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Question 1
निम्नलिखित के माध्य तथा प्रसरण निकालें
[Find the mean and variance of the following]
(i) 6 ,7 ,10 ,12 ,13 ,4 ,8 ,12
(ii) 65, 58 ,68 ,44 ,48 ,45 ,60 ,62 ,60 ,50
Sol :
(i) 6 ,7 ,10 ,12 ,13 ,4 ,8 ,12
माध्य $(\bar{x})=\frac{6+7+10+12+13+4+8+12}{8}=\frac{72}{8}$
=9
माध्य=9
प्रसरण$=\frac{\sum(x_i-\bar{x})^2}{n}$
$=\frac{(6-9)^2+(7-9)^2+(10-9)^2+(12-9)^2+(13-9)^2+(4-9)^2+(8-9)^2+(12-9)^2}{8}$
$=\frac{(-3)^{2}+(-2)^{2}+1^{2}+3^{2}+4^{2}+(-5)^{2}+(-1)^{2}+3^{2}}{8}$
$=\frac{9+4+1+9+16+25+1+9}{8}$
$=\frac{74}{8}-=\frac{37}{4}$
=9.25
(ii) 65, 58 ,68 ,44 ,48 ,45 ,60 ,62 ,60 ,50
माध्य $(\bar{x})=\frac{65+58+67+44+48+45+60+62+60+50}{10}$
$=\frac{560}{10}=56$
प्रसरण $=\frac{\sum\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{n}$
$=\frac{(65-56)^{2}+(58-56)^{2}+(68-56)^{2}+(44-56)^{2}+(48-56)^{2}++(45-56)^{2}+(60-56)^{2}+(62-56)^{2}+(60-54)^{2}+(50-56)^{2}}{10}$
$=\frac{9^{2}+2^{2}+12^{2}+(-12)^{2}+(-8)^{2}+(-11)^{2}+4^{2}+6^{2}+4^{2}+(-6)^{2}}{10}$
$=\frac{81+4+144+144+64+121+16+36+16+36}{10}$
$=\frac{662}{10}$
=66.2
Question 2
10 विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त निम्नलिखित अंकों का माध्य तथा मानक विचलन निकालें :
[Find the mean, variance and standard deviation of the following marks scored by 10 students]
45 , 70, 62 , 60 , 50 , 48 , 67 , 34 , 65 , 58
Sol :
माध्य $(\bar{x})=\frac{45+70+62+60+50+48+67+34+65+58}{10}$
$=\frac{559}{10}=55.9$
प्रसरज $\sigma^{2}=\frac{\sum\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{n}$
$=\frac{(45-55.9)^{2}+(70-55.9)^{2}+(62-55.9)^{2}+(60-55.9)^{2}+(50-55.9)^{2}+(48-55.9)^{2}+(67-55.9)^{2}+(34-55.9)^{2}+(65-55.9)^{2}+(58-55.9)^{2}}{10}$
$=\frac{(-10 \cdot 9)^{2}+(14.1)^{2}+(6.1)^{2}+(4.1)^{2}+(-5.9)^{2}+(-7.9)^{2}+(11.1)^{2}+(-21.9)^{2}+(9.1)^{2}+(2.1)^{2}}{10}$
$=\frac{118.81+198.81+37.21+16.81+34.81+62.41+123.21+479.61+82.81+4.41}{10}$
$=\frac{1158.9}{10}$
=115.89
मानक विचलन , 𝝈=√प्रसरण
=√115.89
=10.7652
=10.77
Question 3
आठ प्रेक्षणो का माध्य तथा प्रसरण क्रमश: 9 और 9.25 हैं। यदि इनमें से छ: प्रेक्षण 6,7,10,12 और 13 है, तो शेष दो प्रेक्षण ज्ञात कीजिए।
Sol :
माना शेष दो प्रेक्षण x तथा y है।
माध्य, $\bar{x}=9$
$\frac{6+7+10+12+12+13+x+y}{8}=9$
60+x+y=72
x+y=12...(i)
∵प्रसरण = 9.25
$\frac{\sum\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{n}=9.95$
$=\frac{(6-9)^{2}+(7-9)^{2}+(10-9)^{2}+(12-9)^{2}+(12-9)^{2}+(13-9)^{2}+(x-9)^{2}+(y-9)^{2}}{8}$
$=\frac{(-3)^{2}+(-2)^{2}+1^{2}+3^{2}+3^{2}+4^{2}+(x-9)^{2}+(12-x-9)^{2}}{8}=9.25$
9+4+1+9+9+16+$x^{2}$-2.x.9$+9^{2}+3^{2}$-2.3.x+$x^2=74$
