KC Sinha: Exercise 25.2- Mathematics Solution Class 12 Chapter 25 सदिश बीजगणित

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Question 1

चार बिन्दुओ A,B,C,D के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, 2 \vec{a}+3 \vec{b}$ तथा $\vec{a}-2 \vec{b}$ है। सदिश $\overrightarrow{\mathrm{AC}}, \overrightarrow{\mathrm{DB}}, \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ तथा $\overrightarrow{\mathrm{CA}}$ $\vec{a}$ को और $\vec{b}$ के पदो मे व्यक्त करे।

Sol :

चार बिंदुओ A,B,C तथा D के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b},2\vec{a}+3\vec{b}$ तथा $\vec{a}-2 \vec{b}$ है।

$O\vec{A}=\vec{a}, \overrightarrow{O B}=\vec{b}$ , $\overrightarrow{OC}=2 \vec{a}+3 \vec{b},\overrightarrow{O D}=\vec{a}-2 \vec{b}$

$\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{OA}=2 \vec{a}+3 \vec{b}-\vec{a}=\vec{a}+3 \vec{b}$

$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD}=\vec{b}-(\vec{a}-2 \vec{b})=\vec{b}-\vec{a}+2 \vec{b}=3 \vec{b}-\vec{a}$

$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=2 \vec{a}+3 \vec{b}-\vec{b}=2 \vec{a}+2 \vec{b}=2(\vec{a}+\vec{b})$

$\overrightarrow{C A}=\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{OC}=\vec{a}-(2\vec{a}+3 \vec{b})=\vec{a}-2 \vec{a}-3 \vec{b}$

$=-\vec{a}-3 \vec{b}$

$=-(\vec{a}+3 \vec{b})$

Question 2

यदि AD, BE तथा CF, ΔABC की मध्यिकाएँ है तो सिद्ध करे कि[If AD, BE and CF be the medians of a ΔABC, prove that]

$\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0$

Sol :

Figure to be added

दिया है : ΔABC मे, AD, BE तथा CF मध्यिकाएँ है। तो सिद्ध करना है। 

$\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0$

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B D}$

$\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}$...(i) (AD, ΔABC की मध्यिकाएँ है)

इसी प्रकार,

$\overrightarrow{B E}=\overrightarrow{B C}+\frac{1}{2} \overrightarrow{C A}$..(ii)

$\overrightarrow{C F}=\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2} \overrightarrow{AB}$...(iii)

समीकरण (i), (ii) तथा (iii) को जोड़ने पर

$\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{B E}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{A B})$

$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{0}+\frac{1}{2}(\vec{0})$

$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{B E}+\overrightarrow{CF}=\vec{0}$

Question 3

पाँच बल $\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}, \overrightarrow{\mathrm{AD}}, \overrightarrow{\mathrm{AE}}, \overrightarrow{\mathrm{AF}}$ एक समषटभुज ABCDEF के शीर्षो पर लगते है। साबित करे कि उनका परिणामी 6 $\overrightarrow{\mathrm{AO}}$ है, जहाँ O षटभुज का केन्द्र है।

Sol :

Figure to be added

दिया है: ABCDEF एक समषटभुज है, जिसका केन्द्र O है। तो सिद्ध करना है।

$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}=6 \overrightarrow{AO}$

प्रमाण 

$\overrightarrow{A D}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A D}$ या $\overrightarrow{AD}=2 \overrightarrow{AO}$

L.H.S 

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{A F}$

$=\overrightarrow{E D}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A E}+\overrightarrow{CD}$  $(\because \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{ED}, \overrightarrow{A F}=\overrightarrow{CD})$

$= \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A D}=3 \overrightarrow{AD}$

$=3(2 \overrightarrow{AO})=6 \overrightarrow{A O}$

Question 4

यदि ABCDEF एक समषटभुज है, तो साबित करे कि
[If ABCDEF is a regular hexagon, prove that]
$\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{EA}}+\overrightarrow{\mathrm{FA}}=3 \overrightarrow{\mathrm{AB}}$

Sol :

Figure to be added

दिया है : ABCDEF एक समषटभुज है तो सिद्ध करना है:

$\vec{AC}+A \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{FA}=3\overrightarrow{AB}$

LHS

$\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{F A}$

$=(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{F A})+(\overrightarrow{AD}+ \overrightarrow{EA})$

$=\overrightarrow{F C}+\overrightarrow{ED}$

$=2 \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}=3 \overrightarrow{A B}=3\overrightarrow{AB}$

Question 5

एक ΔABC की भुजाँए AB तथा AC क्रमशः बिन्दुएँ D तथा E पर समद्विभाजित होती है। देखिएँ कि $\overrightarrow{\mathrm{BE}}$ तथा $\overrightarrow{\mathrm{DC}}$ से निरूपित सदिशो का परिमाण और दिशा मे $\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ से निरूपित होता है।

Sol :

Figure to be added

दिया हैः ΔABC मे , D तथा E क्रमशः , AB तथा AC का मध्य बिंदु है।

तो सिद्ध करना है, $\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{DC}=\frac{3}{2} \overrightarrow{B C}$

प्रमाण,

$\overrightarrow{B E}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BE}$

$=2 \overrightarrow{BC}+\frac{1}{2} \overrightarrow{CA}+\frac{1}{2} \overrightarrow{AB}$

$=2 \overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{A B})$ (∵D तथा E क्रमशः AB तथा AC का मद्धयबिंदु है।)

$=2 \overrightarrow{B C}+\frac{1}{2} \overrightarrow{C B}$

$=2 \overrightarrow{B C}-\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}$

$\overrightarrow{B E}+\overrightarrow{DC}=\frac{3}{2} \overrightarrow{B C}$

Question 6

यदि $\vec{a}+2 \vec{b}+3 \vec{c}, 2 \vec{a}+\vec{b}+3 \vec{c}, 2 \vec{a}+5 \vec{b}-\vec{c}$ हथा $5 \vec{a}+2 \vec{b}-\vec{c}$ क्रमशः A,B,C तथा D के स्थिति सदिश है तो सिद्ध करे कि $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ तथा $\overline{\mathrm{CD}}$ समान्तर है। क्या ABCD समान्तर चतुर्भुज है?

