KC Sinha: Exercise 3.5 - Mathematics Solution Class 10 Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण

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Question 1

दो संख्याओ का अनुपात 5:6 है। यदि प्रत्येक संख्या से 8 घटा लिया जाय तो उनका अनुपात 4:5 हो जाता है। संख्याएँ ज्ञात करे।

Sol :

माना पहली संख्या=x

दूसरी संख्या=y

प्रश्न से,

$\frac{x}{y}=\frac{5}{6}$

6x=5y

6x-5y=0..(i)

$\frac{x-8}{y-8}=\frac{4}{5}$

5x-40=4y-32

5x-4y=-32+40

5x-4y=8..(ii)×5

समीकरण (i) तथा (ii) से,

$\begin{aligned}24x-20y&=0\\25x-20y&=40\\-\phantom{25x}+\phantom{20y}&\phantom{=}-\phantom{40} \\ \hline -x&=-40\end{aligned}$

x का मान समीकरण (i) मे रखने पर, 6x-5y=0

6x-5y=0

6×40-5y=0

240-5y=0

-5y=-240

$y=\frac{240}{5}$

=48

दूसरी संख्या=48

Question 2

दो संख्याओ का योग 16 है। यदि प्रत्येक संख्या मे 4 जोड़ दिया जाय तो अनुपात 2:1 हो जाता है। संख्याएँ ज्ञात करे।

Sol :

माना पहली संख्या=x

दूसरी संख्या=y

प्रश्न से,

x+y=16..(i)

$\frac{x+4}{y+4}=\frac{2}{1}$

x+4=2y+8

x-2y=4..(ii)

Question 3

दो धनात्मक संख्याओ का अन्तर 3 है यदि प्रत्येक संख्या मे से 3 घटा लिया जाय तो उनका अनुपात 2:1 हो जाता है । संख्याये ज्ञात करे ।

Sol :

माना पहली संख्या=x

दूसरी संख्या=y, x>y

प्रश्न से,

x-y=3..(i)

$\frac{x-3}{y-3}=\frac{2}{1}$

x-3=2y-6

x-2y=-6+3

x-2y=-3..(i)

Question 6

A और B की मासिक आयो का अनुपात 5:4 है और उनके मासिक खर्चो का अनुपात 7:5 है। यदि प्रत्येक की बचत 3000 प्रति महीना है तो प्रत्येक की मासिक आय ज्ञात करे।

Sol :

माना A तथा B की मासिक आय क्रमशः 5x तथा 4x है।

A तथा B की मासिक खर्चो क्रमशः 7y तथा 5y है।

प्रश्न से,

5x-7y=3000..(i)×5

4x-5y=3000..(ii)×7

$\begin{aligned}25x-35y&=15000\\28x-35y&=21000\\-\phantom{28x}+\phantom{35y}&\phantom{=}-\phantom{21000}\\ \hline -3x&=-6000 \end{aligned}$

x=2000

A की मासिक आय=5x

=5×2000=10000

B की मासिक आय=4x

=4×2000=8000

Question 7

एक स्कूटर के भाड़े मे नियत भाड़ा और किमी मे तय की गई दूरी को भाड़े जुड़े है। यदि कोई व्यक्ति 12 किमी चलकर 45 और 20 किमी चलकर 73 भाड़े देता है तो इस कथन को युगपत समीकरण के रूप मे व्यक्त करे और इससे स्कूटर का नियत भाड़ा एवं प्रति किमी भाड़ा ज्ञात करे ।

Sol :

माना स्कूटर का नियत भाड़ा=x

प्रति किमी का आतिरिक्त भाड़ा=y

प्रश्न से,

x+12y=45..(i)

x+20y=73..(ii)

Question 9

(i) किसी कांलेज के छात्रावास मे खर्च का एक भाग नियत है और शेष इस पर निर्भर है कि छात्र ने मेस मे महीने मे कितने दिनो का भोजन लिया है। एक छात्र 'A' 25 दिन भोजन लेने पर 1750 छात्रावास खर्च देता है जबकि एक दूसरा छात्र 'B' 28 दिन भोजन के लिये 1900 खर्च देता है। तब छात्रावास का नियत खर्च एवं प्रातिदिन भोजन का मूल्य ज्ञात करें। }

Sol :