$139+2 x^{2}-24 x-74=0$
$2 x^{2}-24 x+64=0$
$2\left(x^{2}-12 x+32\right)=0$
$x^{2}-12 x+32=0$
$x^{2}-8 x-4 x+32=0$
x(x-8)-4(x-8)=0
(x-8)(x-4)=0
$\begin{array}{l|l}x-8=0 & x-4=0\\x=8 & x=4 \end{array}$
Case-I : x=8 , y=12-8=4
Case-II : x=4 , y=12-4=8
Question 5
x के संभव मानों को निकालें यदि संख्याएँ 2,3,2x तथा 11 का मानक विचलन 3.5 है।
Sol :
मानक निचलन=3.5
माध्य $\bar{x}=\frac{2+3+2 x+11}{4}=\frac{2 x+16}{4}$
$=\frac{x(x+8)}{4}=\frac{x+8}{2}$
मानक विचलन , 𝝈=3.5
प्रसरण , $\sigma^{2}=12.25$
$ \frac{\sum\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{n}=12.25$
$\frac{1}{4}\left[\left(2-\frac{x+8}{2}\right)^{2}+\left(3-\frac{x+8}{2}\right)^{2}+\left(2 x-\frac{x+8}{2}\right)^{2}+\left(11-\frac{x+8}{2}\right)\right]=12.25$
$\left(\frac{4-x-8}{2}\right)^{2}+\left(\frac{6-x-8}{2}\right)^{2}+\left(\frac{4 x-x-8}{2}\right)^{2}+\left(\frac{22-x-8}{2}\right)^{2}=49$
$\left(\frac{-x-4}{2}\right)^{2}+\left(\frac{-x-2}{2}\right)^{2}+\left(\frac{3 x-8}{2}\right)^{2}+\left(\frac{14-x}{2}\right)^{2}=49$
$\frac{x^{2}+8 x+16}{4}+\frac{x^{2}+4 x+4}{4}+\frac{9 x^{2}-48 x+64}{4}+\frac{196-28x+x^{2}}{4}=49$
$\frac{x^{2}+8 x+16+x^{2}+4 x+4+9 x^{2}-48 x+64+156-28 x+x^{2}}{4}=49$
$\frac{12 x^{2}-64 x+280}{4}=49$
$4 \left(\frac{3 x^{2}-16 x+70}{4}\right)=49$
$3 x^{2}-16 x+70-49=0$
$3 x^{2}-16 x+21=0$
$3 x^{2}-7 x-9x+21=0$
x(3x-7)-3(3x-7)=0
(3x-7)(x-3)=0
$\begin{array}{l|l}3x-7=0 & x-3=0 \\ 3x=7 & x=3 \\ x=\frac{7}{3} & \end{array}$
Question 6
20 प्रेक्षणो का प्रसरण 5 है। यदि प्रत्येक प्रेक्षण को 2 से गुणा किया गया हो तो प्राप्त प्रेसणों का प्रक्षरण ज्ञात कीजिए ।
Sol :
माना $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots~x_{20}$ प्रेक्षण है, जिनका प्राध्य $\bar{x}$ है।
$\frac{\sum_{i=1}^{20}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{20}=5$
$\sum_{i=1}^{20}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=100$
∵प्रत्येक प्रेक्षण मे 2 से गुणा करना है।
∴माध्य भी 2 गुणा हो जाएगा ।
नया प्रसरण $=\frac{\sum_{i=1}^{20}\left(2 x_{i}-2 \bar{x}\right)^{2}}{20}$
$=\frac{\sum_{i=1}^{20} 4\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{20}$
$=\frac{4 \sum_{i=1}^{20}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{20}$
$=\frac{4 \times 100}{20}$
=20
Question 7
छ: प्रेक्षणों का माध्य तथा मानक विचलन क्रमश: 8 तथा 4 हैं। यदि प्रत्येक प्रेक्षण को तीन से गुणा कर दिया जाए तो परिणामी प्रेक्षणों का माध्य व मानक विचलन ज्ञात कीजिए ।
Sol :
माना $x_{1}, x_{2}, x_{3},\ldots, x_{6}$ प्रक्षेण है, जिसका माध्य $\bar{x}=8$ है।
मानक निचलन , 𝜎 =4