Sol :

Let $\overrightarrow{O A}=\vec{a}+2 \vec{b}+3 \vec{c}$

$\overrightarrow{O B}=2 \vec{a}+\vec{b}+3 \vec{c}$

$\overrightarrow{O C}=2 \vec{a}+5 \vec{b}-2$

$\overrightarrow{OD}=5 \vec{a}+2 \vec{b}-\vec{c}$

$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{OA}$

$=(2 \vec{a}+\vec{b}+3\vec{c})-(\vec{a}+2 \vec{b}+3 \vec{c})$

$=2 \vec{a}+\vec{b}+3 \vec{c}-\vec{a}-2 \vec{b}-3 \vec{c}$

$=\vec{a}-\vec{b}$

$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}$

$=(5 \vec{a}+2 \vec{b}-\vec{c})-(2 \vec{a}+5 \vec{b}-\vec{c})$

$=5 \vec{a}+2 \vec{v}-\vec{c}-2 \vec{a}-5 \vec{b}+\vec{c}$

$=3 \vec{a}-3 \vec{b}=3(\vec{a}-\vec{b})$

$\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{CD}$

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{O A}$

$=5 \vec{a}+2 \vec{b}-\vec{c}-\vec{a}-2\vec{ b}-3 \vec{c}$

$=4 \vec{a}-4 \vec{c}=4(\vec{a}-\vec{c})$

$\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{OB}=2 \vec{a}+5 \vec{b}-\vec{c}-2\vec{a}-\vec{b}-3 \vec{c}$

$=4 \vec{b}-4 \vec{c}=4(\vec{b}-\vec{c})$

$\overrightarrow{A D} \not \parallel \overrightarrow{BC}$

∴ABCD एक समांतर चतुर्भुज नही है।

Question 7

ABCD एक चतुर्भुज है तथा L और M क्रमशः विकर्ण AC तथा BD के मध्य बिन्दु है। सिद्ध करे कि
[ABCD is a quadrilateral and L,M are the middle points of its diagonals AC and BD respectively. Prove that]

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}=4 \overrightarrow{\mathrm{LM}}$
Sol :

Figure to be added

दिया है: ABCD एक चतुर्भुज है।

L और M क्रमशः विकर्ण AC तथा BD का मध्य बिंदु है।

तो सिद्ध करना है

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{C D}=4\overrightarrow{LM}$

प्रमाण

$\overrightarrow{AM}=\frac{\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{AD}}{2}$ (मद्धयबिन्दु सुत्र)

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{AD}=2 \overrightarrow{AM}$...(i)

इसीप्रकार

$\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=2 \overrightarrow{CM}$...(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) को  जोड़ने पर

$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{C D}=2 \overrightarrow{A M}+2\overrightarrow{CM}$

$=-2 \overrightarrow{M A}-2 \overrightarrow{M C}$

$=-2 (\overrightarrow{M A}-\overrightarrow{M C})$

$=-2 (2\overrightarrow{ML})=-2 (-2\overrightarrow{LM})$

$=4\overrightarrow{LM}$

Question 8

ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है तथा P इसके विकर्णो का प्रतिच्छेद बिन्दु है। यदि O समान्तर चतुर्भुज के तल मे कोई बिन्दु है, तो सिद्ध केर कि
[ABCD is a parallelogram and P is the point of intersection of its diagonals, if O be any point in its plane, prove that]
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}=4 \overrightarrow{\mathrm{OP}}$
Sol :

दिया हैः ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। P विकर्ण AC तथा BD का प्रतिच्छेद बिन्दु है। O समांतर चतुर्भुज के तल मे स्थित एक बिन्दु है।

तो सिद्ध करना हैः 

$\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{OD}=4 \overrightarrow{OA}$

प्रमाण 
$\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A P}=\overrightarrow{OP}$..(i) (त्रिभुज के योग के नियम से)

$\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{OP}$...(ii)

$\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{OP}$...(iii)

$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DP}=\overrightarrow{OP}$...(iv)

समीकरण (i), (ii), (iii) तथा (iv) को जोड़ने पर

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{CP}+\overrightarrow{DP}=4\overrightarrow{OP}$

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{CP}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{CP}-\overrightarrow{BP}=4\overrightarrow{OP}$

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=4\overrightarrow{OP}$

Question 9

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ समान्तर चतुर्भुज ABCD के क्रमशः शीर्षो A,B,C के स्थिति सदिश है तो D का स्थिति सदिश ज्ञात करे।

Sol:

Figure to be added

Let ,$\overrightarrow{OA}=\vec{a}, \overrightarrow{OB}=\vec{b},\overrightarrow{OC}=\vec{c}$