माना छात्रावास का नियत खर्च=x

प्रतिदिन भोजन का मूल्य=y

प्रश्न से,

x+28y=1750..(i)

x+28y=1500..(ii)

Question 10

किसी परिवार का मासिक खर्च , घर का नियत मासिक किराया और घर मे मेस मे खानेवाले की संख्या पर निर्भर है। दो आदमियो लिये कुल मासिक खर्च 3900 तथा 5 आदमियो के लिये 7500 है । घर का किराया और प्रति महीना भोजन का खर्च ज्ञात करे ।

Sol :

माना घर का किराया=x (मासिक)

प्रति व्यक्ति प्रति महीना भोजन का खर्च=y

प्रश्न से 

x+2y=3900..(i)

x+5y=7500..(ii)

Question 11

किसी शहर मे कार के किराये का भाड़ा ,एक नियत भाड़ा एवं तय की गई दूरी के भाड़े पर निर्भर है। 13km यात्रा के लिए 96 तथा 181 के लिए 131 भाड़े दिए गये। किसी व्यक्ति को 25 km यात्रा के लिए कितना भाड़ा देना हागा?

Sol :

माना कार का नियत किराया=x

तथा प्रति km का किराया=y

25km यात्रा का किराया=x+25y

प्रश्न से,

$\begin{aligned}x+13y&=96..(i)\\x+18y&=131\\-\phantom{x}-\phantom{18y}&\phantom{=}-\phantom{131}\\-5y=-35\end{aligned}$

y का मान समीकरण (i) मे रखने पर,

x+13y=96

x+13(7)=96

x91=96

x=5

∴25 km यात्रा का किराया

=x+25y

=5+25(7)

=5+175

=180

Question 12

दो अंको की एक संख्या और उसके अंको के पलटने से बनी संख्या का योग 132 है। यदि संख्या मे 12 जोड़ दिया जाय तो नई संख्या अंको की योग के पाँच गुनी हो जाती है।संख्या ज्ञात करे?

Sol :

माना इकाई की संख्या=x

दहाई की संख्या=y

दो अंको की संख्या=10y+x

प्रश्न से,

10y+x+10x+y=132

11x+11y=132

11(x+y)=132

x+y=12..(i)

अब, 10y+x+12=5(x+y)

10y+x+12=5x+5y

10y+x-5x-5y=-12

-4x+5y=-12..(ii)×1

समीकरण (i) तथा (ii) से

$\begin{aligned}4x+4y&=48\\-4x+5y&=-12\\ \hline 9y&=36\end{aligned}$

y=4

y का मान समीकरण (i) मे रखने पर,

x+y=12

x+4=12

x=8

∴ दो अंको की संख्या=10y+x

=10(4)+8

=40+8

=48

Question 13

दो अंको की एक संख्या, अपने अंको के योग की चार गुनी है। यदि संख्या मे 18 जोड़ दिया जाता है तो संख्या के अंक पलट जाते है। संख्या ज्ञात करे।

Sol :

माना इकाई की संख्या=x

दहाई की संख्या=y

दो अंको की संख्या=10y+x

प्रश्न से,

10y+x+=4(x+y)

10y+x=4x+4y

10y+x-4x-4y=0

-3x+6y=0

-3(x-2y)=0

x-2y=0

अब,

10y+x+18=10x+y

10y+x-10x-y=-18

-9x+9y=-18

-9(x-y)=-18

x-y=2..(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) से

$\begin{aligned}x-2y&=0\\x-y&=2\\-\phantom{x}+\phantom{y}&\phantom{=}-\phantom{2}\\ \hline -y&=-2\end{aligned}$

y का मान समीकरण (ii) मे रखने पर,

x-y=2

x-2=2

x=4

∴ दो अंको का संख्या=10y+x

=10(2)+4

=20+4=24

Question 14

दो अंको की एक संख्या है। जब इस संख्या को अंको के योग से विभाजित की जाती है भागफल 6 प्राप्त होता है तथा शेष कुछ नही बचता है। यदि संख्या से 9 घटा दिया जाता है, तथा संख्या के अंक पलट जाते है। संख्या ज्ञात करे ।

Sol :