$\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{6}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{6}}=4$
दोनो तरफ वर्ग करने पर
$\frac{\sum_{i=1}^{6}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{6}=16$
$\sum_{i=1}^{6}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=96$
प्रत्येक प्रेक्षण 3 से गुणा करना है।
∴माध्य तीन गुणा बढ जाएगा।
माध्य = 8×3 =24
नया मानक विचलन , 𝛔$=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{6}\left(3 x_{i}-3 \bar{x}\right)^{2}}{6}}$
$=\sqrt{\frac{9 \sum_{i=1}^{6}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{6}}$
$=\sqrt{9 \times \frac{96}{6}}$
=3×4=12
Question 8
100 पदों का माध्य तथा मानक विचलन क्रमशः 50 तथा 4 है। सभी पदों का योग तथा उनके वगौ का योग निकालें ।
Sol :
माना $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{100}$ कुल 100 पद है।
माध्य $\bar{x}=50$, मानक विचलन, 𝝈=4
$\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\ldots+x_{100}}{100}=50$
$x_{1}+x_{2}+x_{3}+-x+x_{100}=5000$
मानक विचलन , 𝝈 = 4
$\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{100}\left(x_{i}-50\right)^{2}}{100}}=4$
दोनो तरफ वर्ग करने पर
$\frac{\sum_{i=1}^{100}\left(x_{i}-50\right)^{2}}{100}=16$
$\left(x_{1}-50\right)^{2}+\left(x_{2}-50\right)^{2}+\left(x_{3}-50\right)^{2}+\ldots+\left(x_{10}-50\right)^{2}=1600$
$x_{1}^{2}-2 \cdot x_{1} \cdot 50+50^{2}+{x_{2}}^{2}-2 \cdot x_{2} \cdot 50+50^{2}+{x_{2}}^{2}-2 x_{3} \cdot 50+{50}^{2}+\dots +{x_{100}}^2-2.x_{100}.50+50^2=1600$
$x_{1}{ }^{2}+x_{2}{ }^{2}+{x_{3}}^{2}+\cdots-{x_{100}}^{2} -100\left(x_{1}+x_{2}+x_{1}+\ldots+x_{100}\right) +100 \times 50^{2}=1600$
${x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+{x_{3}}^{2}+\dots +x_{100}^2-100\times 5000+100\times 2500=1600$
${x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+{x_{3}}^{2}+\dots {x_{100}}^{2}-250000=1600$
${x_{1}}^{2}+x_{2}{ }^{2}+x_{3}{ }^{2}+\dots +{x_{100}}^{2}=251600$
Question 9
10 प्रेक्षणों का माध्य तथा प्रसरण निकालते समय एक विद्यार्थी ने 25 की जगह गलती से 52 का प्रयोंग कर दिया। उसके द्वारा प्राप्त माध्य तथा प्रसरण का मान क्रमश: 45 तथा 16 था। सही माध्य तथा प्रसरण निकालें।
Sol :
सही माध्य $=\frac{45 \times 10-52+25}{10}=\frac{450-27}{10}$
$=\frac{423}{10}$
=42.3
गलत प्रसरण =16
$\frac{{\sum x_{i}}^{2}}{10}-45^{2}=16$
$\frac{{\sum x_{i}}^{2}}{10}=2041$
$\sum x_{i}{ }^{2}=20410$
सभी प्रेसरणो के वर्ग का योग
$=20410-52^{2}+25^{2}$
=20410-2704+625
=18331
सही प्रसरण
$=\frac{\sum x_{i}{ }^{2}}{n}-\bar{x}^{2}$
$=\frac{18331}{10}-(42.3)^{2}$
=1833.1-1789.29
=43.81
Question 10
200 पदो का समांतर माध्य एवं विचलन क्रमशः 60 तथा 20 पाया जाता है । यदि गणना के समय दो पद गलती से 18 और 17 की जगह क्रमशः 3 तथा 67 ले लिए गए तो सही माध्य तथा मानक विचलन निकाले।