$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$

$=\vec{c}-\vec{b}$

$\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{B C}=\vec{c}-\vec{b}$ (ABCD एक समांतर चतुर्भुज है)

$\overrightarrow{AD}=\vec{c}-\vec{b}$

$\overrightarrow{O D}-\overrightarrow{OA}=\vec{c}-\vec{b}$

$\overrightarrow{OD}-\vec{a}=-\vec{b}+\vec{c}$

$\overrightarrow{O D}=\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}$

Question 10

सदिशो $\vec{a}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k} , \vec{b}=-2 \hat{i}+4 \hat{j}+5 \hat{k}$ तथा $\vec{c}=\hat{i}-6 \hat{j}-7 \hat{k}$ को योगफल ज्ञात करे ।

Sol :

$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}-2 \hat{i}+4 \hat{j}+5 \hat{k}+\hat{i}-6\hat{j}-7\hat{k}$

$=2 \hat{i}-2 \hat{i}-8 \hat{j}+4 \hat{j}+6 \hat{k}-7 \hat{k}$

Question 11

एक सदिश का प्रांरभिक बिंदु(2,1) है और अन्तिम बिन्दु(-5,7) है। इस सदिश के अदिश एवं सदिश घतक ज्ञात कीजिए।

Figure to be added

$\overrightarrow{P Q}=(-5-2) \hat{i}+(7-1) \hat{j}$

$\overrightarrow{PQ}=-7 \hat{{i}}+6 \dot{j}$

अदिश घटक: -7 , 6
सदिश घतक: $-7\hat{i}, 6\hat{j}$

Question 12

यदि P और Q के स्थिति सदिश क्रमशः $\hat{i}+3 \hat{j}+7 \hat{k}$ तथा $5 \hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k}$ तो 
$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ ज्ञात करे।

Sol :

Let $\overrightarrow{OP}=\hat{i}+3 \vec{j}+7 \vec{k}$

$\overrightarrow{O Q}=5\hat{i}-2 \hat{\jmath}+4 \hat{k}$

$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}$
$=\left(5 i -2 \hat{j}+4 \hat{k}\right)-(\hat{i}+3 \hat{j}+7 \hat{k})$
$=5 i-2 j+4 \hat{k}-\hat{i}-3 \hat{j}-7 \hat{k}$
$\overrightarrow{P Q}=4\hat{i}-5\hat{ j}-3 \hat{k}$

Question 13

बिन्दुओ P(2,3,0) एंव Q(-1,-2,-4) को मिलाने वाला एवं P से Q का तरफ दिष्ट सदिश ज्ञात कीजिए।

Sol :

$\overrightarrow{PQ}=\left(x_{2}-x_{1}\right) \hat{i}+\left(y_2-y_{1}\right)\hat{j}+\left(z_{2}-z_{1}\right) \hat{k}$

$\overrightarrow{P Q}=(-1-2) \hat{i}+(-2-3) \hat{j}+(-4-0) \hat{k}$

$=-3 \hat{i}-5 j-4 \hat{k}$

Question 14

x का वह मान ज्ञात करे जिसके लिए $x(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ एक इकाई(मात्रक) सदिश है।

Sol :

$x\hat{i}+x\hat{j}+x\hat{k}$ एक मात्रक सदिश है।

$|x \hat{i}+x \hat{j}+x \hat{k}|=1$

$\sqrt{x^{2}+x^{2}+x^{2}}=1$

$\sqrt{3 x^{2}}=1$

3x²=1

$x^{2}=\frac{1}{3}$
$x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Question 15

निम्नलिखित सदिश की दिशा मे इकाई सदिश ज्ञात करे ।
[Find a unit vector in the direction of the following vector]
(i) $\vec{a}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$
Sol :
$|\vec{a}|=\sqrt{2^{2}+3^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}$

$\hat{a}=\frac{1}{|\vec{a}|} \cdot \vec{a}$

$\hat{a}=\frac{1}{\sqrt{14}}(2 \vec{j}+3 \vec{j}+\hat{k})$

$=\frac{2}{\sqrt{14}} \hat{i}+\frac{3}{\sqrt{14}}\hat{j}+ \frac{1}{\sqrt{14}} \hat{k}$

(ii) $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$
Sol :

Question 16

सादिश $\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ की दिक्-कोज्याँए ज्ञात करे।
[Find the direction cosines of the vector $\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$]
Sol :

माना $\vec{a}=\hat{i}+\hat{2 j}+\hat{3 k}$

$|\vec{a}|=\sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}}=\sqrt{14}$

$\hat{a}=\frac{1}{|\vec{a}|} \cdot \vec{a}$

$=\frac{1}{\sqrt{14}}\left(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{t}\right)$

$\hat{a}=\frac{1}{\sqrt{14}} \hat{i}+\frac{2}{\sqrt{14}} \hat{j}+\frac{3}{\sqrt{14}} \hat{k}$

दिक्-कोज्याँएः$\frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}} ,\frac{3}{\sqrt{14}}$

Question 17

सदिश $-\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}$ के अनुदिश एक सदिश ज्ञात करे जिसका परिमाण 7 इकाई है।
[Find the vector in the direction of the vector $-\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}$ that has magnitude 7]

Sol :

माना $-\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}$

$|\vec{a}|=\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3$

$\hat{a}=\frac{1}{|\vec{a}|} \cdot \vec{a}$

$=\frac{1}{3}(-\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k})$

परिमाण 7 इकाई वाल सदिश

$=\frac{7}{3}(-\hat{i}+2\hat{i}+2 \hat{k})$

Question 18

Question 19

यदि $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k}$ तथा $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=5 \hat{i}+4 \hat{j}-3 \hat{k}$ , तो $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ ज्ञत करे तथा $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ के दिक्-कोज्याँए ज्ञात करे।