माना इकाई की संख्या=x

दहाई की संख्या=y

दो अंको की संख्या=10y+x

प्रश्न से,

∵भाज्य=भाजक×भागफल+शेषफल

∴10y+x=(x+y)6+0

10y+x=6x+6y

10y+x-6x-6y=0

-5x+4y=0..(i)×1

अब, 

10y+x-9=10x+y

10y+x-10x-y=9

-9x+9y=9

-9(x-y)=9

-9(x-y)=9

x-y=-1..(ii)×4

समीकरण (i) तथा (ii) से,

$\begin{aligned}-5x+4y&=0\\4x-4y&=-4\\ \hline -x&=-4\end{aligned}$

x=4

x का मान समीकरण (i) मे रखने पर,

-5x+4y=0

-5(4)+4y=0

4y=20

y=5

∴दो अंको की संख्या=10y+x

=10(5)+4

=50+4

=54

Question 15

दो अंको की एक संख्या एवं उसके अंको को उलटने पर बनी संख्या का योग 66 है। यदि संख्या के अंको का अन्तर 2 हो , तो संख्या ज्ञात कीजिए । ऐसी संख्याएँ कितनी है?

Sol :

माना इकाई की संख्या=x

दहाई की संख्या=y

दो अंको की संख्या=10y+x

प्रश्न से,

(10y+x)+(10x+y)=66

11x+11y=66

11(x+y)=66

x+y=66..(i)

x-y=2 या y-x=2

CASE-I

$\begin{aligned}x+y&=6..(i)\\x-y&=2..(ii)\\ \hline 2x&=8\end{aligned}$

x=4

x का मान समीकरण (i) मे रखने पर,

x+y=6

4+y=6

y=2

∴दो अंको की संख्या=10y+x

=10(2)+4

=20+4

=24

CASE-II

$\begin{aligned}x+y&=6..(i)\\y-x&=2..(ii)\\ \hline 2y&=8\end{aligned}$

y=4

y का मान समीकरण (i) मे रखने पर,

x+y=6

x+4=6

x=2

∵ दो अंको की संख्या

=10y+x

=10(4)+2

=42

संख्याएँ 24 और 42 

Question 16

एक मित्र दूसरे से कहता, यदि तुम मुझे एक सौ दे दो तो मै आपसे दो गुना धनी बन जाऊँगा' दूसरा उत्तर देता है, यदि आप, मुझे दस दे दें, तो में आप से छः गुना धनी बन जाऊँगा ' बताइए कि उनकी क्रमश: क्या संपत्तियां हैं ।

Sol :

माना पहले मित्र की संपत्ति=x

दूसरे मित्र की संपत्ति=y

प्रश्न से,

x+100=2(y-100)

x+100=2y-200

x-2y=-300..(i)

अब,

6(x-10)=y+10

6x-60=y+10

6(x-10)=y+10

6x-60=y+10

6x-y=70..(ii)

Question 17

दो अंकों की एक संख्या, अपने अंकों के योग के चार गुने से 3 ज्यादा है । यदि संख्या में 18 जोड़ दिया गया, तो संख्या के अंक पलट जाते है। संख्या ज्ञात करे।

Sol :

माना इकाई की संख्या=x

दहाई की संख्या=y

दो अंको की संख्या=10y+x

प्रश्न से,

10y+x=4(x+y)+3

10y+x=4x+4y+3

10y+x-4x-4y=3

-3x+6y=3

-3(x-2y=3

x-2y=-1..(i)

अब, 10y+x+18=10x+y

10y+x-10x-y=-18

-9x+9y=-18

-9(x-y)=-18

x-y=2..(ii)

Question 18

दो अंकों वाली संख्या, अपने अंकों के योग की सात गुनी है । जब संख्या से 27 घटा दिया जाता है, तब संख्या के अंक पलट जाते है। संख्या ज्ञात करे ।

Sol :

माना इकाई की संख्या=x 

दहाई की संख्या=y

दो अंको की संख्या=10y+x

प्रश्न से,

10y+x=7(x+y)

10y+x-7x-7y=0

-6x+3y=0

-3(2x-y)=0

2x-y=0..(i)

अब, 

10y+x-2y=10x+y

10y+x-10x-y=27

-9x+9y=27

-9(x-y)=27

x-y=-3..(ii)