Sol :
सही माध्य $=\frac{200 \times 60-3-67+18+17}{200}$
$=\frac{12000-70+35}{200}=\frac{11965}{200}$
=59.825
=59.8
गलत मानक विचलन = 20
गलत प्रसरण = 400
$\frac{\sum x_{i}{ }^{2}}{200}-60^{2}=400$
$\frac{{\sum x_{i}}^{2}}{200}-3600=400$
$\sum x_{i}{ }^{2}=4000 \times 200$
$\sum {x_{i}}^{2}=800000$ (गलत)
सही $\sum {x_{i}}^{2}=800000-3^{2}-67^{2}+17^{2}+18^{2}$
=800000-9-4489+289+324
=800000-4498+613
=796115
सही मानक विचलन
$=\sqrt{\frac{\sum {x_{i}}^{2}}{n}-\bar{x}^{2}}$
$=\sqrt{\frac{796115}{200}-(59.8)^{2}}$
=√3980.575-3576.04
=√404.535
=20.11
Question 11
यदि किसी बंटन के लिए $\Sigma(x-5)=3, \Sigma(x-5)^{2}=43$ तथा कुल पदों की संख्या N=18, तो माध्य तथा मानक विचलन निकालें।
Sol :
$\sum_{i=1}^{18}\left(x_{i}-5\right)=3$
$\sum_{i=1}^{18} x_{i}-\sum_{i=1}^{18} 5=3$
$\sum_{z=1}^{18} x_{i}-18 \times 5=3$
$\sum_{i=1}^{18} x_{i}=93$
माध्य$=\frac{93}{18}$
=5.16....
=5.17
$\sum_{i=1}^{18}\left(x_{i}-5\right)^{2}=43$
$\sum_{i=1}^{18}\left({x_{1}}^{2}-2 \cdot x_{i} 5+5^{2}\right)=43$
$\sum_{i=1}^{18} {x_{i}}^{2}-10 \sum_{i=1}^{18} x_{i}+\sum_{i=1}^{18} 25=43$
$\sum_{i=1}^{18} {x_{i}}^{2}-10 \times 93+25 \times 18=43$
$\sum_{i=1}^{18} {x_{i}}^{2}-930+450=43$
$\sum_{i=1}^{18} x_{i}{ }^{2}-480=43$
$\sum_{i=1}^{18} x_{i}^{2}=523$
मानक विचलन
$=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{18} {x_{i}}^{2}}{18}-\bar{x}^{2}}$
$=\sqrt{\frac{523}{18}-(5.17)^{2}}$
=√29.06-26.72
=√2.34
=1.52
Question 12
माना लीजिए कि चर x और y के समांतर माध्य क्रमशः $\bar{x}$ तथा $\bar{y}$ है और 6x तथा 6y उनके मानक विचलन हैं। यदि चर x तथा y, m y=n x+k , जहाँ m, n, k अचर हैं, से सम्बन्धित हो तो दिखाइए कि
(i) $m \bar{y}=n \bar{x}+k$
(ii) $m^{2} \sigma_{y}^{2}=n^{2} \sigma_{x}^{2}$
Sol :
(i)
LHS
$m \bar{y}=m \cdot \frac{\sum y}{f}$ , जहाँ f कुल वारंवारता है
$=\frac{m \cdot \sum \frac{n x+k}{m}}{f}$ [my=nx+k ,$y=\frac{nx+k}{m}$ ]
$=\frac{m}{m} \frac{\sum n x+k}{f}$
$=\frac{\sum n x}{f}+\frac{\sum k}{f}$
$=n \frac{\sum x}{f}+\frac{\sum k}{f}$
$=n \bar{x}+\frac{k f}{f}$
$=n \bar{x}+k$
(ii)
LHS
$m^{2} \sigma_{y}^{2}=m^{2}\left[\sqrt{\frac{\sum(y-\bar{y})^{2}}{f}}\right]^{2}$ , जहाँ f कुल वारंवारता है।
$=\frac{m^{2} \sum(y-\bar{y})^{2}}{f}=\frac{\sum(m y-m \bar{y})^{2}}{f}$
$=\frac{\sum\left[n x+k-(n \bar{x}+k)\right]^z}{f}$
$=\frac{\sum[mx+k-n \bar{x}-k]^{2}}{f}$
$=n^{2} \frac{\sum(x-\bar{x})^{2}}{f}$
$=n^{2} \cdot \sigma_{x}^{2}$
Question 13
निम्नलिखित वितरण के लिए माध्य तथा मानक विचलन निकालें :
(Find the mean and standard deviation of the following distribution)