Sol :

$\overrightarrow{P Q}=\overrightarrow{O Q}-\overrightarrow{O P}$

$\overrightarrow{PQ}=(5 \hat{i}+4 \hat{j}-3 \hat{k})-\left(2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k}\right)$

$\overrightarrow{P Q}=5 \hat{i}+4 \hat{j}-3 \hat{k}-2 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$

$\overrightarrow{P Q}=3 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$

$\left|\overrightarrow{P Q}\right|=\sqrt{3^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{9+1+1}=\sqrt{11}$

$\hat{PQ}=\frac{1}{|\overrightarrow{PQ}|} \cdot \overrightarrow{PQ}$

$=\frac{1}{\sqrt{11}}(3 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$

$=\frac{3}{\sqrt{11}} \hat{i}+\frac{1}{\sqrt{11}} \hat{j}+\frac{1}{\sqrt{11}} \hat{k}$

दिक्-कोज्याँए $=\frac{3}{\sqrt{11}} ,\frac{1}{\sqrt{11}},\frac{1}{\sqrt{11}}$

Question 20

दो बिन्दुओ A और B के स्थिति सदिश क्रमशः $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ तथा $5 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$ है । $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ की दिशा मे इकाई सदिश ज्ञात करें साथ ही $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ की दिक्-कोज्याँए भी ज्ञात करें । $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ तीनो अक्षो से जो कोण बनाता है उन्हें ज्ञात करे।

Sol :

Let,  $\overrightarrow{O A}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ , $\overrightarrow{OB}=5 \cdot \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$

$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$

$=(5\hat{i}-3 \hat{j}+\vec{k})-(\hat{i}+\hat{j}+\vec{k})$

$\overrightarrow{A B}=5\hat{i}-3 \hat{j}+ \hat{k}-\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$

$\overrightarrow{A B}=4 \hat{1}-4 \hat{j}$

$|\overrightarrow{A B}|=\sqrt{4^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{16+16}=4 \sqrt{2}$

$\hat{A B}=\frac{1}{\mid \overrightarrow{A B}]} \cdot \overrightarrow{A B}$

$=\frac{1}{4 \sqrt{2}}(4 \hat{i}-4 \hat{j})$

$\hat{A B}=\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i}-\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j}$

दिक्-कोज्याँए : $\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0$

माना $\overrightarrow{A B}$ ,x ,y तथा x-अक्ष के साथ क्रमशः 𝛂 ,𝛃 ,ℽ कोण बनाता है।

$\cos \alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}$

𝛂=45°

$\cos \beta=\frac{-1}{\sqrt{2}}$

𝛃=180°-45°=135°

cos ℽ=0

ℽ=90°

Question 21

सदिश $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ के दिक्-अनुपात लिखिए और इसकी सहायता से दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए।

Sol :

$\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$

दिक्-अनुपात=1, 1 ,-2

दिक्-कोज्याँएः

$l=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+(-2)^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{6}}$

$m=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+(-2)^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{6}}$

$n=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=\frac{-2}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+(-2)^{2}}}=\frac{-2}{\sqrt{6}}$

Question 22

सदिश $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए जहाँ बिन्दु P और Q क्रमशः (1,2,3) और (4,5,6) है।

Sol :

बिन्दु P तथा Q को मिलाने वाली रेखा के अनुदिश

सदिशः  $\overrightarrow{P Q}=(4-1) \hat{i}+(5-2) \hat{j}+(6-3) \hat{k}$

$\overrightarrow{PQ}=3 \hat{i}+3 \hat{j}+3 \hat{k}$

$\left|\overrightarrow{PQ}\right|=\sqrt{3^{2}+3^{2}+3^{2}}=\sqrt{27}=3 \sqrt{3}$

$\hat{PQ}=\frac{1}{|\overrightarrow{PQ}|} \cdot \overrightarrow{PQ}$

$=\frac{1}{3 \sqrt{3}} \cdot(3 \hat{i}+3 \hat{j}+3 \hat{k})$

$=\frac{1}{\sqrt{3}} \hat{i}+\frac{1}{\sqrt{3}} \hat{j}+\frac{1}{\sqrt{3}} \hat{k}$

Question 23

यदि $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, b=\overrightarrow{2} \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$ और $\vec{c}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$ , तो सदिश $2 \vec{a}-\vec{b}+3 \vec{c}$ के समांतर एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।

Sol :

माना $2 \vec{a}-\vec{b}+3\vec{c}=\vec{r}$

$\vec{r}=2(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})-(2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k})+3(\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k})$

$\vec{r}=2 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}-2 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}+3 \hat{i}-6 \hat{j}+3 \hat{k}$

$\vec{r}=3 \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k}$

$|\vec{r}|=\sqrt{(3)^{2}+(-3)^{2}+(2)^{2}}=\sqrt{9+9+4}=\sqrt{22}$

$2 \vec{a}-\vec{b}+3 \vec{c}$ के समांतर इकाई सदिश

$=\pm \frac{1}{|\vec{r}|} \cdot \vec{r}$

$=\pm \frac{1}{\sqrt{22}}\left(3 \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k}\right)$