Question 19

दो अंकों वाली एक संख्या के अंकों का योग 15 है । संख्या के अंकों के पलटने से बनी संख्या, दत्त संख्या से 9 अधिक हो जाती है। संख्या ज्ञात करें।

Sol :

माना इकाई की संख्या=x

दहाई की संख्या=y

दो अंको की संख्या=10y+x

प्रश्न से,

x+y=15..(i)

(10x+y)-(10y+x)=9

10x+y-10y-x=9

9x-9y=9 

x-y=1..(ii)

Question 20

किसी भिन्न के अंश एवं हर का योग, उसके हर के दुगुने से 3 कम है। यदि अंश एवं हर प्रत्येक को 1 कम कर दिया जाता है तब अंश, हर का आधा हो जाता है। भिन ज्ञात्त करें।
Sol :

माना भिन्न का अंश=x

भिन्न का हर=y

भिन्न$=\frac{x}{y}$

प्रश्न से,

x+y=2y-3

x+y-2y=-3

$\frac{x-1}{y-1}=\frac{1}{2}$

2(x-1)=(y-1)

2x-2=y-1

2x-y=1..(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) से,

$\begin{aligned}x-y&=-3\\2x-y&=1\\-\phantom{2x}+\phantom{y}&\phantom{=}-\phantom{1}\\ \hline  -x&=-4\end{aligned}$

x=4

x का मान समीकरण (i) मे रखने पर,

x-y=-3

4-y=-3

-y=-7

y=7

∴भिन्न$=\frac{x}{y}=\frac{4}{7}$

Question 21

किसी भिन्न के अंश एवं हर का योग उसके अंश के दुगुने से 4 अधिक है।यदि अंश और हर प्रत्येक को 3 से बड़ा दिया जाय तब उनका अनुपात 2:3 हो जाता है। भिन्न ज्ञात करे।

Sol :

माना भिन्न का अंश=x

भिन्न का हर=y

भिन्न$=\frac{x}{y}$

प्रश्न से,

x+y=2x+4

x+y-2x=4

-x+y=4..(i)

अब,

$\frac{x-3}{y+3}=\frac{2}{3}$

3x+9=2y+6

3x-2y=-3..(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) से,

$\begin{aligned}-2x+2y&=8\\3x-2y&=-3\\ \hline x=5\end{aligned}$

x का मान समीकरण (i) मे रखने पर,

-x+y=4

-5+y=4

y=9 

∴भिन्न$=\frac{5}{9}$

Question 22

किसी भिन्न के अंश एवं हर का योग 8 है। यदि अंश एवं हर प्रत्येक मे 3 जोड़ दिया जाय, तो भिन्न $\frac{3}{4}$ हो जाता है। भिन्न ज्ञात करे।

Sol :

माना भिन्न का अंश=x

भिन्न का हर=y

भिन्न$=\frac{x}{y}$

प्रश्न से,

x+y=8..(i)

अब,

$\frac{x+3}{y+3}=\frac{3}{4}$

4x+12=3y+9

4x-3y=-3..(ii)

Question 23

(i) एक भिन्न का अंश, उसके हर से 1 कम है। यदि उसके अंश एवं हर प्रत्येक में 3 जोड़ दिया जाय तब भिन्न का मान $\frac{3}{28}$ बढ़ जाता है। भिन्न ज्ञात करें ।

भिन्न का हर=y

भिन्न$=\frac{x}{y}$

प्रश्न से,

x+1=y..(i)

$\frac{x+3}{y+3}=\frac{x}{y}+\frac{3}{28}$

$\frac{x+3}{y+3}=\frac{x}{5}+\frac{3}{28}$

$\frac{x+3}{x+1+3}=\frac{x}{x+1}+\frac{3}{28}$

$\frac{x+3}{x+4}-\frac{x}{x+1}=\frac{3}{28}$

$\frac{(x+3)(x+1)-x(x+4)}{(x+4)(x+1)}=\frac{3}{28}$

$\frac{x^{2}+x+3 x+3-x^{2}-4 x}{x^{2}+x+4 x-4x}=\frac{3}{28}$

$\frac{4 x+3-4 x}{x^{2}+5 x+4}=\frac{3}{28}$

$\frac{3}{x^{2}+5 x+4}=\frac{3}{28}$

$x^{2}+5 x+4=28$

$x^{2}+5 x+4-28=0$

$x^{2}+5 x-24=0$

$x^{2}+8 x-3 x-24=0$

x(x+8)-3(x+8)=0

(x+8)(x-3)=0

$\begin{array}{l|l}x+8=0&x-3=0\\x=-8 & x=3\end{array}$

x=3 पर,

y=x+1 (समीकरण (i))