| प्राप्तांक (Marks) | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 |
| विद्यार्थियो की संख्या (No. of students) | 1 | 5 | 12 | 22 | 17 | 9 | 4 |
Sol :
| प्राप्तांक (xi) | fi | fi xi | xi-$\bar{x}$ | $(x_i-\bar{x})^2$ | $f_i(x_i-\bar{x})^2$ |
| 10 | 1 | 10 | -33.14 | 1098.2596 | 1098.2596 |
| 20 | 5 | 100 | -23.14 | 535.45% | 2677.298 |
| 30 | 12 | 360 | -13.14 | 172.6596 | 2071.9152 |
| 40 | 22 | 880 | -3.14 | 9.8596 | 216.9112 |
| 50 | 17 | 850 | 6.86 | 47.0596 | 800.0132 |
| 60 | 9 | 540 | 16.86 | 284.2596 | 2558.3364 |
| 70 | 4 | 280 | 26.86 | 721.4596 | 2885.8384 |
| $\sum f_i=70$ | $\sum f_i x_i=3020$ | $\sum f_i (x)i-\bar{x})^2=12308.572$ |
माध्य $(\bar{x})=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$
$=\frac{3020}{70}$
$\bar{x}=43.14$
मानक विचलन , 𝝈$=\sqrt{\frac{\sum f_{1}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{\sum f_{1}}}$
$=\sqrt{\frac{12308.572}{70}}$
=√175.83
=13.26
Question 14
निम्नलिखित आँकड़ों के लिए माध्य तथा मानक विचलन निकालें :
[Find the mean and standard deviation for the following data]
| xi | 92 | 93 | 97 | 98 | 102 | 104 | 109 |
| fi | 3 | 2 | 3 | 2 | 6 | 3 | 3 |
Sol :
| xi | fi | fi xi | xi2 | fi xi2 |
| 92 | 3 | 276 | 8464 | 25392 |
| 93 | 2 | 186 | 8649 | 17298 |
| 97 | 3 | 291 | 9469 | 28227 |
| 98 | 2 | 196 | 9604 | 28227 |
| 102 | 6 | 612 | 10404 | 62424 |
| 104 | 3 | 312 | 10816 | 32448 |
| 109 | 3 | 327 | 11881 | 35643 |
| $\sum f_i=22$ | $\sum f_i x_i=2200$ | $\sum f_i {x_i}^2=220640$ |
माध्य $(\bar{x})=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}=\frac{2200}{22}$
=100
मानक विचलन $\sqrt{ \frac{\sum f_i x_{i}^{2}}{h}-\bar{x}^{2}}$
$=\sqrt{\frac{220640}{22}-(100)^{2}}$
=√10029.09-10000
=√29.09=5.39
Question 15
(i) निम्नलिखित आँकड़ों के लिए प्रसरण तथा मानक विचलन निकालें
[Find the variance and standard deviation for the following data]
| xi | 4 | 8 | 11 | 17 | 20 | 24 | 32 |
| fi | 3 | 5 | 9 | 5 | 4 | 3 | 1 |
Sol :
| xi | fi | fi xi | $(x_i-\bar{x})$ | $\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}$ | $f_i (x_i-\bar{x})^2$ |
| 4 | 3 | 12 | -10 | 100 | 300 |
| 8 | 5 | 40 | -6 | 36 | 180 |
| 11 | 9 | 99 | -3 | 9 | 81 |
| 17 | 5 | 85 | 3 | 9 | 45 |
| 20 | 4 | 80 | 6 | 36 | 144 |
| 24 | 3 | 72 | 10 | 100 | 300 |
| 32 | 1 | 32 | 18 | 324 | 324 |
| $\sum f_i=30$ | $\sum f_i x_i=420$ | $\sum f_i (x_i-\bar{x})^2=137$ |
माध्य $(\bar{x})=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}=\frac{420}{30}$
=14
प्रसरण $=\frac{\sum f_{i}\left(x_{i}-\bar{x}\right)}{\sum {f i}}$
$=\frac{1374}{30}$
=45.8
मानक विचलन =√45.8=6.7675....