$=\pm\left(\frac{3}{\sqrt{2} 2} \hat{i}-\frac{3}{\sqrt{22}} \hat{j}+\frac{2}{\sqrt{22}}\hat{k}\right)$

Question 24

यदि P,Q,R,S के स्थिति सदिश क्रमशः $2 \hat{i}+4 \hat{k}, 5 \hat{i}+3 \sqrt{3} \hat{j}+4 \hat{k},-2 \sqrt{3} \hat{j}+\hat{k},2 \hat{i}+\hat{k}$ है, तो दिखाएँ कि RS, PQ के समान्तर है तथा यह PQ का दो तिहाई है।

Sol :

माना बिन्दु P,Q,R तथा S का स्थिति सदिशः

$\overrightarrow{OP}=2 \vec{i}+4 \hat{k}$ , $\overrightarrow{OQ}=5 \hat{1}+3 \sqrt{3} \hat{j}+4 \hat{k}$

$\overrightarrow{OR}=-2 \sqrt{3} \hat{j}+\hat{k}$ , $\overrightarrow{O S}=2 \hat{i}+\hat{k}$

$\overrightarrow{R S}=\overrightarrow{O S}-\overrightarrow{O R}$

$=2 \hat{1}+\hat{k}+2 \sqrt{3} \hat{j}-\hat{k}$

$=2(\hat{i}+\sqrt{3} \hat{j})$

$\overrightarrow{P Q}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{O P}$

$=5 \hat{i}+3 \sqrt{3} \hat{j}+4 \hat{k}=2 \hat{i}-4 \hat{k}$

$\left.=3 \hat{i}+3 \sqrt{3} \hat{j}=3(\hat{i}+\sqrt{3}\hat{j}\right)$

$\overrightarrow{R S}=2(\hat{i}+\sqrt{3} \hat{j})$

$\frac{1}{2} \overrightarrow{RS}=\hat{i}+\sqrt{3} \hat{j}$

$\overrightarrow{PQ}=3[\hat{i}+\sqrt{3}\hat{j}]$

$\frac{1}{3} \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{i}+\sqrt{3} \hat{j}$

$\frac{1}{2} \overrightarrow{RS}=\frac{1}{3} \overrightarrow{P Q}$

$\overrightarrow{R S}=\frac{2}{3} \overrightarrow{PQ}$

∴$\overrightarrow{R S} \parallel \overrightarrow{P Q}$

Question 25

उस त्रिभुज की भुजाओ की लम्बाइयाँ ज्ञात करे जिसके शीर्ष A(2,4,-1), B(4,5,1), C(3,6,-3) है तथा दर्शाइए कि त्रिभुज समकोण है।

Sol :

Figure to be added

$\overrightarrow{A B}=(4-2) \hat{i}+(5-4) \hat{j}+(1+1) \hat{k}$

$\overrightarrow{A B}=2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$

$\overrightarrow{B C}=(3-4) \hat{i}+(6-5) \hat{j}+(-3-1) \hat{k}$

$\overrightarrow{B C}=-\hat{i}+\hat{j}-4 \hat{k}$

$\overrightarrow{A C}=(3-2) \hat{i}+(6-4) \hat{j}+(-3+1) \hat{k}$

$\overrightarrow{A C}=\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}$

$A B=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2^{2}+1^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{5}=3$

$B C=|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{1+1+16}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}$

$AC=|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{1^{2}+2^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3$

${AB}^{2}+{AC}^{2}=(3)^{2}+(3)^{2}=9+9=18=(3 \sqrt{2})^{2}=B C^{2}$

${AB}^{2}+{A C}^{2}={BC}^{2}$

CA=90°

∴ΔABC एक समकोण त्रिभुज है

Question 26

दिखाएँ कि सदिश $2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$ तथा $3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}$ बनाते है।

Sol :

माना $\vec{a}=2 \hat{j}-\hat{j}+\hat{k}$

$\vec{b}= \hat{j}-3\hat{j}-5\hat{k}$

$\vec{c}=3 \hat{j}-4\hat{j}-4\hat{k}$

$|\vec{a}|=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}$

$|\vec{b}|=\sqrt{1^{2}+(-3)^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{1+9+25}=\sqrt{35}$

$|\vec{c}|=\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{9+16+16}=\sqrt{41}$

$|d|^{2}+|\vec{b}|^{2}=(\sqrt{6})^{2}+(\sqrt{35})^{2}$

$=6+35=41=(\sqrt{41})^{2}=|\vec{c}|^{2}$

∴$\vec{a}, \vec{b}$ तथा समकोण त्रिभुज बनाते है।

Question 27

यदि P,Q,R,S के स्थिति सदिश क्रमशः $2 \hat{i}+4 \hat{k},5 \hat{i}+4 \hat{j}+4 \hat{k},-4 \hat{i}-8 \hat{j}+\hat{k},2 \hat{i}+\hat{k}$ है। सिद्ध करे कि RS, PQ के समान्तर है तथा यह PQ की दुगुनी है।

Sol :

माना बिन्दु P,Q,R तथा S के स्थिति सदिशः

$\overrightarrow{OP}=2 \hat{i}+4 \hat{k}$

$\overrightarrow{O Q}=5 \hat{i}+4\hat{ j}+4 \hat{k}$

$\overrightarrow{O R}=-4 \hat{i}-8 \hat{j}+\hat{k}$

$\overrightarrow{O S}=2 \hat{i}+\hat{k}$

$\overrightarrow{R S}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OR}=(2 \hat{i}+\hat{k})-(-4 \hat{i}-8 \hat{j}+\hat{k})$