y=3+1=4

∴भिन्न$=\frac{x}{y}=\frac{3}{4}$

(ii) जब किसी भिन्न के अंश से 1 घटाया जाता है तो बह $\frac{1}{3}$ हो जाती है तथा यदि हर में 8 जोड़ दिया जाता है तो वह $\frac{1}{4}$ हो जाती है । भिन्न बतावें ।

Sol :

भिन्न का हर=y

भिन्न$=\frac{x}{y}$

प्रश्न से,

$\begin{array}{l|l}\frac{x-1}{y}=\frac{1}{3}&\frac{x}{y+8}=\frac{1}{4}\\3x-3=y& 4x=y+8\\3x-y=3..(i)&4x-y=8..(ii)\end{array}$

Question 24

पिता का उम्र, पुत्र की उम्र के तीन गुने से3 वर्ष अधिक है।3 तीन वर्ष बाद पिता की उम्र, पुत्र की उम्र के दुगुने से 10 वर्ष अधिक हो जायेगी । उनकी वर्तमान उम्र ज्ञात करें ।

Sol :

माना पिता की वर्तमान उम्र= x वर्ष

पुत्र की वर्तमान उम्र= y वर्ष

प्रश्न से,

x=3y+3

x-3y=3..(i)

अब, x+3=2(y+3)+10

x+3=2y+6+10

x-2y=13..(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) से,

$\begin{aligned}x-3y&=3\\x-2y&=13\\ -\phantom{x}+\phantom{2y}&\phantom{=}-\phantom{13}\\ \hline -y&=-10 \end{aligned}$

y का मान समीकरण (i) मे रखने पर,

x-3y=3

x-3(10)=3

x=33

∴पिता की वर्तमान उम्र=33 वर्ष

पुत्र की वर्तमान उम्र=10 वर्ष

Question 25

दो वर्ष पहले एक आदमी की उम्र अपने पुत्र की उम्र के 5 गुनी थी।दो वर्ष बाद उसकी उम्र अपने बेटे की उम्र के तीन गुने से 8 वर्ष अधिक हो जायेगी । आदमी और उसके पुत्र की वर्तमान आयु ज्ञात करे।

Sol :

माना व्यक्ति की वर्तमान आयु=x वर्ष

पुत्र की वर्तमान आयु=y वर्ष

प्रश्न से,

x-2=5(y-2)

x-2=5y-10

x-5y=-8..(i)

अब,

x+2=3(y+2)+8

x+2=3y+6+8

x-3y=12..(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) से,

$\begin{aligned}x-5y&=-8\\x-3y&=12\\-\phantom{x}+\phantom{3y}&\phantom{=}-\phantom{12}\\ \hline -2y&=-20\end{aligned}$

y=10

y का मान समीकरण (ii) मे रखने पर,

x-3y=12

x-3(10)=12

x=12+30

x=42

∴व्यक्ति की वर्तमान आयु=42 वर्ष

पुत्र की वर्तमान आयु=10 वर्ष

Question 26

पिता की उम्र अपने दो पुत्रो के उम्रो के योग का तीन गुना है । 5 वर्षो के बाद पिता की उम्र दोनो पुत्रो के उम्रो के योग की दुगुनी हो जायेगी। पिता की उम्र ज्ञात करे।

Sol :

माना पिता की वर्तमान उम्र=x वर्ष

दो पुत्रो के उम्रो का वर्तमान योग=y वर्ष

प्रश्न से,

x=3y

x-3y=0..(i)

अब,

x+5=2(y+5+5)

x+5=2y+20

x-2y=15..(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) से,

$\begin{aligned}x-3y&=0\\x-2y&=15\\-\phantom{x}+\phantom{2y}&\phantom{=}-\phantom{15}\\ \hline -y&=-15 \end{aligned}$

y=15

y का मान समीकरण (ii) मे रखने पर,

x-2y=15

x-2(15)=15

x=15+30

x=45

∴पिता की वर्तमान उम्र=45 वर्ष

Question 27

5 वर्षो पहले A की उम्र B की उम्र की तीन गुनी थी। और 10 वर्षो बाद A की उम्र B के उम्र की दुगुनी हो जायेगी A और B की वर्तमान उम्र क्या है?