=6.77
Question 16
निम्नलिखित बारम्बारता सारणी किसी जन्मदिन की पार्टी में आमत्रित 50 बच्चो के एक समूह की आयु देती है। बंटन का माध्य तथा मानक विचलन निकालें
| Age(in years) | 5-7 | 7-9 | 9-11 | 11-13 | 13-15 |
| Frequency | 16 | 13 | 10 | 6 | 5 |
Sol :
| Age (in years) | fi | xi | fi xi | ${x_i}^2$ | ${f_i x_i}^2$ |
| 5-7 | 16 | 6 | 96 | 36 | 576 |
| 7-9 | 13 | 8 | 104 | 64 | 832 |
| 9-11 | 10 | 10 | 100 | 100 | 1000 |
| 11-13 | 6 | 12 | 72 | 144 | 864 |
| 13-15 | 5 | 14 | 70 | 196 | 980 |
| $\sum f_i =90$ | $\sum f_i x_i=442$ | $\sum {f_i x_i}^2=4252 $ |
माध्य $(\bar{x})=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}=\frac{442}{50}$
=8.84
मानक विचलन
$=\sqrt{\frac{\sum f_{i} x_{i}{ }^{2}}{h}-(\bar{x})^{2}}$
$=\sqrt{\frac{4252}{50}-(8.84)^{2}}$
=√85.04-78.1456
=√6.8944
=2.62
Question 18
(i) लघु विधि द्वारा माध्य, प्रसरण और मानक विचलन निकालें
[Find the mean, variance and S.D. using short-cut-method]:
| वर्ग अंतराल | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 | 50-60 | 60-70 | 70-80 | 80-90 | 90-100 |
| बारंबारता | 3 | 4 | 7 | 7 | 15 | 9 | 6 | 6 | 3 |
Sol :
| C.I | fi | xi | di=xi-55 | fidi | ${d_i}^2$ | $f_i {d_i}^2$ |
| 10-20 | 3 | 15 | -40 | -120 | 1600 | 4800 |
| 20-30 | 4 | 25 | -30 | -120 | 900 | 3600 |
| 30-40 | 7 | 35 | -20 | -140 | 400 | 2800 |
| 40-50 | 7 | 45 | -10 | -70 | 100 | 700 |
| 50-60 | 15 | 55=a | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 60-70 | 9 | 65 | 10 | 90 | 100 | 900 |
| 70-80 | 6 | 75 | 20 | 120 | 400 | 2400 |
| 80-90 | 6 | 85 | 30 | 180 | 900 | 5400 |
| 90-100 | 3 | 95 | 40 | 120 | 1600 | 4800 |
| $\sum f_i=60$ | $\sum f_i d_i=60$ | $\sum f_i {d_i}^2$ |
माध्य $(\bar{x})=a+\frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i}$
$=55+\frac{60}{60}$
=56
प्रसरण$=\frac{\sum f_{i} {d_{i}}^{2}}{n}-\left(\frac{\sum f_{i} d_{i}}{n}\right)^{2}$
$=\frac{254000}{60}-\left(\frac{60}{60}\right)^{2}$
=423.33-1
=422.33
मान्क विचलन=√422.33
=20.55
Question 19
(i) निम्नलिखित वितरण के लिए माध्य तथा प्रसरण ज्ञात कीजिए
[Find the mean and variance of the following distribution]:
| वर्ग | 0-30 | 30-60 | 60-90 | 90-120 | 120-150 | 150-180 | 180-210 |
| बारंबारता | 2 | 3 | 5 | 10 | 3 | 5 | 2 |
Sol :
| C.I | fi | xi | $d_i=x_i-105$ | fi di | ${d_i}^2$ | $f_i{d_i }^2$ |
| 0-30 | 2 | 15 | -90 | -180 | 8100 | 16200 |
| 30-60 | 3 | 45 | -60 | -180 | 3600 | 10800 |
| 60-90 | 5 | 75 | -30 | -150 | 900 | 4500 |
| 90-120 | 10 | 105=a | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 120-150 | 3 | 135 | 30 | 90 | 900 | 2700 |
| 150-180 | 5 | 165 | 60 | 300 | 3600 | 1800 |
| 180-210 | 2 | 195 | 90 | 180 | 8100 | 16200 |
| $\sum f_i=30$ | $\sum f_i x_i=420$ | $\sum f_i (x_i-\bar{x})^2=137$ |
माध्य $(\bar{x})=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}=105+\frac{60}{30}$
=107
प्रसरण $=\frac{\sum f_i {d_i}^2}{n}-\left(\frac{\sum f_i d_i}{n}\right)^2$
$=\frac{68400}{30}-\left(\frac{60}{80}\right)$
=2280-4
=2276