$=2 \hat{i}+\hat{k}+4 \hat{i}+8 \hat{j}-\hat{k}$

$=6 \hat{i}+8 \hat{j}$

$\overrightarrow{R S}=2(3 \hat{i}+4\hat{j})$

$\overrightarrow{P Q}=\overrightarrow{O Q}-\overrightarrow{OP}$

$=\left(5 \hat{i}+4 \hat{j}+4 \hat{k}\right)-(2\hat{i}+4\hat{k})$

$=5\hat{i}+4\hat{j}+4\hat{k}-2\hat{i}-4\hat{k}$

$\overrightarrow{PQ}=3\hat{i}+4\hat{j}$

$\therefore \overrightarrow{R S}=2 \overrightarrow{PQ}$

अतः RS||PQ तथा RS=2PQ

Question 28

बिन्दुओ P,Q,R,S के स्थिति सदिश क्रमशः $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, 2 \hat{i}+5 \hat{j}, 3 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$ तथा $\hat{i}-6 \hat{j}-\hat{k}$ है दिखाएँ कि रेखाएँ PQ तथा RS समान्तर है तथा इनकी लम्बाइयो का अनुपात ज्ञात करे ।

Sol :

माना बिंदुओ P,Q,R तथा S के स्थिति सदिश 

$\overrightarrow{O P}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \overrightarrow{OQ}=2 \hat{i}+5\hat{j}$

$\overrightarrow{OR}=3\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}, \overrightarrow{OS}=\hat{i}-6\hat{j}-\hat{k}$

$\overrightarrow{P Q}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{O P}$

$=(2 \hat{i}+5 \hat{j})-(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$

$=2 \hat{i}+5\hat{j}-\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$

$=\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}$

$\overrightarrow{R S}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{O R}$

$=(\vec{i}-6\vec{j}-\vec{k})-(3\vec{i}+2\vec{j}-3\vec{k})$

$=\vec{i}-6\vec{j}-\vec{k}-3\vec{i}-2\vec{j}+3\vec{k}$

$=-2\vec{i}+8\vec{j}+2\vec{k}$

$\overrightarrow{RS}=-2(\vec{i}+4\vec{j}-\vec{k})$

$\overrightarrow{RS}=-2(\overrightarrow{PQ})$

∴RS||PQ

$\frac{\overrightarrow{PQ}}{\overrightarrow{RS}}=\frac{1}{-2}$

$\frac{|\overrightarrow{PQ}|}{\left|\overrightarrow{RS}\right|}=\left|\frac{1}{-2}\right|$

$\frac{PQ}{RS}=\frac{1}{2}$

PQ : RS=1 : 2

Question 29

दिखाएँ कि तीन बिन्दुएँ जिनके स्थिति सदिश $3 \vec{i}-\vec{j}+2 \vec{k}, \vec{i}-\vec{j}-3 \vec{k}$ तथा $4 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$ एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाते है।

Sol :

माना ΔABC के शीर्ष बिंदुएँ के स्थिति सदिश

$\overrightarrow{OA}=3 \hat{i}-\hat{j}+2\hat{ k}$

$\overrightarrow{O B}=\hat{i}-\hat{j}-3\hat{ k}$

$\overrightarrow{O C}=4 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$

$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}$

$(\hat{i}-\hat{j}-3 \hat{k})-\left(3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}\right)$

$=\hat{i}-\hat{j}-3 \hat{k}-3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$

$\overrightarrow{A B}=-2 \hat{i}-5 \hat{k}$

$|\overrightarrow{A B}|=A B=\sqrt{(-2)^{2}+(-5)^{2}}$

$\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$

$=(4\hat{i}-3\hat{ j}+\hat{k})-(\hat{i}-\hat{j}-3 \hat{k})$
$=4\hat{i}-3\hat{ j}+\hat{k}-\hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k})$
$=3 \hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k}$

$|\overrightarrow{BC}|=B C=\sqrt{3^{2}+(-2)^{2}+4^{2}}$

$=\sqrt{9+4+16}=\sqrt{29}$

AB=BC

∴ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है

Question 30

दिखाएँ कि सदिश $3 \hat{i}+5 \hat{j}+2 \hat{k}, 2 \hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$ तथा $5 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$ त्रिभुज की भुजाएँ बनाती है।

Sol :

माना $\vec{a}=3 \hat{i}+5\hat{j}+2 \hat{k}$

$\vec{b}=2 \hat{i}-3\hat{j}-5 \hat{k}$

$\vec{c}=5\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$

$|\vec{a}|=\sqrt{3^{2}+5^{2}+2^{2}}=\sqrt{9+25+4}=\sqrt{38}$

$|\vec{b}|=\sqrt{2^{2}+1(-3)^{2}+(-5)^2}=\sqrt{4+9+25}=\sqrt{38}$

$|\vec{c}|=\sqrt{(5)^{2}+(2)^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{25+4+9}=\sqrt{38}$

$|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{a}|=\sqrt{38}$

∴$\vec{a}, \vec{b}$ तथा $\vec{c}$ समबाहु त्रिभुज बनाते है

Question 31

साबित करे कि तीन बिन्दुएँ $\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k},-\hat{i}-\hat{j}+8 \hat{k}$ तथा $-4 \hat{i}+4 \hat{j}+6 \hat{k}$ एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष बनाते है।

Sol :