Sol :

माना A का वर्तमान उम्र=x वर्ष

B का वर्तमान उम्र=y वर्ष

प्रश्न से ,

x-5=3(y-5)

x-5=3y-15

x-3y=-10..(i)

अब,

x+10=2(y+10)

x+10=2y+200

x-2y=10..(ii)

Question 28

10 वर्ष बाद एक आदमी की उम्र ,उसके बेटे की उम्र की दुगुनी हो जायेगी, 10 वर्ष पूर्व आदमी की उम्र उसके पुत्रो की उम्र की 4 गुनी थी । उनकी वर्तमान उम्र ज्ञात करे।

Sol :

माना आदमी की वर्तमान आयु=x वर्ष

पुत्र की वर्तमान आयु=y वर्ष

प्रश्न से,

x+10=2(y+10)

x+10=2y+20

x-2y=10..(i)

अब,

x-10=4(y-10)

x-10=4y-40

x-4y=-30..(ii)

Question 29

2(x+y)=166

x+y=83..(i)

इसी प्रकार,

∠B+∠D=180

y+3+4x-5=180

4x+y=182..(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) से

$\begin{aligned}x+y&=83\\4x+y&=182\\-\phantom{4x}-\phantom{y}&\phantom{=}-\phantom{182}\\-3x&=-99\end{aligned}$

x=33

x का मान समीकरण (i) मे रखने पर,

x+y=83

33+y=83

y=50

∠A=(2x+4)=(2×33+4)

=70

∠B=(y+3)=(50+3)

=53

∠C=2y+10=2(50)+10

=110

∠D=4x-5=4(33)-5

=132-5

=123

Question 31

यदि ΔABC मे ∠C=3∠B=2(∠A+∠B) तब तीने कोणो के मान ज्ञात करे।

Sol :

माना ∠A=x; ∠B=y; ∠C=180-(x+y)

∵∠C=3∠B

180-x-y=3y

180=x+y+3y

x+4y=180..(i)

∵2(∠A+∠B)=3∠B

2(x+y)=3y

2x+2y-3y=0

2x-y=0..(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) से,

$\begin{aligned}2x+8y&=360\\ 2x-y&=0\\ -\phantom{2x}+\phantom{y}&\phantom{=}-\phantom{0}\\ \hline 9y=360\end{aligned}$

y=40

y का मान समीकरण (ii) मे रखने पर,

2x-y=0

2x-40=0

2x=40

x=20

∴∠A=20, ∠B=40, 

∠C=180-(x+y)

=180-(20+40)

=120

Question 32

यदि ΔABC मे ∠A=x, ∠B=3x तथा ∠C=y

यदि 3y-5x=30. दिखाये कि यह समकोण त्रिभुज है।

Sol :

∠A+∠B+∠C=180 (त्रिभुज के तीनो कोणो का योग 180 होता है)
x+3x+y=180

4x+y=180..(i)×3

-5x+3y=30..(ii)×1

समीकरण (i) तथा (ii) से,

$\begin{aligned}12x+3y&=540\\-5x+3y&=30\\+\phantom{-5x}-\phantom{3y}&\phantom{=}-\phantom{30}\\ \hline 17x&=510\end{aligned}$

x का मान समीकरण (i) मे रखने पर,

4x+y=180

4(30)+y=180

y=180-120

y=60

∴∠A30, ∠B=3x=3×30=90

∠C=60

∵∠B=90

अतः ΔABC एक समकोण त्रिभुज है।

Question 33

जब एक आयत की लम्बाई 5 मी घटा दी जाती है और चौड़ाई 3 मी बड़ा दी जाती है तब उसका क्षेत्रफल 8 मी² कम जाता है। यदि हम उसकी लम्बाई 3 मी और चौड़ाई 2 मी बड़ा दे तब उसका क्षेत्रफल 74 m² बढ़ जाता है। आयत की लम्बाई एवं चौड़ाई ज्ञात करे।

Sol :

