ष का आधा है ।
[Find the eccentricity of an ellipse if its latus rectum is equal to one-half of its major axis]
Sol :
नाभिलंब की लम्बाई$=\frac{1}{2}\times $दीर्घ अक्ष की लंम्बाई

$\frac{2b^2}{a}=\frac{1}{2}\times 2a$

2b²=a²

$b^2=\frac{a^2}{2}$

∵a²=b²+c²

$a^2=\frac{a^2}{2}+c^2$

$c^2=a^2-\frac{a^2}{2}$

$c^2=\frac{2a^2-a^2}{2}$

$c^2=\frac{a^2}{2}$

$\frac{c^2}{a^2}=\frac{1}{2}$

$\left(\frac{c}{a}\right)^2=\frac{1}{2}$

$e=\sqrt{\frac{1}{2}}$

$e=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Question 29

15 सेमी लंबी एक छड़ AB दोनो निर्देशांको के बीच मे इस प्रकार रखी गयी है कि उसका एक सिरा A, x-अक्ष पर और दूसरा सिरा B, y-अक्ष पर रहता है छड़ पर एक बिन्दु P(x,y) इस प्रकार लिया गया है कि AP=6 सेमी है । दिखाइए कि P का बिन्दुपथ एक दीर्घवृत्त है ।
Sol :

माना AB छड़ इस प्रकार स्थित है । कि A से मूल बिन्दु की दूरी a है तथा B से मूल बिन्दु की दूरी b है ।

माना P(x,y) ,AB पर स्थित है ।
AP=6cm ,

BP=15-6
=9cm

$\frac{AP}{BP}=\frac{6}{8}$
=2:3=m:n

P(x,y)=$\left(\frac{2\times 0+3\times a}{2+3},\frac{2\times b+3\times 0}{2+3}\right)$

$=\left(\frac{3a}{5},\frac{2b}{5}\right)$

$x=\frac{3a}{5}$,$y=\frac{2b}{5}$
$a=\frac{5x}{3}$,$b=\frac{5y}{2}$

OA²+OB²=AB²

$\left(\frac{5x}{3}\right)^2+\left(\frac{5y}{2}\right)^2=(15)^2$

$\frac{25x^2}{9}+\frac{25y^2}{4}=225$

$\frac{25x^2}{9\times 225}+\frac{25y^2}{4\times 225}=1$

$\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{36}=1$

$\frac{x^2}{9^2}+\frac{y^2}{6^2}=1$

दीर्घवृत्त का समीकरण