माना ΔABC के शीर्षो को स्थिति सदिश

$\overrightarrow{OA}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$

$\overrightarrow{OB}=-\hat{i}- \hat{j}+8 \hat{k}$

$\overrightarrow{OC}=-4\hat{i}+4 \hat{j}+6 \hat{k}$

$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}$

$=(-\hat{i}-\hat{j}+8\hat{k})-(\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})$

$=-\hat{i}-\hat{j}+8\hat{k}-\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k})$

$\overrightarrow{AB}=-2\hat{i}-3\hat{j}+5\hat{k}$

$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O B}$

$=(-4\hat{i}+4\hat{j}+6\hat{k})-(\hat{i}-\hat{j}+8\hat{k})$

$=-4\hat{i}+4\hat{j}+6\hat{k}-\hat{i}+\hat{j}-8\hat{k}$

$=-3 \hat{i}+5 \hat{j}-2 \hat{k}$

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O A}$

$=(-4\hat{i}+4\hat{j}+6\hat{k})-(\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})$

$=-4\hat{i}+4\hat{j}+6\hat{k}-\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}$

$=-5 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$

$|\overrightarrow{AB}|=A B=\sqrt{(-2)^{2}+(-3)^{2}+5^{2}}=\sqrt{4+9+25}=\sqrt{38}$

$|\overrightarrow{B C}|=B C=\sqrt{(-3)^{2}+5^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{9+25+4}=\sqrt{3} \overline{8}$

$|\overrightarrow{AC}|=AC=\sqrt{(-5)^{2}+2^{2}+3^{2}}=\sqrt{25+4+9}=\sqrt{38}$

AB=BC=AC

Question 32

सिद्ध करे कि बिन्दुएँ $\hat{i}-\hat{j}, 4 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$ तथा $2 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$ एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष है।

Sol :

Question 33

दर्शाइए कि बिन्दुएँ $\mathrm{A}(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}), \mathrm{B}(\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k})$ तथा $\mathrm{C}(3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k})$ एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष है।

Sol :

माना ΔABC के शीर्षो को स्थिति सदिश

$\overrightarrow{OA}=\hat{i}-\hat{j}$

$\overrightarrow{OB}=4\hat{i}-3 \hat{j}+ \hat{k}$

$\overrightarrow{OC}=2\hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$

$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}=(4 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k})-\left(\hat{i}-\hat{j}\right)$

$=4 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}-\hat{i}+\hat{j}$

$\overrightarrow{A B}=3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$

$|\overrightarrow{A B}|=A B=\sqrt{3^{2}+(-2)^{2}+1^{2}}$ $=\sqrt{9+4+1}=\sqrt{14}$

$\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O B}$

$=(2 \hat{i}-4 \hat{j}+5\hat{k})-(4 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k})$

$=2 \hat{i}-4 \hat{j}+5\hat{k}-4 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$

$\overrightarrow{BC}=-2\hat{i}-\hat{j}+4\hat{ k}$

$|\overrightarrow{B C}|=BC=\sqrt{(-2)^{2}+(-1)^{2}+4^{2}}$ $=\sqrt{4+1+16}=\sqrt{21}$

$\overrightarrow{C A}=\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O C}$

$=(\hat{i}-\hat{j})-(2 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k})$

$=\hat{i}-\hat{j}-2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}$

$=-\hat{i}+3\hat{j}-5 \hat{k}$

$(\overrightarrow{CA})=CA=\sqrt{(-1)^{2}+3^{2}+(-5)^{2}}$ $=\sqrt{1+9+25}=\sqrt{35}$

$AB^2+BC^{2}=(\sqrt{14})^{2}+(\sqrt{21})^{2}$

=14+21=35$=(\sqrt{35})^{2}=CA^{2}$

अतः बिंदुएँ $\hat{i}-\hat{j},4\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}$ तथा $2\hat{i}-4\hat{j}+5\hat{k}$

समकोण त्रिभुज बनाती है।

Question 34

सदिश $2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}$ तथा $\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ के योगफल के समान्तर एक इकाई सदिश ज्ञात करे।

Sol :

माना $\vec{a}=2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}$

$\vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$

$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$

$\vec{c}=2 \hat{i}+4 \vec{j}-5 \hat{k}+\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$

$\vec{C}=3 \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}$

$|\vec{c}|=\sqrt{3^{2}+6^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{9+36+4}=\sqrt{49}=7$

$\hat{c}=\frac{1}{|\vec{c}|} \cdot \vec{c}$

$=\frac{1}{7}(3 \hat{i}+6\hat{j}-2 \hat{k})$

Question 35

एक समांतर चतुर्भुज की संलग्न भुजाएँ $2 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$ और $\hat{i}-2 \hat{j}-3\hat{ k}$। इसके विकर्ण के समांतर एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।

Sol :

Figure to be added

Figure to be added

माना समांतर चतुर्भुज की संलग्न भुजाएँ 

$\vec{a}=2 \hat{i}-4 \hat{j}+5\hat{ k}$

$\vec{b}=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}$

विकर्ण $\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$ (समांतर चतुर्भुज के योग का नियम)

$\vec{c}=2\hat{i}-4\hat{j}+5\hat{k}+\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}$