माना आयत की लंबाई=x

आयत की चौड़ाई=y

आयत का क्षेत्रफल=xy

प्रश्न से,

(x-5)(y+3)=xy-8
xy+3x-5y-15=xy-8

3x-5y=7..(i)×2

अब,

(x+3)(y+2)=xy+74

xy+2x+3y+6=xy+74

2x+3y=68..(ii)×3

समीकरण (i) तथा (ii) से,

$\begin{aligned}6x-10y&=14\\6x+9y&=204\\-\phantom{6x}-\phantom{9y}&\phantom{=}-\phantom{204}\\ \hline -19y&=-190\end{aligned}$

y=10

y का मान समीकरण (i) मे रखने पर,

3x-5y=7

3x-5(10)=7

3x=57

$x=\frac{57}{3}=19$

∴आयत की लंम्बाई=19 m

आयत की चौड़ाई=10 m

Question 34

एक कमरे की लम्बाई , इसकी चौड़ाई से 3  मीटर अधिक है। यदि इसकी लम्बाई 3 मी बढ़ा दी जाय और चौड़ाई 2 मी घटा दी जाय तो इसका क्षेत्रफल पूर्ववत रहता है । कमरे की लम्बाई एवं चौड़ाई ज्ञात करे।

Sol :

माना कमरे की लम्बाई=x

कमरे की चौड़ाई=y

कमरे का क्षेत्रफल=xy

प्रश्न से ,

x-y=3..(i)

(x+3)(y-2)=xy

xy-2x+3y-6=xy

-2x+3y=6..(ii)

Question 35

एक राजमार्ग पर दो स्थान A और B 120 किमी की दूरी पर है। एक कार A से तथा दूसरी कार B से एक ही समय चलना प्रारंभ करती है। यदि वे एख ही दिशा मे चलती है तो 6 घंटे मे एक-दूसरे मिलती है और विपरीच दिशा मे चलने पर 1 घंटा 12 मिनट मे एक-दूसरे से मिलती है। प्रत्येक कार की चाल ज्ञात करे ।

Sol :

माना स्थान A चलाने वाली कार की चाल=x km/h

स्थान B चलाने वाली कार की चाल=y km/h

चाल=दूरी/समय

$x-y=\frac{120}{6}$

x-y=20..(i)

अब, $x+y=\frac{120}{1h~12min}$

$x+y=\frac{120}{\frac{6}{5}}$

$x+y=\frac{12 0}{6} \times 5$

x+y=100..(ii)

$\begin{aligned}x-y&=20\\x+y&=100\\ \hline 2x=120\end{aligned}$

x=60

x का मान समीकरण (ii) मे रखने पर,

x+y=100

60+y=100

y=40

∴स्थान A से चलने वाली कार की चाल=60 km/h

x का मान समीकरण (ii) मे रखने पर,

x+y=100

60+y=100

y=40

∴स्थान A से चलने वाली कार की चाल=60 km/h

स्थान B से चलने वाली कार की चाल=40 km/h

Question 36

एक रेलगाड़ी 300 किमी की दूरी समान चाल से तय करती है। यदि रेलगाड़ी 5 किमी/घंटा अधिक तेज चलती होती, तो यात्रा 2 घंटे कम समय लगता। गाड़ी की प्रारंभिक चाल ज्ञात करे।
Sol :

माना रेलगाड़ी की प्रारंभिक चाल= x km/h

समय=दूरी/चाल

प्रश्न से,

$\frac{300}{x}-\frac{300}{x+5}=2$

$\frac{300(x+5)-300 x}{x(x+5)}=2$

$\frac{300 x+1500-300 x}{x^{2}+5 x}=2$

2(x²+5x)=1500

x²+5x=750

x²+5x-750=0

x²+30x-25x-750=0

x(x+30)-25(x+30)=0

(x+30)(x-25)=0

$\begin{array}{l|l}x+30=0&x-25=0 \\ x=-30&x=25\end{array}$

∵चाल धनात्मक होती है।

∴रेलगाड़ी की चाल=25 km/h

Question 37

एक हवाई जहाज निर्धारित समय से 30 मिनट देर से चलती है। अपने 1500 किमी दूर लक्ष्य तक ठीक समय पर पहुँचने के लिए इसे अपनी चाल सामान्य चाल से 250 किमी/घंटा बढानी पड़ती है। हवाई जहाज की सामान्य चाल ज्ञात करे ।

Sol :

माना हवाई जहाज की सामान्य चाल= x km/h

समय=दूरी/चाल

प्रश्न से,

$\frac{1580}{x}-\frac{1500}{x+250}=\frac{30}{60}$

$\frac{1500 x+375000-1500 x}{x^{2}+250 x}=\frac{1}{2}$

x²+250x=750000

x²+250x-750000=0

x²+1000x-750x-750000=0

x(x+1000)-750(x+1000)=0

(x+1000)(x-750)=0

$\begin{array}{l|l}x+1000=0 &x-750=0\\x=-1000 & x=750\end{array}$

∵ चाल धनात्मक होता है।

∴ हवाई जहाज की चाल=750 km/h

Question 38

एक आदमी 600 किमी की यात्रा आंशिक रेलगाड़ी से और आंशिक कार से करता है। यदि वह 400 किमी रेलगाड़ी से तथा शेष यात्रा कार से करता है, तब उसे 6 घंटे 30 मिनट समय लगता है। किन्तु यदि वह 200 किमी रेलगाड़ी से और शेष कार से यात्रा करता है, तो उसे आधा घंटा अधिक समय लगता है। रेलगाड़ी एवं कार की चाल ज्ञात करे।

Sol :

माना रेलगाड़ी की चाल=x km/h

कार की चाल= y km/h

समय=दूरी/चाल

प्रश्न से,

$\frac{400}{x}+\frac{200}{y}=6 \frac{30}{60}$

$\frac{400}{x}+\frac{200}{y}=\frac{13}{2}$..(i)

$\frac{200}{x}+\frac{400}{y}=7$..(ii)

Question 39

एक राजमार्ग पर दो स्ठान A और B एक-दूसरे से 80 की दूरी पर है। एक कार A से तथा दूसरी कार B से एक ही समय चलना शुरू करती है, यदि वे एक ही दिशा मे चलती है ,तब वे 8 घंटे पश्चात एक-दूसरे से मिलते है और यदि वे विपरीत दिशा मे चलते है तब वे 1 घंटा 20 मिनट मे ही जाते है। तो कारो की चाल ज्ञात करे।

Sol :

माना स्थान A से चलने वाली कार की चाल=x km/h

स्थान B से चलने वाली कार की चाल= y km/h

प्रश्न से,

चाल=दूरी/समय

$x-y=\frac{80}{8}$

x-y=10..(i)

अब, 

$x+y=\frac{80}{\frac{20}{60}}=\frac{80}{\frac{4}{3}}$

$x+y=\frac{80}{4} \times 3$

Question 40

एक नाव धारा के प्रतिकूल 16 किमी तथा धारा के अनुकूल 24 किमी 6 घंटे मे जाता है। और यह नाव धारा के प्रतिकूल 12 किमी तथा धारा के अनुकूल 36 किमी की दूरी भी उतने ही समय मे तय करता है। तब शांत जल मे नाव की चाल तथा धारो की चाल ज्ञात करे ।

Sol :

माना शांत जल मे नाव की चाल=x km/h

धारा की चाल=y km/h

धारा के अनुकूल नाव की चाल=(x+y)km/h

धारा के प्रतिकूल नाव की चाल=(x-y)km/h

समय=दूरी/चाल

प्रश्न से ,

$\frac{16}{x-y}+\frac{24}{x+y}=6$..(i)

$\frac{12}{x-y}+\frac{36}{x+y}=6$..(ii)

Question 41

एक आदमी 370km की यात्रा आंशिक रूप ट्रेन से और आंशिक कार से करता है। यदि वह 250km ट्रेन से तथा शेष कार से करता है तब उसे 4 घंटे लगता है। किन्तु यदि वह 130 km ट्रेन से तथा शेष कार से करता है, तब उसे 18 मिनट अधिक लगता है। तब ट्रेन और कार की चाल ज्ञात करे।

Sol :

माना ट्रेन की चाल=x km/h

कार की चाल=y km/h

समय=दूरी/चाल

प्रश्न से,

$\frac{250}{x}+\frac{120}{y}=4$..(i)

$\frac{130}{x}+\frac{240}{y}=4 \frac{18}{10}$

$\frac{130}{x}+\frac{240}{y}=\frac{43}{10}$..(ii)