$\vec{c}=3\hat{i}-6\hat{j}+2\hat{k}$

$|\vec{c}|=\sqrt{3^{2}+(-6)^{2}+2^{2}}=\sqrt{9+36+4}=\sqrt{49}=7$

$\hat{c}=\frac{1}{| \vec{c} \mid} \cdot \vec{c}$

$=\frac{1}{7}\left(3 \hat{i}-6 \hat{j}+2 \hat{k}\right)$

Question 37

सदिशो $\vec{a}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$ और $\vec{b}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$ के परिणामी के समांतर एक ऐसा सदिश ज्ञात कीजिए जिसका परिमाण 5 इकाई है।

Sol :

माना $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ के परिणामी $\vec{c}$ है।

$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$

$\vec{c}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}+\hat{i}-2 \hat{j}+\vec{k}$

$\vec{c}=3 \hat{i}+\hat{j}$

$|\vec{c}|=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$

$\hat{c}=\frac{1}{|\vec{c}|} \cdot \vec{c}$

$=\frac{1}{\sqrt{10}}(3 \hat{1}+\hat{j})$

$=\frac{\sqrt{10}}{10}(3 \hat{i}+\hat{j})$

$\vec{c}$ के समांतर 5 इकाई वाला सदिश$=5\cdot \hat{c}$

$=5 \cdot \frac{\sqrt{10}}{10}(3 \hat{i}+\hat{j})$

$=\frac{3 \sqrt{10}}{2} \hat{i}+\frac{\sqrt{10}}{2} \hat{j}$

Question 38

माना कि $\vec{a} \equiv \hat{i}+2 \hat{j}$ और $\vec{b}=2 \hat{\imath}+\hat{j}$ तब क्या $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ है? क्या सदिश $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ समान है ?

Sol :

$|\vec{a}|=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$

$|\vec{b}|=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$

$|\vec{a}|=|\vec{b}|$

Question 39

x,y,z के मान ज्ञात करे ताकि सदिश $\vec{a}=x\hat{i}+2 \hat{j}+z \hat{k}$ तथा $\vec{b}=2 \hat{i}+y \hat{j}+\hat{k}$ समान है।

Sol :

$\vec{a}=\vec{b}$

$x \hat{i}+2 \hat{j}+z \hat{k}=2 \hat{i}+y \hat{j}+\hat{k}$

x=2 , y=2 , z=1

Question 40

यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ असंरेख सदिश है तथा [If $\vec{a}$ and $\vec{b}$ are non-collinear vectors and $\overrightarrow{\mathrm{A}}=(x+4 y) \vec{a}+(2 x+y+1) \bar{b}$ और (and) $\overrightarrow{\mathrm{B}}=(y-2 x+2) \vec{a}+(2 x-3 y-1) \bar{b}$ तो x और y ज्ञात करे ताकि [Find x and y such that] $3 \overrightarrow{\mathrm{A}}=2 \overrightarrow{\mathrm{B}}$

Sol :

$3 \overrightarrow{\mathrm{A}}=2 \overrightarrow{\mathrm{B}}$

$3[(x+4 y) \vec{a}+(2 x+y+1) \vec{b}]=2[(y-2x+2)\vec{a}+(2x-3y-1)\vec{b}]$

$(3 x+12 y) \vec{a}+(6 x+3 y+3)\vec{ b}=(2 y-4 x+4) \vec{a}+(4 x-6 y-2)\vec{b}$

3x+12y=2y-4x+4

7x+10y=4...(i)

6x+3y+3=4x-6y-2

2x+9y=-5...(ii)

x=2, y=-1

Question 41

λ के सभी मानो को ज्ञात करे ताकि [Find all values of λ such that (x,y,z)≠(0,0,0) तथा (and)] 

$x(\hat{i}+\hat{j}+3 k)+y(3 \hat{i}-3 \hat{j}+k)+z(-4 \hat{i}+5 \hat{j})=\lambda(x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k})$

Sol :

$x \hat{i}+x\hat{j}+3 x \hat{k}+3y\hat{i}-3y\hat{j}+y\hat{k}-4z\hat{i}+5z\hat{j}-\lambda x\hat{i}-\lambda y\hat{j} -\lambda z\hat{k}=\vec{0}$

$(x+3y-4z-\lambda x)\vec{i}+(x-3y+5z-\lambda y)\vec{j}+(3x+y-\lambda z)\vec{k}=\vec{0}$

x+3y-4z-λz=0 , x-3y+5z-λy=0 , 3x+y-λz=0

(1-λ)x+3y-4z=0 , x-(3+λ)y+5z=0, 3x+y-λz=0

$\left[\begin{array}{ccc}1-\lambda & 3 & -4 \\ 1 & -(3+\lambda) & 5 \\ 3 & 1 & -\lambda\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]$

$\left|\begin{array}{ccc}1-\lambda & 3 & -4 \\ 1 & -(3+\lambda) & 5 \\ 3 & 1 & -\lambda\end{array}\right|=0$

$(1-\lambda)\left|\begin{array}{cc}-(3+\lambda) & 5 \\ 1 & -\lambda\end{array}\right|-3\left|\begin{array}{cc}1 & 5 \\ 3 & -\lambda\end{array}\right|-4\left|\begin{array}{cc}1 & -(3+\lambda) \\ 3 & 1\end{array}\right|=0$

(1-λ)(3λ+λ²-5)-3(-λ-15)-4(1+9+3λ)=0

3λ+λ²-5-3λ²-λ³+5λ+3λ+45-40-12λ=0

-λ³-2λ²-λ=0

-λ(λ²+2λ+1)=0

-λ(λ+1)²=0

$\begin{array}{l|l}-\lambda=0 & (\lambda +1)^2=0\\ \lambda =0 & \lambda =-1\end{array}$